Alternating Series Error Bound · Limite do Erro da Série Alternada
| English | Português |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | limite de erro da série alternada |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
Quão perto está uma soma parcial?
- Se você parar uma série alternada após alguns termos, quão longe está sua estimativa?
- Para uma série alternada convergente, há um limite bellamente simples.
- O limite de erro da série alternada 交错级数误差界: o erro não é maior que o primeiro termo omitido.
- Um termo diz a precisão — nenhuma computação complicada necessária.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
O limite
- Aproxime a soma $S$ pela $n$ª soma parcial $S_n$. O restante (erro) é $|S-S_n|$.
- Para uma série alternada convergente ($b_n\to0$ decrescente):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- O erro é no máximo o valor absoluto do próximo termo — o primeiro que você deixou de fora.
The next term bounds the error · O próximo termo limita o erro
Partial sums of an alternating series trap the true sum, so the error is at most the size of the next (omitted) term. · As somas parciais de uma série alternada aprisionam a soma verdadeira, então o erro é no máximo o tamanho do próximo termo (omitido).
For a convergent alternating series, the error $|S-S_n|$ is at most... · Para uma série alternada convergente, o erro $|S-S_n|$ é no máximo...
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
The error is bounded by the first ____ term, not the last included one. · O erro é limitado pelo primeiro termo ____, não pelo último incluído.
Use $b_{n+1}$, the term you did not add. · Use $b_{n+1}$, o termo que você não adicionou.
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
Por que o próximo termo limita o erro
- Porque os termos alternam e diminuem, a soma verdadeira fica sempre presinha entre somas parciais consecutivas.
- Então parar em $S_n$ sobrestima ou subestima em menos do que o tamanho do próximo termo.
- As somas parciais se aproximam como um acordeão encolhendo ao redor de $S$.
- Daí o próprio próximo termo ser um teto garantido de erro.
Approximating $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with $3$ terms, the error bound is the next term $b_4$. What is it? · Aproximando $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ com $3$ termos, o limite do erro é o próximo termo $b_4$. Qual é ele?
$b_4=\tfrac14=0.25$.
The true sum is always trapped between consecutive partial sums of an alternating series. · A soma verdadeira está sempre aprisionada entre somas parciais consecutivas de uma série alternada.
That is why the next term bounds the error. · É por isso que o próximo termo limita o erro.
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
Usando-o para garantir precisão
- Quer o erro abaixo de $0.01$? Encontre o primeiro termo com $b_{n+1}\le 0.01$ e pare aí.
- O limite permite decidir quantos termos você precisa para uma precisão-alvo.
- Só se aplica a séries alternadas que atendem às condições do Teste da Série Alternada.
- Simples, apertado e amigável para provas.
This error bound applies to any convergent series, alternating or not. · Este limite de erro se aplica a qualquer série convergente, alternada ou não.
Only alternating series meeting the test conditions. · Apenas séries alternadas que atendem às condições do teste.
To guarantee an error under $0.01$, you keep terms until the next term $b_{n+1}$ is... · Para garantir um erro abaixo de $0.01$, você mantém termos até que o próximo termo $b_{n+1}$ seja...
Stop when $b_{n+1}\le0.01$. · Pare quando $b_{n+1}\le0.01$.
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Este limite funciona apenas para séries alternadas que satisfazem o Teste da Série Alternada (decreasing $b_n\to0$) — ele não se aplica a séries de termos positivos. O erro é limitado pelo primeiro termo omitido $b_{n+1}$, não pelo último incluído. Use $b_{n+1}$, o tamanho do termo que você não adicionou.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
Estime $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ com as primeiras $3$ termos; limite o erro.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- Primeiro termo omitido: $b_4=\tfrac14$. Então $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- A soma verdadeira $\ln 2\approx0.693$ está de fato dentro de $0.25$ de $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.
O limite de erro da série alternada: para uma série alternada convergente, o erro da $n$ª soma parcial é no máximo o primeiro termo omitido, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. Aplica-se apenas a séries alternadas que atendem às condições do teste, e permite escolher quantos termos garantem uma precisão-alvo.