代数とグラフ

代数学では、数を表すために文字を使います。値が変わりうる文字を変数と呼びます。代入とは、文字の代わりに数を代入することです。

** worked example. ** $3x^{2} - 2y$ の値を $x = 4$ および $y = 5$ のとき求なさい。

項とは、式の単一の部分、例えば $5a$ や $-9b$ のことを指す。同類項は、同じ文字の同じ累乗を持つ項であり、これらを足したり引いたりできる。文字の前にある数字を係数という。

** worked example.** $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$ を簡略化せ。

同類項をまとめます：$2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$ , $3ab - 9ab = -6ab$ , $-1 + 4 = 3$ 。したがって答えは

展開とは、括弧を外して掛け算を行うことです。括弧内のすべての項を外側の項と掛け合わせます。2つの括弧の場合、最初の括弧の各項を2番目の括弧の各項と掛け合わせます。

解法例.

よくある間違い。 括弧の中身のある項だけを掛け算してしまう（$3(x + 4) = 3x + 12$ 、$3x + 4$ ではない）、マイナス記号を忘れてしまう（$-2(x - 5) = -2x + 10$ ）、そして $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ と書いてしまう。括弧の二乗は三つの項になる：$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$ 。

3つの括弧の場合（拡張）、まず2つを展開してから、3つ目と掛け合わせます：

因数分解とは、展開の逆操作です。式を括弧の积（積）として書きます。常に最初に共通因数を取り出してください。

** worked example. ** $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$ 、なぜなら $3x$ が両方の項を割り切からです。

以下のパターンは拡張です。

グループ分け（4つの項）：各ペアから共通因数を取り出します。

二乗の差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ 。

完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ 。

二次式 $ax^{2} + bx + c$ ：$a \times c$ に掛けて $b$ になる2つの数を見つけ、中間項を分割します。

** worked example. ** $2x^{2} + 7x + 3$ を因数分解しなさい。

ここで $a \times c = 6$ および $b = 7$ です。$1$ と $6$ が機能します。分割してグループ化します：

$ax^{3} + bx^{2} + cx$ に対しては、最初に共通の $x$ を取り出します：$2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$ 。

平方完成により、$x^{2} + bx + c$ を$(x + p)^{2} + q$ の形に書き換える。$x$ の係数の半分を取り、それを二乗してバランスを取る。

** worked example. ** $x^{2} + 6x + 1$ を平方完成の形に書きなさい。

$6$ の半分は $3$ で、$3^{2} = 9$ です：

$x^{2}$ に係数がある場合は、最初から2つの項から外に出してください：

代数的分数は、分子または分母に文字が含まれます。共通の分母を使って足し引き算を行い、通常の分数と同様に掛け算・割り算を行います。

解法例.

有理式を整理するには、分子と分母を因数分解し、共通する括弧で約分します。

指数の法則は文字に対しても適用されます：$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$、$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$、および$(a^{m})^{n} = a^{mn}$。

解法例.

両辺を同じ底で表すことで、簡単な指数方程式を解くこともできます。

** worked example（例題）.** $2^{x} = 32$ を解きます。$32 = 2^{5}$ であるため、$x = 5$ が得られます。

方程式とは、2つの式が等しいことを示すものです。一次方程式を解くには、未知数が単独になるまで両辺に同じ演算を行います。

** worked example（解法例）。** $5 - 2x = 3(x + 7)$ を解け。

よくある間違い。 等号の向こう側へ項を移す際に符号を変えない。両辺に同じ操作を行うようにする：「両辺から $21$ を引く」ことで、符号の変更を自動的に処理できる。

分数方程式（発展）

分数方程式とは、分母に未知数を含む方程式です。両辺に分母を掛けて消去します。

** worked example（解法例）。** $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$ を解け。

連立方程式

連立方程式とは、2つの方程式を同時に解くことです。一次方程式の組み合わせでは、足し引き算によって一つの文字を消去します。

** worked example（例題）.** $2x + y = 7$ と $3x - y = 8$ を解きます。

足し算により $y$ が消えます：$5x = 15$ となるため、$x = 3$ です。次に $y = 7 - 2(3) = 1$ を求めます。

一次方程式と二次方程式の組み合わせ（発展）では、一次方程式を曲線の式に代入します。

** worked example（例題）.** $y = x + 2$ と $y = x^{2}$ を解きます。

よって $x = 2$ （$y = 4$ を与える）または $x = -1$ （$y = 1$ を与える）。

二次方程式の解法（発展）

3つの方法があります。

• 因数分解による解法： $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ または $x = -3$。
• 平方完成による解法： $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$。
• 二次の公式による解法（試験で与えられます）：
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

