Equações Paramétricas, Coordenadas Polares e Funções Vetoriais

Cálculo BC do AP · Tópico 9

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9.1

Definindo e Diferenciando Equações Paramétricas

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

Objetivo de Aprendizagem CHA-3.G: Calcular derivadas de funções paramétricas. APENAS BC

CHA-3.G.1 Métodos para calcular derivadas de funções de valores reais podem ser estendidos para funções paramétricas. APENAS BC
CHA-3.G.2 Para uma curva definida parametricamente, o valor de $\dfrac{dy}{dx}$ em um ponto na curva é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. $\dfrac{dy}{dx}$, a inclinação da reta tangente a uma curva definida por equações paramétricas, pode ser determinada dividindo-se $\dfrac{dy}{dt}$ por $\dfrac{dx}{dt}$, desde que $\dfrac{dx}{dt}$ não seja igual a zero. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A ISS em órbita: equações paramétricas descrevem posição em função do tempo

Equações paramétricas 参数方程 fornecem $x$ e $y$ cada uma como função de um parâmetro $t$ (muitas vezes tempo): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Elas traçam uma curva que não precisa ser uma função de $x$. A inclinação da curva é encontrada com a regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Exemplo resolvido. Para $x=t^2$, $y=t^3-t$, encontre a inclinação em $t=2$. Aqui $\dfrac{dx}{dt}=2t$ e $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, então $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; em $t=2$ isso é $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	参数方程	cān shù fāng chéng
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	向量值函数	xiàng liàng zhí hán shù
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	极坐标	jí zuò biāo

9.2

Derivadas Segundas de Equações Paramétricas

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

Objetivo de Aprendizagem CHA-3.G: Calcular derivadas de funções paramétricas. APENAS BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ pode ser calculado dividindo-se $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ por $\dfrac{dx}{dt}$. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A derivada segunda não é $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Em vez disso, diferencie a primeira derivada em relação a $t$, depois divida por $dx/dt$ novamente:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use-a para testar a concavidade de uma curva paramétrica.

9.3

Encontrando Comprimentos de Arco de Curvas Dadas por Equações Paramétricas

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-6): Integrais definidas permitem-nos resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança no comprimento sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-6.B: Determinar o comprimento de uma curva no plano definida por funções paramétricas, usando uma integral definida. APENAS BC

CHA-6.B.1 O comprimento de uma curva definida parametricamente pode ser calculado usando uma integral definida. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O comprimento de uma curva paramétrica para $t$ de $a$ a $b$ é

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Esta é a versão paramétrica do comprimento de arco – somando pequenos hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sobre o parâmetro.

9.4

Definindo e Diferenciando Funções Vetoriais

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

Objetivo de Aprendizagem CHA-3.H: Calcular derivadas de funções de valor vetorial. APENAS BC

CHA-3.H.1 Métodos para calcular derivadas de funções de valores reais podem ser estendidos para funções de valor vetorial. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma função vetorial 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ fornece um vetor posição para cada $t$. Diferencie componente a componente: a velocidade é $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ e a aceleração é $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. A rapidez é a magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Uma linha vetorial: comece em a, depois deslize t unidades na direção b

Explorar

Adicionar componentes com valor vetorial

Uma função com valor vetorial empacota um $x(t)$ e $y(t)$ em um único vetor. Diferenciar cada componente fornece o vetor velocidade, tangente à trajetória.

9.5

Integrando Funções Vetoriais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-8): Resolver um problema de valor inicial permite-nos determinar uma expressão para a posição de uma partícula movendo-se no plano.

Objetivo de Aprendizagem FUN-8.A: Determinar uma solução particular dado um vetor velocidade e condições iniciais. APENAS BC

FUN-8.A.1 Métodos para calcular integrais de funções de valores reais podem ser estendidos para funções paramétricas ou de valor vetorial. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Integre uma função vetorial componente a componente. Dada aceleração ou velocidade mais uma condição inicial, integre cada componente e use a condição para encontrar as constantes – recuperando a velocidade a partir da aceleração, ou a posição a partir da velocidade.

9.6

Resolvendo Problemas de Movimento Usando Funções Paramétricas e Vetoriais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-8): Resolver um problema de valor inicial permite-nos determinar uma expressão para a posição de uma partícula movendo-se no plano.

