Equações Diferenciais

Cálculo BC do AP · Tópico 7

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7.1

Modelagem de Situações com Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.A: Interpretar afirmações verbais de problemas como equações diferenciais envolvendo uma expressão de derivada.

FUN-7.A.1 Equações diferenciais relacionam uma função de uma variável independente e as derivadas dessa função.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma equação diferencial 微分方程 relaciona uma função às suas derivadas. Muitos situações reais são descritas por uma taxa: "a população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho" torna-se $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Montar a equação a partir de uma descrição verbal – identificando o que muda e a que é proporcional – é a primeira habilidade.

7.2

Verificando Soluções para Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.B: Verificar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.B.1 Derivadas podem ser usadas para verificar se uma função é uma solução para uma dada equação diferencial.
FUN-7.B.2 Pode haver infinitas soluções gerais para uma equação diferencial.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma solução é uma função que satisfaz a equação. Para verificar uma solução proposta, derive-a e substitua na equação, verificando se ambos os lados concordam. Uma solução geral contém uma constante $C$; uma solução particular fixa $C$ a partir de uma condição.

7.3

Esboçando Campos de Inclinação

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.1 Um campo de inclinação é uma representação gráfica de uma equação diferencial em um conjunto finito de pontos no plano.
FUN-7.C.2 Campos de inclinação fornecem informações sobre o comportamento de soluções para equações diferenciais de primeira ordem.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Campos de inclinação e curvas solução

Um campo de inclinação 斜率场 desenha um pequeno segmento de linha em muitos pontos, cada um com a inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ que a equação fornece naquele ponto. Ele representa a família de curvas de solução sem resolver. Para esboçá-lo, avalie o lado direito em cada ponto da grade e desenhe um segmento daquela inclinação.

Um campo de inclinação mostra o gradiente em toda parte; curvas de solução seguem-no — Um campo de inclinação mostra o gradiente em todos os lugares; curvas de solução o seguem

Explorar

Leia uma equação diferencial como um campo de inclinações

Um campo de inclinações desenha a inclinação $dy/dx$ em cada ponto. Uma curva solução passa por ele, sempre tangente aos pequenos segmentos — você pode esboçá-la seguindo o fluxo.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.4

Raciocínio Usando Campos de Inclinação

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.3 Soluções para equações diferenciais são funções ou famílias de funções.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma curva de solução seguem os segmentos como um barco seguindo uma corrente. A partir de um campo de inclinação, você pode esboçar a solução particular através de um ponto dado, descrever o comportamento de longo prazo e localizar onde as soluções se nivelam (inclinações próximas de zero) – raciocinando sobre soluções puramente a partir da imagem.

7.5

Aproximando Soluções Usando o Método de Euler

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.4 O método de Euler fornece um procedimento para aproximar uma solução para uma equação diferencial ou um ponto em uma curva solução. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Método de Euler

Método de Euler 欧拉方法 aproxima numericamente uma solução avançando pelo campo de inclinação. Começando de um ponto conhecido, dê um pequeno passo $\Delta x$ e atualize:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repita para cada passo. Passos menores dão uma melhor aproximação. (Esta é uma técnica apenas para BC.)

Habilidade para prova: ser capaz de realizar dois ou três passos de Euler manualmente a partir de uma tabela, e saber que o método de Euler subestima ou superestima dependendo da concavidade da solução.

Exemplo resolvido. Aproxime $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, com passo $\Delta x=0.5$. Passo 1: inclinação em $(0,1)$ é $0+1=1$, então $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Passo 2: inclinação em $(0.5,1.5)$ é $0.5+1.5=2$, então $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Encontrando Soluções Gerais Usando Separação de Variáveis

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.D: Determinar soluções gerais para equações diferenciais.

FUN-7.D.1 Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas por separação de variáveis.
FUN-7.D.2 A antiderivação pode ser usada para encontrar soluções gerais para equações diferenciais.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

E. coli sob microscópio: equações diferenciais modelam crescimento exponencial

Uma equação diferencial separável 可分离 pode ser escrita com todas as $y$'s de um lado e todas as $x$'s do outro, depois integrada:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Isso produz a solução geral (com uma $+C$), o principal método analítico para resolver equações diferenciais neste curso.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx}=xy$ com $y(0)=2$. Separando, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ resulta em $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, então $y=Ae^{x^2/2}$. A condição $y(0)=2$ resulta em $A=2$, então $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Encontrando Soluções Particulares Usando Condições Iniciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.E: Determinar soluções particulares para equações diferenciais.