** worked example（公式による例題）.** $2x^{2} + 3x - 1 = 0$ を解きます。ここで $a = 2$、$b = 3$、$c = -1$ です：

主語の変更

公式の主語を変更するとは、特定の文字が片側だけで単独になるように式を変形することです。

** worked example（例題）.** $r$ を $A = \pi r^{2}$ の主語にする（発展、べき乗があるため）。

文字が二回出現する場合（拡張版）、それらの項を集めて因数分解する。 $x$ を $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ の主題とするために：

不等式には $<$、$>$、$\leqslant$、または $\geqslant$ が使われます。方程式と同じように解きますが、負の数を掛けたり割ったりする場合は記号を逆転させます。

** worked example（解法例）。** $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$ を解け。

すべてに $2$ を加えてから、$3$ で割ります：

** worked example（解法例）。** $5 - 2x > 11$ を解け。

$-2$ で割ると符号が反転する。$x = -4$ で確認する：$5 + 8 = 13 > 11$ となり、正しい。

よくある間違い。 負の数で割る際に符号を反転させ忘れると、ここでは誤った答え $x > -3$ が得られてしまう。

数直線上では、$<$ や $>$（値含まない）には白丸を、$\leqslant$ や $\geqslant$（値含む）には黒丸を使います。

領域（発展）

2変数の不等式はグラフ上の領域を表します。境界線を引きます（$<$ や $>$ は破線、$\leqslant$ や $\geqslant$ は実線）。不要な側の領域に網目をかけます。与えられた領域を定義する不等式のリストを求める問題もあります。

数列とは、ある規則に従った数の並びです。項ごとの規則は、前の項から次の項をどのように作るかを教えてくれます。

位置 $n$ の項（$n$ 番目の項）の規則を見つけるには、項の変化を見ます。

等差数列（項が毎回同じ量だけ増減する）。その差は $n$ の倍数です。

** worked example（例題）.** $2, 5, 8, 11, \dots$ の $n$ 番目の項を求めます。

項は$3$ ずつ増えるので、$3n$ から始めます。$3 \times 1 = 3$ であるにもかかわらず最初の項が$2$ なので、$1$ を引きます：$n$ 番目の項は$3n - 1$ です。

二次数列（差自体が毎回同じ量だけ増減する）。2階の差は $2 \times$ で、$n^{2}$ の係数の半分になります。

** worked example（例題）.** $2, 5, 10, 17, \dots$ の $n$ 番目の項を求めます。

1阶の差は $3, 5, 7$；2阶の差は $2$ なので、$n^{2}$ の部分は $1n^{2}$ です。序列から $n^{2}$（$1, 4, 9, 16$）を引くと $1, 1, 1, 1$ が残ります。したがって $n$ 番目の項は $n^{2} + 1$ です。

$1, 8, 27, 64, \dots$ のような三次数列の $n$ 番目の項は $n^{3}$ です。指数数列（例：$2, 6, 18, 54, \dots$）は毎回一定の数を掛け合わせます。ここでは $n$ 番目の項は $2 \times 3^{\,n-1}$ です。

二つの量が比例関係にあるとは、一方が他方の一定の倍数であることを指す：$y \propto x$ は $y = kx$ を意味し、ここで $k$ は定数である。積が一定であれば反比例関係にある：$y \propto \dfrac{1}{x}$ は $y = \dfrac{k}{x}$ を意味する。記号 $\propto$ は「〜に比例する」と読む。また、二乗、平方根、立方、立方根への比例关系も考えられる。

** worked example（例題）.** $y$ は $x$ に正比例しており、$y = 12$ のとき $x = 3$ です。$x = 7$ のときの $y$ を求めます。

まず $k$ を求めます：$12 = k \times 3$ より、$k = 4$ かつ $y = 4x$ です。次に $y = 4 \times 7 = 28$ を求めます。

グラフの傾き（急さ）は変化率を示します。

• 移動グラフ（距離-時間グラフ）の傾きは速度に等しく、平坦な部分は物体が静止していることを意味します。
• 換算グラフは、2つの単位間の変換に用いられる直線です（例：マイルとキロメートル）。