Objetivo de Aprendizagem FUN-8.B: Determinar valores para posições e taxas de mudança em problemas envolvendo movimento planar. APENAS BC

FUN-8.B.1 Derivadas podem ser usadas para determinar velocidade, rapidez e aceleração para uma partícula movendo-se ao longo de uma curva no plano definida por equações paramétricas ou funções de valor vetorial. APENAS BC
FUN-8.B.2 Para uma partícula em movimento planar sobre um intervalo de tempo, a integral definida do vetor velocidade representa o deslocamento da partícula (mudança líquida na posição) sobre o intervalo de tempo, do qual podemos determinar sua posição. A integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para uma partícula movendo-se em um plano: a posição é $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocidade e aceleração são suas derivadas, rapidez é $|\vec v|$, e a distância percorrida sobre $[a,b]$ é

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Habilidade de prova: esses problemas de movimento plano aparecem na questão discursiva do BC quase todo ano – esteja fluente ao encontrar a rapidez, a posição em um tempo posterior (ponto inicial mais a integral da velocidade) e a distância total.

Exemplo resolvido. Uma partícula tem posição $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Sua velocidade é $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, então em $t=1$ a velocidade é $\langle 2,\ 2\rangle$ e a rapidez é $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Sua posição em $t=2$ é $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Definindo Coordenadas Polares e Diferenciando na Forma Polar

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.G: Calcular derivadas de funções escritas em coordenadas polares. APENAS BC

FUN-3.G.1 Métodos para calcular derivadas de funções de valores reais podem ser estendidos para funções em coordenadas polares. APENAS BC
FUN-3.G.2 Para uma curva dada por uma equação polar $r = f(\theta)$, derivadas de $r$, $x$ e $y$ com respeito a $\theta$, e as primeiras e segundas derivadas de $y$ com respeito a $x$ podem fornecer informações sobre a curva. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Traçando uma curva polar

Coordenadas polares 极坐标 localizam um ponto por sua distância $r$ à origem e ângulo $\theta$: converta com $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Uma curva polar $r=f(\theta)$ é uma curva paramétrica em $\theta$, então sua inclinação é

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Coordenadas polares dão um ponto por sua distância r e ângulo theta

Explorar

Plote uma curva polar

Nas coordenadas polares, um ponto está a uma distância $r$ no ângulo $\theta$. Deixando $r$ depender de $\theta$ traça curvas como este cardioides.

9.8

Encontrando a Área de uma Região Polar

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.D: Calcular áreas de regiões definidas por curvas polares usando integrais definidas. APENAS BC

CHA-5.D.1 O conceito de cálculo de áreas em coordenadas retangulares pode ser estendido para coordenadas polares. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A área varrida por uma curva polar $r=f(\theta)$ de $\alpha$ a $\beta$ é

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

A região é um "leque" de finos setores triangulares; escolher os limites corretos de $\theta$ (onde a curva começa e termina de traçar a região) é o principal desafio.

Exemplo resolvido. Encontre a área de uma pétala da rosa $r=2\sin(2\theta)$ (traçada para $\theta$ de $0$ a $\tfrac{\pi}{2}$). Usando $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

A área de uma região polar é varrida como metade da integral de r² d theta — A região sombreada é um leque de finos setores varridos de $\alpha$ a $\beta$; cada um tem área $\tfrac12 r^2\,d\theta$, então o total é $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Encontrando a Área da Região Limitada por Duas Curvas Polares

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.D: Calcular áreas de regiões definidas por curvas polares usando integrais definidas. APENAS BC

CHA-5.D.2 As áreas de regiões delimitadas por curvas polares podem ser calculadas com integrais definidas. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para a área entre uma curva externa $r_1$ e uma interna $r_2$, subtraia os setores:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Encontre os ângulos de interseção primeiro (igualando $r_1=r_2$), e tenha cuidado com qual curva é externa em cada intervalo – elas podem inverter.

9.9

Dicas de prova

Para curvas paramétricas, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; a rapidez é $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Uma função vetorial carrega a mesma informação – diferencie/integre-a componente a componente.
Em polares, converta com $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; a área varrida é $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Observe a direção do traçado (o sinal de $dx/dt$) e defina limites corretos de $\theta$ para área polar.
Elimine o parâmetro para recuperar a forma ordinaria $y$ vs-$x$ quando ajudar.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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