Superposición

Cuando dos o más ondas 波 se solapan en un punto, el desplazamiento 位移 en ese lugar es la suma vectorial 矢量和 de los desplazamientos que cada onda produciría por sí misma. Este es el principio de superposición 叠加.

Las ondas se cruzan entre sí y salen sin cambios. La superposición es la base de todo en este tema.

Para la afirmación de dos marcas: cuando dos o más ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante es la suma de los desplazamientos de las ondas individuales. Son los desplazamientos los que se suman, no las amplitudes ni las intensidades, y el principio se aplica siempre que se solapen ondas del mismo tipo; las ondas no tienen que ser coherentes ni tener igual amplitud.

Si dos ondas de amplitud 振幅 $A_{1}$ y $A_{2}$ se encuentran:

• en fase 同相 (cresta 波峰 se encuentra con cresta): la amplitud es $A_{1} + A_{2}$ (interferencia constructiva 相长干涉).
• exactamente desfasadas (crestas se encuentran con valle 波谷, diferencia de fase 相位差 $\pi$): la amplitud es $|A_{1} - A_{2}|$ (interferencia destructiva 相消干涉).
• cualquier otra diferencia de fase $\phi$: la amplitud está en algún lugar intermedio entre estas dos.

Para la intensidad 强度, $I \propto A^{2}$. Dos ondas iguales que se encuentran en fase dan una intensidad $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — cuatro veces la intensidad de una sola onda.

Debido a que $I \propto A^{2}$, trabaja primero con las amplitudes. Dos ondas de intensidades $I$ y $4I$ tienen amplitudes $A$ y $2A$: al superponerse en fase dan una amplitud $3A$ y una intensidad $9I$; en antifase, amplitud $A$ e intensidad $I$. Por tanto, dos ondas coherentes de diferentes intensidades nunca se cancelan completamente: los mínimos tienen intensidad $(A_{2} - A_{1})^{2}$, no cero. Una onda de amplitud $2A$ que se encuentra con otra de amplitud $A/2$ viajando en dirección opuesta da como resultado algo que varía entre $2.5A$ y $1.5A$, un patrón estacionario sin nudos verdaderos. Duplicar la amplitud de una de dos ondas iguales que se encuentran en fase lleva el resultado de $2A$ a $3A$, por lo que la intensidad sube de $4A^{2}$ a $9A^{2}$: $2.25$ veces.

Cuando dos ondas progresivas 行波 idénticas viajan en direcciones opuestas y se solapan, forman una onda estacionaria 驻波. Ejemplos: una onda en una cuerda reflejada 反射 desde un extremo fijo que se superpone con la onda incidente; sonido en una columna de aire reflejada desde un extremo cerrado; microondas entre un emisor y una lámina metálica.

Explica cómo se forma la onda estacionaria (tres o cuatro marcas, se pide igual para una cuerda, una columna de aire y microondas): la onda procedente de la fuente viaja hasta el extremo lejano (la pared, el extremo cerrado, la placa metálica) y es reflejada; las ondas incidentes y reflejadas tienen la misma frecuencia, longitud de onda y velocidad y viajan en direcciones opuestas; se superponen donde se solapan; en los puntos donde siempre se encuentran en fase los desplazamientos se suman para dar la amplitud máxima, un antinodo, y en los puntos donde siempre se encuentran en antifase se cancelan, un nudo. Para "indica las condiciones": dos ondas del mismo tipo, con la misma frecuencia (y longitud de onda) y velocidad, que viajan en direcciones opuestas a lo largo de la misma línea; se necesitan amplitudes iguales solo para que los nudos tengan amplitud cero. La placa metálica en el experimento de microondas está allí para reflejar las ondas de vuelta a lo largo de su propio camino.