速度-時間グラフ（エクステンデッド）

速度-時間グラフの傾きは加速度（または速度が減少する場合は減速）を表し、グラフ下面的積は移動した距離です。

** worked example.** 車が静止状態から $20\text{ m/s}$ に $8\text{ s}$ で加速し、その後 $20\text{ m/s}$ で $12\text{ s}$ 間一定に保ちます。加速度と総距離を求めよ。

加速度 $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$。距離は面積である：三角形＋長方形、

グラフを描くには、まず値表を作成します： $x$ の値を選び、 $y$ を計算し、次に 座標 をプロットして滑らかな曲線で結んでください。

グラフが $x$ 軸（水平な 軸）と交わる点は 根（解）であり、 $y = 0$ の解です。

グラフを読み取ることで方程式を解くことができます。直線と曲線の交点は、2つの方程式の連立解となります。

指数関数的増加と指数関数的減少については、$y = a\,b^{x} + c$ に $a>0$ と $b>0$ 、$b\ne1$ を考える。$b>1$ の場合、グラフは $x$ が増加するにつれて上昇し、$x$ が減少するにつれて $y=c$ に近づく。$0<b<1$ の場合、$x$ が増加するにつれて $y=c$ に減衰していく。

簡易的な概略図では、適切な形状と重要な特徴を示すべきです：軸との交点、対称性、および曲線が近づく直線（漸近線）などです。

放物線については、平方完成により頂点（最低点または最高点）が求まります。例えば $y = (x + 3)^{2} - 8$ は $(-3, -8)$ に頂点を持ちます。

漸近線とは、指定された極限において曲線が近づく直線を指す。曲線が他の箇所で水平な漸近線と交差することもある。これらの例では、曲線は指定された直線に接しない—for example, the $x$-axis for $y = \dfrac{a}{x}$ , or the line $y = b$ for $y = a\,r^{x} + b$ .

微分とは、勾配が存在する点における曲線の傾きを求めることである。曲線にただ触れる直線である接線を描いてその傾きを測定することで推定できる。

正確な規則：もし $y = ax^{n}$ なら、導関数は以下となる

和の項ごとに順に微分します。

** worked example（例題）** $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$ ならば $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$ 。

** stationary point（停留点） ** とは、勾配がゼロとなる点を指す。必ずしも変曲点とは限らない：原点での停留点を通っても、$y=x^3$ は増大し続ける。停留点を見つけるには、$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$ を零とする。

** worked example.** $y = x^{2} - 6x + 5$ の極値点を求めよ。

極値点は $(3, -4)$ です。極値点が最大値か最小値かを判断するには、両側の傾きの符号を確認するか、2階微分を用います（正であれば最小値）。

関数は、入力値を1つの出力値に変換します。 $f(x)$ と表記し、例として $f(x) = 3x - 5$ とすれば $f(2) = 1$ となります。許容される入力の集合を定義域、可能な出力の集合を値域といいます。

逆関数 $f^{-1}(x)$ は元の関数の逆作用を果たす。各出力は一つの許容された入力からのみ由来する必要がある。必要に応じて元の定義域を制限する。求めるには、$y = f(x)$ と書き、役割を入れ替え、$x$ を主語にする。

** worked example.** $f(x) = 3x - 5$ の逆行列を求める。

合成関数とは、ある関数の結果を次の関数の入力とする操作です： $gf(x)$ は「まず $f$ を実行し、次に $g$ を実行する」ことを意味します。

** worked example.** もし $f(x) = 2x$ かつ $g(x) = x + 3$ ならば、

よくある間違い。 外側の関数を先に計算してしまう（$gf(x)$ は $f$ で始まり、$x$ に最も近い方）、そして $f^{-1}(x)$ と $\dfrac{1}{f(x)}$ を混同してしまう。$f(x) = 3x - 5$ に対しては $f^{-1}(1) = 2$ だが、$\dfrac{1}{f(1)} = -\dfrac{1}{2}$ ではない。

• 括弧を展開する際は、すべての項に掛けて符号に注意します。特に前面にマイナスがある場合： $-(x - 3) = -x + 3$ 。
• 方程式を解く際は、両辺に同じ操作を行います。不等式の両辺に負の数を掛けたり割ったりする際は、記号を反転させます。
• 因数分解を完全に: まず最大公約数を取り出し、随后に2乗の差や二次式のパターンを探します。
• 二次方程式は通常2つの解を持つので、両方答えます。問題が因数分解、公式、または平方完成を求めているか確認してください。
• 式に値を代入する際は、まず各値を括弧で囲んでから代入すると、符号や累乗の扱いが適切になります。