FUN-7.E.1 Uma solução geral pode descrever infinitas soluções para uma equação diferencial. Existe apenas uma solução particular que passa por um dado ponto.
FUN-7.E.2 A função $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ é uma solução particular para a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfazendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Soluções para equações diferenciais podem estar sujeitas a restrições de domínio.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma condição inicial 初始条件 (um ponto conhecido, ex. $y(0)=5$) fixa a constante $C$. Resolva para a solução geral, substitua a condição para encontrar $C$, depois escreva a solução particular. Atenção ao domínio – uma solução particular é válida apenas no intervalo contendo o ponto inicial.

A constante gera uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma delas — A constante dá uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma

7.8

Modelos Exponenciais com Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.F: Interpretar o significado de uma equação diferencial e suas variáveis em contexto.

FUN-7.F.1 Aplicações específicas do encontrar soluções gerais e particulares para equações diferenciais incluem o movimento ao longo de uma linha e o crescimento e decaimento exponencial.
FUN-7.F.2 O modelo para crescimento e decaimento exponencial que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao tamanho da quantidade" é $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.G: Determinar soluções gerais e particulares para problemas envolvendo equações diferenciais em contexto.

FUN-7.G.1 O modelo de crescimento e decaimento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, com condição inicial $y = y_0$ quando $t = 0$, tem soluções da forma $y = y_0 e^{kt}$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Crescimento exponencial vs logístico

A equação $\dfrac{dy}{dt}=ky$ diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade – dando crescimento ou decaimento exponencial 指数增长. Separando variáveis resulta em

$$y=y_0 e^{kt},$$

com $k>0$ para crescimento e $k<0$ para decaimento. Isso modela crescimento populacional irrestrito, decaimento radioativo e juros compostos continuamente.

Uma xícara de café esfriando: a lei do resfriamento de Newton é um modelo clássico de equação diferencial

Explorar

Um modelo de crescimento/decadência exponencial

y = a·e^(bx) + c

A equação $dy/dt=ky$ tem soluções exponenciais: a quantidade muda a uma taxa proporcional a si mesma, dando crescimento ilimitado ($k>0$) ou decadência para zero ($k<0$).

7.9

Modelos Logísticos com Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.H: Interpretar o significado do modelo de crescimento logístico no contexto. APENAS BC

FUN-7.H.1 O modelo para crescimento logístico que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional conjuntamente ao tamanho da quantidade e à diferença entre a quantidade e a capacidade de suporte" é $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. APENAS BC
FUN-7.H.2 A equação diferencial logística e as condições iniciais podem ser interpretadas sem resolver a equação diferencial. APENAS BC
FUN-7.H.3 O valor limite (capacidade de suporte) de uma equação diferencial logística quando a variável independente tende ao infinito pode ser determinado usando o modelo de crescimento logístico e as condições iniciais. APENAS BC
FUN-7.H.4 O valor da variável dependente em uma equação diferencial logística no momento em que está mudando mais rapidamente pode ser determinado usando o modelo de crescimento logístico e as condições iniciais. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O crescimento real é limitado por recursos, então o modelo logístico 逻辑斯蒂 modelo adiciona uma capacidade de suporte 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

O crescimento é quase exponencial quando $P$ é pequeno, desacelera conforme $P$ se aproxima de $L$, e para em $P=L$. Fatos-chave da BC: a população se nivela em $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), e cresce mais rápido quando $P=\tfrac{L}{2}$ (ponto de inflexão da curva em S). Espera-se que você leia $L$ e o valor de crescimento mais rápido diretamente da equação.

Exemplo resolvido. Para $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, a capacidade de suporte é $L=2000$ (a população se nivela lá), e o crescimento é mais rápido quando $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – ambos lidos diretamente da equação, sem necessidade de resolução.

O modelo logístico cresce mais rápido em P=L/2 e se nivela na capacidade de suporte L

7.9

Dicas de prova

Resolva uma equação separável colocando todos os $y$ de um lado e todos os $x$ do outro, então integre ambos os lados (adicione $+C$ uma vez).
Use a condição inicial para encontrar $C$ (uma solução particular).
Esboce ou leia um campo de inclinação: os pequenos segmentos mostram $\tfrac{dy}{dx}$ em cada ponto, e uma curva solução os segue.
Reconheça modelos exponenciais $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crescimento/decaimento).
Uma equação diferencial dá a inclinação – você deve integrar para recuperar a função.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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