Nudos y antinodos

En una onda estacionaria:

• nudo 波节 — un punto que siempre tiene desplazamiento cero (las dos ondas siempre se cancelan). La distancia entre nudos adyacentes es $\lambda/2$.
• antinodo 波腹 — un punto de mayor amplitud (las dos ondas siempre se suman). La distancia entre antinodos adyacentes es $\lambda/2$.
• un nudo y el siguiente antinodo están separados $\lambda/4$.

Las partículas entre dos nudos oscilan en fase entre sí, pero con diferentes amplitudes (mayor en el antinodo, cero en los nudos). Las partículas a lados opuestos de un nudo oscilan en antifase 反相 (diferencia de fase $\pi$).

Así que la diferencia de fase entre dos puntos en el mismo bucle (entre nudos adyacentes) es $0°$; entre puntos en bucles vecinos es $180°$; y entre puntos en bucles separados por un bucle entero es $0°$ nuevamente. Todos los puntos alcanzan su desplazamiento máximo al mismo instante y pasan por cero al mismo instante. Un dibujo de la cuerda un cuarto de ciclo después del instante de desplazamiento máximo es una línea recta a lo largo de la posición de reposo; medio ciclo después es la imagen especular del primer dibujo. En un período, una partícula en un antinodo recorre cuatro amplitudes, por lo que una partícula que se mueve $72\ \text{mm}$ en uno y medio períodos tiene una amplitud de $12\ \text{mm}$.

Ejemplo resuelto. Una cuerda de longitud $0.80\ \text{m}$ está fija en ambos extremos y vibra en su modo fundamental, donde la velocidad de la onda es $240\ \text{m s}^{-1}$. Calcule la frecuencia fundamental.

Cabe un lazo en la cuerda, por lo tanto $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Entonces

Diferencia entre una onda estacionaria y una progresiva: no transporta energía 能量 a lo largo de su longitud, el patrón no se desplaza y los nodos permanecen fijos; una onda progresiva tiene la misma amplitud en todos los puntos y transporta energía. Las tres diferencias que enumera el esquema: una onda progresiva transfiere energía y una estacionaria no; en una onda progresiva cada punto tiene la misma amplitud, mientras que en una estacionaria la amplitud varía desde cero en un nodo hasta un máximo en un antinodo; en una onda progresiva los puntos vecinos difieren en fase, pero en una estacionaria todos los puntos entre dos nodos están en fase.

Medición de la longitud de onda a partir del espaciamiento de nodos

Impulse una cuerda con un vibrador a una frecuencia $f$ hasta que aparezca un patrón estacionario. Mida la distancia entre dos nodos bien separados y divídala por el número de medias-longitudes de onda 波长 entre ellos. De este modo, $\lambda$ queda determinado, y $v = f\lambda$ proporciona la velocidad de la onda.

Para un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro (un tubo de resonancia 共鸣管), el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento y el extremo abierto es un antinodo de desplazamiento. La frecuencia fundamental 基频 corresponde a $L = \lambda/4$; la siguiente resonancia ocurre a $L = 3\lambda/4$; y así sucesivamente. Para un tubo abierto en ambos extremos, ambos extremos son antinodos; la fundamental se da a $L = \lambda/2$.

La regla general: un extremo cerrado es un nodo y un extremo abierto es un antinodo, y una cuerda fija en ambos extremos tiene un nodo en cada uno. Por tanto, un tubo cerrado encaja un número impar de cuartas de longitud de onda ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), mientras que un tubo abierto y una cuerda fija encajan medios longitudes de onda enteras ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); un tubo abierto en ambos extremos con $n$ nodos posee $n + 1$ antinodos. Las frecuencias se derivan de $f = v/\lambda$: un tubo cerrado cuya nota más baja es $820\ \text{Hz}$ tiene $\lambda = 4L$, y un pasillo $13.2\ \text{m}$ de largo con una puerta reflectante en cada extremo resuena en su mínima frecuencia a $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.

