Dinámica

Masa

La masa 质量 indica lo difícil que es cambiar el movimiento de un objeto. Cuanto mayor sea la masa, mayor será la fuerza 力 necesaria para producir una determinada aceleración 加速度. La masa se mide en kilogramos ($\text{kg}$) y es una magnitud escalar 标量.

Momento

El momento lineal 动量 es el producto de la masa por la velocidad:

El momento es una magnitud vectorial 矢量 — tiene la misma dirección que la velocidad 速度. Su unidad es $\text{kg m s}^{-1}$, que equivale a $\text{N s}$.

La fuerza como tasa de cambio del momento

La segunda ley de Newton, en su forma general: la fuerza resultante 合力 sobre un objeto es igual a la tasa de cambio de su momento.

Cuando la masa es constante, esto se convierte en $F = ma$, porque $\Delta p = m\,\Delta v$ y $\Delta v / \Delta t = a$. Las preguntas de Cambridge suelen pedir que utilices $F = \Delta p / \Delta t$ directamente para una colisión 碰撞 o un impulso 冲量: la fuerza promedio es igual al cambio en el momento lineal dividido por el tiempo de contacto.

Una pelota golpea una pared con un momento lineal $p_{1}$ y rebota con un momento lineal $p_{2}$ en dirección opuesta. El cambio en el momento lineal es $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (asigne la signo correcto a cada dirección). La fuerza promedio es $\Delta p / \Delta t$, donde $\Delta t$ es el tiempo de contacto.

Ejemplo resuelto. Una $0.20\ \text{kg}$ golpea una pared a $8.0\ \text{m s}^{-1}$ y rebota directamente hacia atrás a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. El contacto dura $0.050\ \text{s}$. Encuentre la fuerza promedio sobre la bola.

Tome la dirección del rebote como positiva, por lo que $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ y $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

Cuando conoces el momento lineal pero no la velocidad, el cambio en la energía cinética 动能 es

Esto proviene de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Gráficos de momento lineal frente al tiempo

Debido a que $F = \Delta p / \Delta t$, la pendiente de un gráfico de momento lineal frente al tiempo es la fuerza neta, al igual que la pendiente de un gráfico de velocidad frente al tiempo es la aceleración. Una línea recta indica una fuerza neta constante; una línea horizontal indica una fuerza neta cero; una línea con pendiente descendente indica una fuerza que actúa contra el movimiento.

Ejemplo resuelto. El gráfico muestra el momento lineal de una motocicleta. Calcula la fuerza neta sobre ella durante los primeros $10\ \text{s}$.

Gradiente $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ y $16\ \text{s}$ el momento lineal es constante, por lo que la fuerza resultante es cero: la fuerza motriz simplemente equilibra las fuerzas de resistencia. Desde $16\ \text{s}$ hasta $20\ \text{s}$ el momento lineal disminuye en $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, por lo que la fuerza resultante es $-500\ \text{N}$, actuando hacia atrás.

Si una pregunta indica que la velocidad está cambiando mientras la fuerza resultante se mantiene constante, esa fuerza no puede ser la resistencia del aire: la resistencia depende de la velocidad, por lo que cambiaría a medida que cambia la velocidad, y la resistencia siempre actúa en contra del movimiento.

Primera ley

Un objeto permanece en reposo, o continúa moviéndose a velocidad constante en línea recta, a menos que actúe sobre él una fuerza externa 外力 resultante. En resumen: una fuerza resultante nula implica una aceleración nula.

Segunda ley

La fuerza resultante sobre un objeto es igual a su tasa de cambio de momento lineal, y actúa en la misma dirección que dicho cambio. En unidades del SI,

La aceleración y la fuerza resultante siempre apuntan en la misma dirección.

Tercera ley

Cuando el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A una fuerza igual y opuesta. Las dos fuerzas:

• actúan sobre objetos diferentes,
• son del mismo tipo (ambas gravitatorias, ambas de contacto, ambas electrostáticas 静电, etc.),
• tienen la misma magnitud y direcciones opuestas.

Una trampa común: el peso 重力 de un bloque sobre una mesa y la fuerza normal de contacto 支持力 de la mesa no forman un par de tercera ley (actúan sobre el mismo objeto y son de diferente tipo). El par de tercera ley correspondiente al peso del bloque es la atracción que el bloque ejerce sobre la Tierra. El par de tercera ley correspondiente a la fuerza de contacto de la mesa es la presión que el bloque ejerce sobre la mesa.

