Alternating Series Test for Convergence · Teste de Séries Alternantes para Convergência
| English | Português |
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| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | série alternada |
Series whose signs flip
- Some series alternate sign: $+,-,+,-,\dots$, like $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- These are alternating series 交错级数, and they have their own gentle convergence test.
- The sign flips let terms partly cancel, so alternating series converge more easily.
- One test with two simple conditions handles them.
Séries cujos sinais alternam
- Algumas séries alternam sinal: $+,-,+,-,\dots$, como $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- Estas são séries alternadas 交错级数, e possuem seu próprio teste suave de convergência.
- A alternância de sinal permite que os termos cancelem parcialmente, então séries alternadas convergem mais facilmente.
- Um teste com duas condições simples as trata.
The Alternating Series Test
- An alternating series $\sum(-1)^n b_n$ (with $b_n>0$) converges if both:
- 1. the terms decrease: $b_{n+1}\le b_n$, and
- 2. the terms shrink to zero: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- If both hold, the alternating series converges. Simple as that.
O Teste da Série Alternada
- Uma série alternada $\sum(-1)^n b_n$ (com $b_n>0$) converge se ambas:
- 1. os termos diminuem: $b_{n+1}\le b_n$, e
- 2. os termos tendem a zero: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- Se ambas valerem, a série alternada converge. Simples assim.
Shrinking alternating terms · Termos alternantes decrescentes
If the positive part decreases to $0$, the sign flips let the partial sums close in — the series converges. · Se a parte positiva diminui até $0$, a inversão de sinal permite que as somas parciais se fechem — a série converge.
The Alternating Series Test requires the positive terms $b_n$ to be which? · O Teste de Séries Alternantes exige que os termos positivos $b_n$ sejam quais?
Decreasing and limit $0$. · Decrescente e limite $0$.
Why the flips help
- Each new term is smaller than the last and opposite in sign, so it partly undoes the previous one.
- The partial sums bounce, but by shrinking amounts — closing in on a limit.
- That's why $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ converges, even though $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (harmonic) diverges.
- The alternation is what tames the harmonic terms.
Por que as alternâncias ajudam
- Cada termo novo é menor que o anterior e oposto em sinal, então ele cancela parcialmente o anterior.
- As somas parciais oscilam, mas em quantidades decrescentes — aproximando-se de um limite.
- É por isso que $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ converge, mesmo que $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (harmônica) diverja.
- A alternância é o que doma os termos harmônicos.
The alternating harmonic series $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$... · A série harmônica alternante $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
$b_n=\tfrac1n$ decreases to $0$ → converges. · $b_n=\tfrac1n$ diminui até $0$ → converge.
The sign ____ let the partial sums close in on a limit. · A alternância ____ permite que as somas parciais se fechem em um limite.
Alternation causes partial cancellation. · A alternância causa cancelamento parcial.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converges even though $\sum\tfrac1n$ diverges. · $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converge, embora $\sum\tfrac1n$ diverja.
The alternation tames the harmonic terms. · A alternância doma os termos harmônicos.
Applying it cleanly
- Strip off the $(-1)^n$ and check the positive part $b_n$ for the two conditions.
- Is $b_n$ decreasing? Does $b_n\to0$? If yes to both, converges.
- If $b_n$ does not go to $0$, the series diverges (by the nth Term Test instead).
- The test is quick once you isolate $b_n$.
Aplicando-a limpidamente
- Remova o $(-1)^n$ e verifique a parte positiva $b_n$ quanto às duas condições.
- $b_n$ está decrescendo? $b_n\to0$ tende a zero? Se sim a ambos, converge.
- Se $b_n$ não vai para $0$, a série diverge (pelo Teste do n-ésimo Termo em vez disso).
- O teste é rápido uma vez que você isola $b_n$.
You check the two conditions on the positive part $b_n$ after removing $(-1)^n$. · Você verifica as duas condições na parte positiva $b_n$ após remover $(-1)^n$.
Isolate $b_n$ first. · Isolar $b_n$ primeiro.
If $b_n\not\to0$ for an alternating series, it... · Se $b_n\not\to0$ para uma série alternante, ela...
Terms not $\to0$ → diverges regardless of alternation. · Termos não $\to0$ → diverge independentemente da alternância.
Apply the two conditions to the positive terms $b_n$ (after removing the $(-1)^n$). Both are needed: decreasing and limit $0$. If $b_n\not\to0$, the series diverges (nth Term Test). And this test proves convergence of the alternating series; it says nothing about $\sum b_n$ or $\sum|a_n|$ (see absolute vs. conditional, lesson 10.9).
Aplique as duas condições aos termos positivos $b_n$ (após remover o $(-1)^n$). Ambas são necessárias: decrescente e limite $0$. Se $b_n\not\to0$, a série diverge (Teste do n-ésimo Termo). E este teste prova a convergência da série alternada; ele não diz nada sobre $\sum b_n$ ou $\sum|a_n|$ (veja absoluto vs. condicional, lição 10.9).
Does the alternating harmonic series $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ converge?
- Positive part $b_n=\tfrac1n$. Decreasing? Yes, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limit $0$? Yes, $\tfrac1n\to0$.
- Both conditions hold, so the series converges by the Alternating Series Test.
- (Even though the plain harmonic series diverges.)
A série harmônica alternada $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ converge?
- Parte positiva $b_n=\tfrac1n$. Decrescente? Sim, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limite $0$? Sim, $\tfrac1n\to0$.
- Ambas as condições valem, então a série converge pelo Teste da Série Alternada.
- (Mesmo que a série harmônica simples diverja.)
The Alternating Series Test: $\sum(-1)^n b_n$ (with $b_n>0$) converges if the terms $b_n$ are decreasing and $b_n\to0$. Check both on the positive part $b_n$. The alternation lets series like $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge where the non-alternating version diverges.
O Teste da Série Alternada: $\sum(-1)^n b_n$ (com $b_n>0$) converge se os termos $b_n$ estão decrescendo e $b_n\to0$. Verifique ambos na parte positiva $b_n$. A alternância permite que séries como $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converjam onde a versão não alternada diverge.