Ejemplo resuelto. Un altavoz en el extremo abierto de un tubo $0.51\ \text{m}$ de largo, cerrado en el otro extremo, genera una onda estacionaria con dos nodos y dos antinodos. Calcule la longitud de onda y, con $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, la frecuencia.

Dos nodos y dos antinodos corresponden al segundo modo de un tubo cerrado, $L = 3\lambda/4$, por lo tanto $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ y $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. La mayor longitud de onda que puede resonar en este tubo es $4L = 2.0\ \text{m}$.

Los experimentos que menciona el programa de estudios miden todos $\lambda$ a partir del espaciamiento entre nodos o antinodos. En la tubería de resonancia, se eleva un tubo fuera del agua mientras un altavoz o diapasón suena en su extremo abierto; el sonido se vuelve repentinamente fuerte en la primera resonancia, cuando la columna de aire tiene $\lambda/4$ de longitud, y nuevamente en $3\lambda/4$, por lo que el tubo se desplaza $\lambda/2$ entre ambos (un estudiante no necesita equipo para detectar la resonancia: la nota se vuelve fuerte). En una tubería de polvo, el polvo fino se acumula en montones en los nodos de desplazamiento, separados $\lambda/2$. Con microondas, un receptor movido a lo largo de la línea entre el transmisor y una placa reflectora metálica registra un mínimo cada $\lambda/2$: un receptor que comienza en un mínimo y atraviesa seis mínimos más en $1.05\ \text{m}$ ha cruzado $3\lambda$, por lo tanto $\lambda = 0.35\ \text{m}$ y, con $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ para el experimento de sonido equivalente, $f = 970\ \text{Hz}$. Una onda estacionaria en un horno de microondas derrite chocolate en los antinodos, separados $\lambda/2$, por lo que el espaciamiento de las manchas y la frecuencia del horno ($2.45\ \text{GHz}$) proporcionan la velocidad de la luz a partir de $c = f\lambda$.

Difracción 衍射 es la expansión de una onda después de pasar por una abertura o alrededor de un obstáculo 障碍物. Todas las ondas se difractan: agua, sonido, luz, microondas.

Para la pregunta de dos puntos "indique qué se entiende por difracción": la expansión de una onda al pasar por una abertura (una apertura) o alrededor del borde de un obstáculo, hacia la región detrás de él. La difracción cambia la dirección en la que viaja la onda, pero no su velocidad, frecuencia ni longitud de onda.

La cantidad de expansión depende de la relación entre la longitud de onda y el ancho de la abertura:

• abertura mucho más ancha que $\lambda$: muy poca expansión; la onda pasa casi recta.
• abertura del tamaño aproximado de $\lambda$: mucha expansión; la onda se expande en abanico.
• abertura más pequeña que $\lambda$: expansión muy intensa; la abertura actúa casi como una fuente puntual.

Muestre esto con ondas de agua en un tanque de ondas 水波槽: ondas rectas chocan contra una barrera con una abertura, y las ondas se curvan más a medida que la abertura se hace más estrecha. La misma idea explica por qué puede escuchar a alguien alrededor de una esquina (el habla tiene $\lambda$ cerca de 1 m, cercano al tamaño de la abertura) pero no verlo (la luz visible tiene $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, mucho más pequeño que la abertura).

Para lograr la máxima expansión, la abertura debe tener aproximadamente un ancho de una longitud de onda. Por lo tanto, para aumentar la difracción de una onda dada, haga la abertura más estrecha; para una abertura dada, utilice una longitud de onda más larga, lo que significa una frecuencia más baja. Las ondas de radio con una longitud de onda de $1.5\ \text{km}$ se difractan alrededor de una montaña y llegan a una antena detrás de ella; las microondas de $1.5\ \text{cm}$ no. El sonido de $0.44\ \text{kHz}$ en el aire tiene $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, por lo que características de aproximadamente $0.75\ \text{m}$ lo difractan más, y de los sonidos que pasan por una puerta de $0.80\ \text{m}$ de ancho, las frecuencias bajas se expanden más. Hacer la abertura muchas longitudes de onda de ancho, o aumentar la frecuencia, reduce la expansión.

