Diferenciação: Definição e Propriedades Fundamentais

Cálculo BC do AP · Tópico 2

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2.1

Taxas Médias e Instantâneas de Alteração em um Ponto

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.A: Determinar taxas de variação médias usando quocientes de diferença.

CHA-2.A.1 Os quocientes de diferença $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expressam a taxa de variação média de uma função sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.

CHA-2.B.1 A taxa de variação instantânea de uma função em $x=a$ pode ser expressa por $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, desde que o limite exista. Estas são formas equivalentes da definição da derivada e são denotadas $f'(a)$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma montanha-russa numa subida: a derivada mede a taxa instantânea de alteração

A derivada pelos primeiros princípios

A Unidade 1 construiu o limite. A Unidade 2 o usa para definir a derivada 导数 – a taxa exata de variação em um ponto.

A taxa instantânea de variação é a inclinação da tangente em um ponto

Sobre um intervalo, a taxa média de variação é um quociente de diferenças 差商. Duas formas equivalentes aparecem:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

A primeira usa um passo de tamanho $h$ partindo de $a$; a segunda usa dois pontos $x$ e $a$. Ambas calculam $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sobre o intervalo.

A taxa instantânea 瞬时 de variação em $x=a$ é o que o quociente de diferenças se aproxima à medida que o intervalo diminui até zero. Este limite é a derivada em $a$, escrita $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

desde que o limite exista.

Explorar

Da taxa média à taxa instantânea

y = ax³ + bx² + cx + d

Deslize o ponto: a secante através de dois pontos próximos inclina-se em direção à tangente à medida que eles se fundem. A inclinação da tangente é a derivada — a taxa de mudança instantânea.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	差商	chà shāng
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	瞬时	shùn shí
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	用定义求导	yòng dìng yì qiú dǎo
notations/nəʊˈteɪʃnz/	记号	jì hào
slope/sləʊp/	斜率	xié lǜ
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	切线	qiè xiàn

2.2

Definindo a Derivada e Lendo Sua Notação

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.

CHA-2.B.2 A derivada de $f$ é a função cujo valor em $x$ é $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, desde que este limite exista.
CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, as notações para a derivada incluem $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ e $y'$.
CHA-2.B.4 A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.C: Determinar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto dado.

CHA-2.C.1 A derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Deixe o ponto $a$ variar e a derivada torna-se uma nova função:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Esta é a definição da derivada (às vezes chamada de "derivar pelos primeiros princípios" 用定义求导). Seu valor em cada $x$ é a taxa instantânea de variação ali.

As notações 记号 comuns para a derivada de $y=f(x)$ são:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente – esteja preparado para transitar entre elas.

Significado geométrico. A derivada em um ponto é a inclinação 斜率 da linha tangente 切线 ao gráfico ali. Assim, a linha tangente em $x=a$ passa por $\big(a, f(a)\big)$ com inclinação $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Escrever esta linha é uma tarefa rotineira de exame, então mantenha a forma ponto-inclinação pronta.

Inclinações de secantes se aproximam da inclinação da tangente: a derivada é o limite das taxas médias — As inclinações de cordas se aproximam da inclinação da tangente: a derivada é o limite das taxas médias

2.3

Estimando uma Derivada em um Ponto

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.D: Estimar derivadas.

CHA-2.D.1 A derivada em um ponto pode ser estimada a partir de informações fornecidas em tabelas ou gráficos.
CHA-2.D.2 Tecnologia pode ser usada para calcular ou estimar o valor da derivada de uma função em um ponto.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Você nem sempre tem uma fórmula. Quando uma função é dada por uma tabela 表格 ou um gráfico, estime a derivada $f'(a)$ com um quociente de diferença sobre um pequeno intervalo em torno de $a$. Uma tabela com valores de ambos os lados de $a$ fornece a melhor estimativa:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Tecnologia (uma calculadora) também pode estimar uma derivada em um ponto.

Habilidade de prova (aparece quase todos os anos). Questões como "Aproxime $M'(7.5)$ usando a taxa média de variação de $M$ no intervalo $5 \le t \le 10$" pedem exatamente este quociente de diferença. Mostre o ajuste:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Nota completa exige os números substituídos e as unidades corretas 单位 (unidades de saída por unidade de entrada), pois vêm de modelos do mundo real.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
units/ˈjuːnɪts/	单位	dān wèi
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	可导	kě dǎo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
corner/ˈkɔːnə/	尖点	jiān diǎn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	垂直切线	chuí zhí qiè xiàn
power rule/ˈpaʊə ruːl/	幂法则	mì fǎ zé
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	常数倍	cháng shù bèi
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	多项式	duō xiàng shì
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	乘积法则	chéng jī fǎ zé
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	商法则	shāng fǎ zé
identities/aɪˈdentɪtiz/	恒等式	héng děng shì
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù

2.4

Diferenciabilidade e Continuidade: Quando Uma Derivada Existe

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-2): Reconhecer que a derivada de uma função também pode ser uma função nos permite desenvolver conhecimento sobre os comportamentos correlacionados de ambas.

Objetivo de Aprendizagem FUN-2.A: Explicar a relação entre diferenciabilidade e continuidade.

FUN-2.A.1 Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto. Em particular, se um ponto não está no domínio de $f$, então ele não está no domínio de $f'$.
FUN-2.A.2 Uma função contínua pode falhar em ser diferenciável em um ponto de seu domínio.
- Exemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
  - Os limites lateral esquerdo e lateral direito do quociente de diferença não são iguais, como em $f(x)=|x|$ em $x=0$.
  - A reta tangente é vertical e não possui inclinação, como em $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Diferenciabilidade é mais forte que continuidade. A relação chave:

Se $f$ for diferenciável 可导 em um ponto, então $f$ é contínua 连续 naquele ponto.