Para nombrar a un pareja de la tercera ley, intercambia los dos cuerpos en la oración. "La rueda trasera de una bicicleta empuja hacia atrás sobre el camino" se empareja con "el camino empuja hacia adelante sobre la rueda trasera", y ese empuje hacia adelante es lo que impulsa la bicicleta. "La Tierra atrae a la Luna" se empareja con "la Luna atrae a la Tierra", con la misma magnitud de fuerza.

Para un cohete: la empuje 推力 sobre el cohete y la fuerza sobre los gases forman un par de la tercera ley (el motor empuja al gas hacia abajo, el gas empuja al motor hacia arriba). El peso y la resistencia del aire no forman parte de este par.

El peso es la fuerza sobre un objeto debida a un campo gravitatorio 重力场. Cerca de la superficie de la Tierra,

donde $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ es la aceleración de caída libre. El peso es un vector que apunta hacia el centro de la Tierra. No lo confundas con la masa: la masa es igual en todas partes, pero el peso cambia según el lugar.

En la Luna $g$ es aproximadamente $1.6\ \text{m s}^{-2}$, por lo que la masa de un astronauta permanece sin cambios pero su peso es aproximadamente una sexta parte de su valor en la Tierra. Cuando una pregunta de opción múltiple pide qué afirmación describe el peso, la respuesta es aquella que dice "la fuerza sobre el objeto debido a un campo gravitatorio", no "masa por aceleración" ni "la fuerza resultante".

Fuerzas de fricción y resistencia

Una fuerza de fricción 摩擦力 entre dos superficies sólidas actúa a lo largo de la superficie y se opone al deslizamiento. Una fuerza viscosa 黏性 o de arrastre 阻力 es la fuerza resistente que ejerce un fluido 流体 (un líquido o un gas) sobre un objeto que se mueve a través de él; la resistencia del aire es el caso para el aire. No necesitas usar ningún coeficiente 系数 de fricción o viscosidad.

Un modelo simple: la resistencia aumenta a medida que lo hace la velocidad. A velocidad cero, la resistencia es cero. La resistencia también crece con el área transversal 横截面积 del objeto y con la densidad del fluido; un paracaídas funciona al aumentar significativamente el área y, por tanto, la resistencia. Estas fuerzas de fricción y las fuerzas de resistencia son todas fuerzas resistentes: actúan en dirección opuesta al movimiento y transfieren energía cinética a energía térmica.

Un objeto cayendo a través del aire

Para un objeto soltado desde el reposo y cayendo a través del aire:

1. Al principio, solo actúa el peso, por lo que el objeto acelera hacia abajo con $g$.
2. A medida que aumenta la velocidad, la resistencia ascendente también crece. La fuerza resultante disminuye, por lo que la aceleración se vuelve menor.
3. Finalmente, la resistencia iguala al peso. La fuerza resultante es cero, la aceleración es cero y la velocidad permanece constante — esta es la velocidad terminal 收尾速度.

En una gráfica de velocidad–tiempo, la línea comienza recta con pendiente $g$, luego se curva y se aplanará en la velocidad terminal. Esta forma (inicio rápido, luego aceleración decreciente, luego velocidad constante) es cómo difiere "caer con resistencia del aire" de "caída libre en vacío" en un campo gravitatorio uniforme 匀强重力场. En una gráfica de aceleración–tiempo, la aceleración comienza en $g$ y disminuye, curvándose hacia cero.

Dos esferas del mismo tamaño pero diferente densidad tienen diferentes velocidades terminales: la esfera más densa tiene mayor peso, por lo que necesita una resistencia mayor para equilibrarlo, y la resistencia solo alcanza ese valor a una velocidad más alta. También es por eso que un paracaídas cambia todo: cuando se abre, la resistencia supera repentinamente al peso, la fuerza resultante es hacia arriba y el paracaidista desacelera (la aceleración es hacia arriba mientras la velocidad aún es hacia abajo) hasta que la resistencia vuelve a igualar al peso en una nueva velocidad terminal mucho más baja.

Cae a través de un líquido: tres fuerzas

Una bola que cae a través de un líquido tiene tres fuerzas actuando sobre ella: su peso hacia abajo, el empuje 浮力 hacia arriba y la resistencia viscosa hacia arriba. El empuje proviene de la presión hidrostática 流体静压强: la presión en un líquido aumenta con la profundidad, por lo que el líquido empuja con más fuerza en la parte inferior de la bola que en la superior, y la resultante de estos empujes es hacia arriba. Su magnitud es igual al peso del líquido desplazado por la bola, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (tema 4). La resistencia crece con la velocidad. Cuando el peso $=$ empuje $+$ resistencia, la fuerza resultante es cero y la bola cae a su velocidad terminal. Una pregunta tipo "dibuja flechas etiquetadas" requiere exactamente estas tres, con el empuje y la resistencia ambos hacia arriba y el peso hacia abajo.