Interferencia 干涉 es la superposición de dos ondas coherentes 相干 para dar un patrón estable de regiones de alta amplitud (constructivo) y regiones de baja amplitud (destructivo).

Coherencia

Dos fuentes son coherentes cuando emiten ondas con una diferencia de fase constante (lo cual también requiere la misma frecuencia). Dos lámparas separadas no son coherentes: su fase cambia aleatoriamente, por lo que cualquier patrón parpadea demasiado rápido para ser visto y solo se obtiene un promedio.

La definición de un punto: las ondas coherentes tienen una diferencia de fase constante, lo que requiere la misma frecuencia. No necesitan estar en fase entre sí: dos fuentes coherentes que emiten $180°$ separadas dan un patrón cuya línea central es un mínimo. Dos láseres separados, o una lámpara y un láser, no son coherentes incluso cuando sus frecuencias coinciden accidentalmente, por lo que no se forma ningún patrón estable.

Para obtener luz coherente de una sola fuente, hágala pasar por dos rendijas 狭缝 en un dispositivo de doble rendija 双缝. Ambas rendijas son iluminadas por la misma frente de onda, por lo que los dos haces mantienen una relación de fase fija.

Condiciones para un patrón claro

Para ver franjas de dos fuentes se necesita:

1. dos fuentes coherentes (diferencia de fase constante).
2. amplitudes aproximadamente iguales (de lo contrario, las regiones oscuras no son muy oscuras).
3. las ondas se superpongan donde se observa.
4. para la luz (onda transversal), el mismo plano de polarización 偏振.

En la práctica, para la luz: una rendija simple (o un láser) hace que las dos rendijas sean coherentes; las rendijas son estrechas, por lo que cada una difracta la luz hacia la región donde se superponen los dos haces; y las rendijas están juntas con la pantalla lejos, para que las franjas sean lo suficientemente anchas para ser vistas.

Diferencia de camino

Para dos fuentes coherentes, lo que ocurre en un punto depende de la diferencia de camino 路程差 $\Delta x$ entre las dos ondas que llegan allí:

• constructivo: $\Delta x = n\lambda$ (para números enteros $n = 0, 1, 2, \ldots$).
• destructivo: $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.

La diferencia de camino fija la diferencia de fase: un ciclo completo de camino corresponde a $360°$. Las ondas que han viajado $100\ \text{cm}$ y $80\ \text{cm}$ desde dos fuentes en fase con una longitud de onda $8.0\ \text{cm}$ llegan con una diferencia de camino de $2.5\lambda$, una diferencia de fase de $180°$, y se cancelan; las microondas con una longitud de onda $4\ \text{cm}$ cuyas trayectorias difieren en $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$) producen un mínimo, de intensidad cero únicamente si las dos amplitudes son iguales. Reducir ambas frecuencias de fuente por igual alarga la longitud de onda, por lo que la misma diferencia de camino representa un número menor de longitudes de onda y el punto ya no es un mínimo.

Experimento de doble rendija (de Young)

Para dos rendijas separadas una distancia $a$, con una pantalla situada a una distancia $D$ (asumiendo $D \gg a$), la luz de longitud de onda $\lambda$ produce franjas en la pantalla.

La separación entre franjas 条纹间距 $x$ (desde una franja 条纹 hasta la siguiente) es

Las franjas brillantes (máximo 极大) son aquellas donde la diferencia de camino es un número entero de $\lambda$; las franjas oscuras (mínimo 极小) aparecen cuando dicha diferencia es $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. Las franjas están equiespaciadas.

Para reducir el espaciado entre franjas: aumentar $a$ (separación mayor entre rendijas), reducir $D$ (pantalla más cercana) o utilizar una luz de menor $\lambda$ (luz más azul).