Então diferenciabilidade implica continuidade. O inverso é falso: uma função contínua pode falhar em ser diferenciável. Duas maneiras disso acontecer:

Um ponto anguloso 尖点: os limites dos quocientes de diferença à esquerda e à direita discordam, como com $f(x)=|x|$ em $x=0$.
Uma tangente vertical 垂直切线: a inclinação é infinita (nenhum número real), como com $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.

Duas maneiras de uma função contínua não ser diferenciável: um ponto anguloso e uma tangente vertical

Além disso, um ponto fora do domínio de $f$ não pode estar no domínio de $f'$. Use a contrapositiva na prova: se $f$ não é contínua em $a$, então $f$ não é diferenciável em $a$.

2.5

A Regra da Potência

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

FUN-3.A.1 A aplicação direta da definição da derivada e regras específicas pode ser usada para calcular a derivada de funções da forma $f(x)=x^{r}$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Daqui usamos regras em vez da definição de limite cada vez. A regra da potência 幂法则 lida com qualquer potência de $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Ela funciona para potências inteiras, potências negativas ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) e raízes ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – reescreva como uma potência primeiro, depois aplique a regra.

Explorar

Uma função potência e sua inclinação acelerada

y = ax³ + bx² + cx + d

A regra da potência $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaixa o expoente como um fator. Para $x^3$, a inclinação cresce rapidamente à medida que $x$ sai de 0 — a curva se torna mais íngreme.

2.6

Regras da Constante, Soma, Diferença e Múltiplo Constante

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

FUN-3.A.2 Somas, diferenças e múltiplos constantes de funções podem ser diferenciadas usando regras de derivada.
FUN-3.A.3 A regra da potência combinada com propriedades de soma, diferença e múltiplo constante pode ser usada para encontrar as derivadas de funções polinomiais.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Essas regras permitem diferenciar termo a termo:

Constante: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (uma constante não muda).
Múltiplo constante 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Soma / diferença: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combinadas com a regra da potência, elas diferenciam qualquer termo de um polinômio 多项式 termo a termo. Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivadas de cos x, sin x, e^x e ln x

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

FUN-3.A.4 Regras específicas podem ser usadas para encontrar as derivadas de funções seno, cosseno, exponencial e logarítmica.

Compreensão Duradoura (LIM-3): O raciocínio com definições, teoremas e propriedades pode ser usado para determinar um limite.

Objetivo de Aprendizagem LIM-3.A: Interpretar um limite como uma definição de derivada.

LIM-3.A.1 Em alguns casos, reconhecer uma expressão para a definição da derivada de uma função cuja derivada é conhecida oferece uma estratégia para determinar um limite.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Aprenda estas quatro derivadas base de coração:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note o sinal negativo na derivada do cosseno, e que $e^{x}$ é sua própria derivada.

Um limite que é realmente uma derivada (LIM-3.A.1). Às vezes um limite é secretamente a definição de uma derivada conhecida. Se você reconhecer

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

para uma função $f$ cuja derivada você conhece, basta avaliar $f'(a)$. Por exemplo, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explorar

A forma de sin x (cuja inclinação é cos x)

y = asen(bx + c) + d

A derivada de $\sin x$ é $\cos x$: a inclinação da curva seno é maior onde o seno cruza zero e zero em seus picos. Observe a curva para sentir onde sua inclinação é íngreme ou plana.

2.8

A Regra do Produto

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

FUN-3.B.1 As derivadas de produtos de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do produto.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O produto de duas funções não é diferenciado multiplicando as derivadas. Use a regra do produto 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo." Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

As questões de exame frequentemente constroem uma nova função a partir de peças dadas, por exemplo, $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, e pedem para combinar regras enquanto lê valores de uma tabela.

2.9

A Regra do Quociente

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

FUN-3.B.2 As derivadas de quocientes de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do quociente.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para um quociente, use a regra do quociente 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Base vezes a derivada do numerador, menos numerador vezes a derivada da base, tudo sobre a base ao quadrado." A ordem importa devido ao sinal negativo, então escreva o numerador cuidadosamente. Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivadas de Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

FUN-3.B.3 Rearranjar funções tangente, cotangente, secante e cossecante usando identidades permite a diferenciação usando regras de derivada.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

As derivadas trigonométricas restantes não são decoradas separadamente – você as reescreve com identidades 恒等式 e aplica a regra do quociente (ou produto). Por exemplo, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, então a regra do quociente dá

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

O mesmo método (escrevendo $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) dá $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ e $-\csc x\cot x$.

Derivadas de ordem superior. Diferenciar $f'$ novamente gera a segunda derivada 二阶导数 $f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – a taxa de variação da taxa de variação. Uma parte de prova como "Encontre $k''(3)$" significa apenas diferenciar duas vezes e substituir. Você também pode estimar uma segunda derivada a partir de uma tabela aplicando o método da taxa média de variação aos valores de $f'$.

Exemplo resolvido. Derive $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ com a regra do quociente $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: pegue $u=\sin x$, $v=x$, resultando em $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Mantenha a ordem $u'v-uv'$ no numerador — trocar os termos inverte o sinal e perde a marcação.

2.10

Dicas de prova

A derivada é a inclinação da tangente – o limite da inclinação da secante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quando $h\to0$.
Memorize as regras: potência, produto, quociente, e as derivadas de $\sin$, $\cos$, $e^x$ e $\ln x$.
Diferenciabilidade implica continuidade, mas não o inverso (um ponto anguloso ou cuspid é contínuo mas não diferenciável).
Distinga taxa média de variação (inclinação da secante sobre um intervalo) de taxa instantânea (a derivada em um ponto).
Forneça a equação da reta tangente como $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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