Ejemplo resuelto. Una bola de acero de radio $2.0\ \text{mm}$ y peso $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ cae a través de aceite de densidad $850\ \text{kg m}^{-3}$. La resistencia viscosa sobre ella es $F = 6\pi \eta r v$, donde $\eta$ es la viscosidad 黏度 del aceite y $v$ la velocidad. (a) Encuentra las unidades fundamentales del SI de $\eta$. (b) Demuestra que el empuje sobre la bola es $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Tomando $\eta = 0.20$ en unidades del SI, encuentra la velocidad terminal.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, por lo que sus unidades son $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, por lo que $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) A la velocidad terminal, la resistencia $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Entonces $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Energía durante una caída a velocidad terminal

A velocidad terminal, un paracaidista 跳伞者 tiene energía cinética constante. Pero la energía potencial gravitatoria 重力势能 sigue disminuyendo a medida que desciende. ¿Adónde va? Casi toda se convierte en energía térmica 热能 del aire circundante. No se convierte en energía cinética del paracaidista —esa permanece constante.

Ciclista o automóvil a velocidad constante

Un vehículo a velocidad constante en una carretera plana tiene fuerza resultante nula. La fuerza motriz 驱动力 es igual y opuesta a la fuerza total resistente (fricción, resistencia del aire y resistencia a la rodadura). A mayor velocidad, la resistencia es mayor, por lo que la fuerza motriz también debe ser mayor —y por tanto la potencia 功率 debe ser mayor.

En una pendiente, el peso tiene una componente a lo largo de la carretera. Subiendo a velocidad constante, la fuerza motriz debe equilibrar la fuerza resistente y la parte del peso que tira cuesta abajo, $W\sin\theta$; bajando, esa misma componente ayuda al movimiento.

Ejemplo resuelto. Un auto de masa $1500\ \text{kg}$ sube por una carretera inclinada $12°$ respecto a la horizontal a una velocidad constante de $30\ \text{m s}^{-1}$. La fuerza total resistente es $1600\ \text{N}$. Encuentra la fuerza motriz y la potencia útil de salida del motor.

Velocidad constante significa fuerza resultante nula a lo largo de la pendiente: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. La potencia es fuerza por velocidad (tema 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

El principio

Para un sistema sin fuerza externa resultante, el momento total se mantiene constante. Esto es conservación del momento 动量守恒. Enunciado para los dos puntos que da el examinador: el momento total de un sistema de objetos permanece constante siempre que no actúe sobre el sistema ninguna fuerza externa resultante. Se necesitan ambas partes: "el momento total es constante" solo otorga uno.

Siempre se cumple cuando no hay fuerza externa resultante: en colisiones, explosiones 爆炸 y receso 反冲. En dos dimensiones, el momento se conserva a lo largo de cada dirección por separado.

Ejemplo resuelto. Un $2.0\ \text{kg}$ carro y un $3.0\ \text{kg}$ carro están sujetos contra un resorte comprimido, luego se sueltan desde el reposo. El $2.0\ \text{kg}$ carro sale volando a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la velocidad del otro carro.

El momento total se mantiene en cero (comenzó en reposo), así que

en la dirección opuesta.

Colisiones elásticas e inelásticas

En toda colisión, el momento se conserva (si no hay fuerza externa resultante).

Una colisión elástica 弹性碰撞 es aquella en la que la energía cinética total también se conserva. Una prueba rápida: en una colisión elástica, la velocidad relativa 相对速率 de aproximación es igual a la velocidad relativa de separación.

En una colisión inelástica 非弹性碰撞, el momento se conserva pero la energía cinética disminuye — parte se convierte en energía térmica, sonora o de deformación 形变. Si los dos objetos quedan unidos, la colisión es perfectamente inelástica.

Resolver problemas de colisión (una dimensión)

Para dos objetos con masas $m_{1}, m_{2}$ y velocidades iniciales $u_{1}, u_{2}$ que chocan frontalmente 正面, escribe

Usa velocidades con signo (positiva en una dirección elegida). Si la colisión es elástica, añade la ecuación de velocidad relativa

o, lo mismo, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Eso da dos ecuaciones para dos incógnitas.

Ejemplo resuelto. Un coche de $1500\ \text{kg}$ que se mueve a $12\ \text{m s}^{-1}$ choca contra un coche estacionado de $1000\ \text{kg}$ y se bloquean juntos. Encuentra su velocidad común justo después de la colisión.