Explicar cómo se forma el patrón de franjas brillantes y oscuras (tres puntos): la luz difracta en cada rendija; los dos haces difractados se superponen e interfieren; cuando la diferencia de camino desde las dos rendijas es un número entero de longitudes de onda, las ondas llegan en fase e interfieren constructivamente, produciendo una franja brillante, y cuando es un número impar de medias longitudes de onda, llegan desfasadas y interfieren destructivamente, produciendo una franja oscura. Una fuente más brillante hace que las franjas brillantes sean más intensas, pero no cambia su espaciado; cambiar a luz azul reduce el espaciado, por lo que para mantener el mismo espaciado las rendijas deben acercarse; hacer cada rendija más estrecha aumenta la difracción, de modo que las franjas se extienden sobre una región más amplia, manteniéndose invariable el espaciado entre ellas.

Ejemplo resuelto. En un experimento de doble rendija, las rendijas están separadas $0.50\ \text{mm}$ y son iluminadas por luz de longitud de onda $600\ \text{nm}$. La pantalla está a una distancia $2.0\ \text{m}$. Calcule el espaciado de los franjas.

Ejemplo resuelto. La luz roja de longitud de onda $680\ \text{nm}$ incide sobre las rendijas separadas $0.16\ \text{mm}$. La distancia entre los centros de la primera y la novena franja oscura es $3.2\ \text{cm}$. Calcule la distancia $D$ a la pantalla.

Ocho espaciados de franjas constituyen $3.2\ \text{cm}$, por lo que $x = 4.0\ \text{mm}$ y $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. En una pantalla $5.0\ \text{cm}$ de ancho centrada en el patrón, con $x = 2.4\ \text{mm}$, caben diez franjas brillantes a cada lado de la central: $21$ en total. Una gráfica de $x$ frente a $a$ es una curva decreciente según $1/a$; una gráfica de $x$ frente a $\lambda$ (o frente a $D$) es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $D/a$ (o $\lambda/a$), de la cual se puede obtener $a$.

Una red de difracción 衍射光栅 tiene muchas rendijas equidistantes — usualmente cientos o miles por milímetro. Cada rendija es una fuente coherente. Un máximo se observa en un ángulo $\theta$ desde la normal 法线 a la red cuando

donde $d$ es el espaciado entre rendijas 缝间距 (centro a centro), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ es el orden 级次, y $\lambda$ es la longitud de onda.

Ejemplo resuelto. Una red de difracción tiene $500$ líneas por mm. Se hace incidir luz de longitud de onda $600\ \text{nm}$ normalmente sobre ella. Calcule el ángulo del máximo de primer orden ($n = 1$).

El espaciado entre rendijas es $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, por lo tanto

En comparación con la doble rendija, una red produce máximos mucho más nítidos, porque más rendijas se suman constructivamente — todas las demás direcciones se cancelan debido a la contribución de múltiples rendijas.

Para describir la difracción en la red: la luz se expande (difracta) en cada rendija, y las ondas de todas las rendijas se superponen; en las direcciones donde la diferencia de camino entre rendijas adyacentes es un número entero de longitudes de onda, están todas en fase, formando así máximos nítidos allí y casi nada en los espacios intermedios. Una gráfica de intensidad frente al ángulo muestra un conjunto de picos estrechos en $\theta = 0$ y en $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, donde $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$: igualmente espaciados en $\sin\theta$, por lo que ligeramente más separados en $\theta$ a órdenes superiores.

Ejemplo resuelto. Luz de longitud de onda $680\ \text{nm}$ incide normalmente sobre una red con $450$ líneas por mm. Calcule el ángulo entre los dos máximos de segundo orden.

$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, por lo tanto $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ y $\theta_{2} = 37.7°$; los dos haces de segundo orden están separados $2\theta_{2} = 75°$.

Espaciado de rendijas a partir de "líneas por mm"

Si una rejilla tiene $N$ líneas por milímetro, entonces $d = 1/N$ milímetros equivalen a $= 10^{-3}/N$ metros. Para $450$ líneas por mm, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.

Orden máximo

Para una rejilla y longitud de onda dadas, $\sin\theta = n\lambda/d$ no puede ser mayor que $1$, por lo que el orden máximo observado es

Si $d/\lambda = 3.27$, existen órdenes hasta $n = 3$; $n = 4$ necesitaría $\sin\theta > 1$ y no se observa.

Por lo tanto, el número total de máximos en una pantalla amplia es $2n_{\text{max}} + 1$: para $700\ \text{nm}$ luz y $400$ líneas por mm, $d/\lambda = 3.57$, de modo que se ven $n_{\text{max}} = 3$ y siete haces. Una longitud de onda más corta produce más órdenes en ángulos menores. Con luz blanca, cada orden excepto el orden cero es un espectro, con el violeta más cerca del centro y el rojo más alejado, porque $\theta$ crece con $\lambda$; el orden cero permanece blanco. Dos longitudes de onda dan un máximo en el mismo ángulo cuando $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$: el tercer orden de $400\ \text{nm}$ coincide con el segundo orden de $600\ \text{nm}$.

Hallar $\lambda$ con una rejilla

Haz incidir luz paralela de longitud de onda desconocida perpendicularmente sobre la rejilla. Mide el ángulo $\theta_{1}$ del máximo de primer orden desde el centro. Luego $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Repetir para órdenes superiores y promediar reduce el error.

Mida el ángulo entre los máximos de primer orden en ambos lados y divídalos por dos, lo que cancela cualquier error en la puesta a cero; los órdenes superiores proporcionan ángulos más grandes y, por tanto, una incertidumbre porcentual menor; y representar $\sin\theta$ frente a $n$ para varios órdenes proporciona una línea recta que pasa por el origen con una pendiente de $\lambda/d$, de modo que $\lambda = Gd$ (o, para una longitud de onda conocida, $d = \lambda/G$). Dos cosas deben estar correctas: $\theta$ se mide desde la normal a la rejilla, no desde su superficie, y $d$ es la distancia entre líneas adyacentes, por lo que $400$ líneas por mm significa $d = 2.5\ \mu\text{m}$, nunca $400$.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Interferencia de dos fuentes: constructiva cuando la diferencia de trayectoria $= n\lambda$, destructiva cuando $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$; las fuentes deben ser coherentes.
• Doble rendija: $\lambda = ax/D$; rejilla de difracción: $d\sin\theta = n\lambda$ — conocer cada símbolo.
• En una onda estacionaria, marcar nodos y antinodos; los nodos adyacentes están separados $\lambda/2$; almacena energía pero no la transfiere.
• Una onda estacionaria necesita dos ondas de la misma frecuencia que viajan en direcciones opuestas.

Errores comunes

• Sumar amplitudes o intensidades en el principio de superposición. Las desplazamientos se suman; la intensidad luego sigue del cuadrado de la amplitud resultante.
• "Los nodos adyacentes están separados por una longitud de onda." Medio metro de onda; un nodo al siguiente antinodo es un cuarto.
• Usar $d =$ líneas por milímetro en $d\sin\theta = n\lambda$. Invertir: $d = 10^{-3}/N$ metros.
• Medir $\theta$ desde la superficie de la rejilla, u olvidar que el ángulo entre los dos haces de primer orden es $2\theta_{1}$.
• Escribir "en fase" para coherente. Coherente significa una diferencia de fase constante; las fuentes pueden estar permanentemente desfasadas.
• Decir que el espaciado de franjas cambia cuando la fuente se hace más brillante, o que rendijas más estrechas cambian el espaciado. El brillo y el ancho de la rendija cambian el contraste y el número de franjas visibles, no $x = \lambda D/a$.