El momento se conserva (los coches se unen, así que $v_{1} = v_{2} = v$):

Las preguntas suelen seguir preguntando qué fracción de la energía cinética se transfiere a otras formas. Antes: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Después: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Así que $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, que representa $40\%$ de la energía cinética original, se convierte en energía térmica, sonido y deformación de los coches. El momento se conserva; la energía cinética no.

Ejemplo resuelto. Un núcleo estacionario de masa $222\,u$ decae emitiendo una partícula alfa α粒子 de masa $4\,u$ a $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la velocidad del núcleo restante.

Antes del decaimiento, el momento total es cero, así que después los dos momentos son iguales y opuestos: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, lo que da $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ en dirección opuesta a la partícula alfa. La unidad $u$ se cancela, por lo que su valor nunca es necesario. En un decaimiento, el momento, la carga (número de protones), el número de nucleones y la energía-masa total se conservan (tema 11).

Un resultado útil para una colisión elástica frontal de masa $m$ contra una masa estacionaria 静止 $M$:

Colisiones en dos dimensiones

Si los objetos se mueven en dos dimensiones, descompón las velocidades en componentes 分量 perpendiculares 垂直 y aplica la conservación del momento a lo largo de cada dirección por separado. Para una colisión donde los objetos chocan en ángulo, elige un eje a lo largo del movimiento del primer objeto y otro perpendicular a él. El momento total se conserva a lo largo de cada eje.

Ejemplo resuelto. Sobre una superficie sin fricción, la bola A tiene un momento $4.0\ \text{N s}$ hacia el este y la bola B tiene un momento $3.0\ \text{N s}$ hacia el norte. Chocan y se unen. Encuentra el momento del objeto combinado.

El momento se conserva a lo largo de cada eje: $4.0\ \text{N s}$ hacia el este y $3.0\ \text{N s}$ hacia el norte después de la colisión, exactamente como antes. El momento total es la suma vectorial, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ a $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ al norte del este; el objeto combinado se mueve en esa dirección a $5.0\ \text{N s}$ dividido por la masa total. Un diagrama de opción múltiple con dos flechas de momento está pidiendo exactamente esto: suma las flechas punta con cola.

Cohete / expulsar masa

Un cohete expulsa gas a velocidad $u$ (relativa a sí mismo) a una tasa de flujo másico 质量流率 $\dot m$ (kg por segundo). Siente un empuje

que proviene de $F = \Delta p / \Delta t$. El momento dado al gas cada segundo es igual a la empuje del cohete (Tercera ley de Newton: el cohete empuja el gas en una dirección y el gas empuja al cohete en la dirección opuesta). Un motor que expulsa $90\ \text{kg}$ de gas por segundo a $190\ \text{m s}^{-1}$ produce un empuje de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Ejemplo resuelto. Un cohete de peso $W$ sale del suelo con una aceleración inicial $a$. ¿Qué empuje produce su motor?

Se toma hacia arriba como positivo. La fuerza resultante es el empuje menos el peso, por lo tanto $T - W = ma$. Con $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Un cohete de peso $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ que acelera a $4.0\ \text{m s}^{-2}$ necesita un empuje de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. El empuje debe exceder al peso antes de que el cohete se mueva en absoluto.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• La segunda ley de Newton es $F = \Delta p / \Delta t$ (tasa de cambio del momento); $F = ma$ es el caso especial para masa constante.
• Identifica correctamente los pares de tercera ley: el mismo tipo de fuerza actuando sobre dos cuerpos diferentes; no las fuerzas equilibradas sobre un solo cuerpo.
• El momento se conserva en toda colisión; la energía cinética se conserva solo en una colisión elástica.
• Para la velocidad terminal, explica que la resistencia aumenta con la velocidad hasta que la resistencia $=$ al peso, por lo que la aceleración se vuelve cero.

Errores comunes

• Escribir "las fuerzas están equilibradas" o "las fuerzas se cancelan". Di "la fuerza resultante sobre el objeto es cero".
• Sumar ambas velocidades en una colisión frontal porque el momento es "total". Elige una dirección positiva, asigna signo negativo a la velocidad opuesta y luego suma.
• Calcular la energía cinética a partir de un componente de la velocidad. La energía cinética utiliza la rapidez total de cada cuerpo.
• Llamar par de tercera ley al peso y a la fuerza de contacto normal sobre un solo objeto. Un par actúa sobre dos objetos diferentes y es de un solo tipo de fuerza.
• Enunciar la conservación del momento sin la condición correspondiente. Solo se cumple cuando no actúa sobre el sistema ninguna fuerza externa resultante.