Trabajo, energía y potencia

Trabajo realizado por una fuerza

Se realiza trabajo 功 cuando una fuerza desplaza su punto de contacto a lo largo de la línea de acción de dicha fuerza. Para la definición de una marca, escriba: el trabajo realizado es el producto de la fuerza por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. El trabajo realizado por una fuerza constante $F$ que provoca un desplazamiento 位移 $s$ es

donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Solo la componente 分量 de la fuerza a lo largo del desplazamiento realiza trabajo.

Ejemplo resuelto. Un niño tira de un trineo $5.0\ \text{m}$ sobre la nieve con una cuerda, aplicando una fuerza de $20\ \text{N}$ a $60°$ respecto al suelo. Calcule el trabajo realizado por la cuerda.

Unidad: $\text{J} = \text{N m}$. El trabajo es una magnitud escalar 标量.

Casos especiales:

• fuerza en la misma dirección que el movimiento ($\theta = 0$): $W = Fs$, trabajo positivo, energía 能量 entregada al objeto.
• fuerza perpendicular al movimiento ($\theta = 90°$): $W = 0$. La fuerza de contacto normal 支持力 sobre un coche en una carretera plana no realiza trabajo.
• fuerza opuesta al movimiento ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, trabajo negativo, energía extraída del objeto (por ejemplo, fricción 摩擦力).

Para un objeto que se mueve cuesta arriba por una pendiente con ángulo $\alpha$ respecto a la horizontal 水平, el trabajo realizado contra la gravedad al ascender una altura $h$ es $mgh$, mientras que el trabajo realizado por un empuje horizontal a lo largo de la longitud de la pendiente $L$ utiliza $\cos\alpha$.

Dos pruebas de opción múltiple sobre la definición: no se realiza trabajo sobre un objeto que desliza a velocidad constante sobre una superficie sin fricción (no hay fuerza a lo largo del movimiento), ni sobre uno que simplemente se mantiene quieto (no hay distancia recorrida); sí se realiza trabajo cuando una fuerza lo levanta. Y cuando se empuja una caja a velocidad constante sobre un suelo rugoso, el trabajo realizado por el empuje es $F \times d$ para toda la distancia, independientemente de cómo se divida la trayectoria en etapas.

Ejemplo resuelto. Se empuja un bloque de masa $4.9\ \text{kg}$ a velocidad constante por una pendiente rugosa de longitud $8.0\ \text{m}$ que asciende $1.5\ \text{m}$, mediante una fuerza de $12\ \text{N}$ actuando a lo largo de la pendiente. Calcule el trabajo realizado contra la fricción.

La velocidad constante implica que no hay cambio en la energía cinética, por lo que el trabajo realizado por el empuje se reparte entre el aumento de energía potencial gravitatoria y el trabajo realizado contra la fricción. Trabajo del empuje: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Aumento de EPg, utilizando el ascenso vertical: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Por tanto, el trabajo realizado contra la fricción es $96 - 72 = 24\ \text{J}$, y la fuerza de fricción es $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Utilizar la longitud de la pendiente en $mgh$ es el error más común en este tipo de ejercicio.

Conservación de la energía

La energía nunca se crea ni se destruye; solo cambia de una forma a otra o se transfiere de un objeto a otro. En un sistema cerrado 封闭系统, la energía total permanece constante. Esto es la conservación de la energía 能量守恒, formulado para las marcas como: la energía no puede crearse ni destruirse; solo puede transferirse de una forma a otra (por lo que la energía total de un sistema cerrado es constante).

Al escribir una ecuación energética, enumere todas las formas en las que comienza y termina la energía. Formas comunes en este programa: energía cinética, energía potencial gravitatoria, energía potencial elástica 弹性势能, energía eléctrica 电能, térmica, sonora, energía química 化学能.

Una bola que rueda cuesta abajo por una pendiente 斜坡 sin fricción 无摩擦 convierte energía potencial gravitatoria 重力势能 en energía cinética 动能: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, por lo que $v = \sqrt{2gh}$. Con fricción, parte de esta energía se transforma en energía térmica 热能 de la rampa y del aire.

Ejemplo resuelto. Una bola se suelta desde el reposo en la parte superior de una rampa suave $1.2\ \text{m}$ de altura. Encuentre su velocidad en la base (tomar $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Toda la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética, por lo que $v = \sqrt{2gh}$ (la masa se cancela):

La misma idea se lee en un gráfico. Para una bola que cae desde una altura $H$ con resistencia del aire despreciable, la energía potencial gravitatoria (GPE) disminuye en línea recta con la altura ($mgh$), la energía cinética (KE) aumenta en línea recta ($mg(H - h)$), y ambas suman la constante $mgH$ a cada altura.

La cadena de energía puede pasar a través de un resorte. Un bloque que golpea un resorte con energía cinética $110\ \text{J}$ mientras desliza ligeramente cuesta abajo, de modo que su energía potencial gravitatoria disminuye en otros $20\ \text{J}$ antes de que el resorte lo detenga, almacena $110 + 20 = 130\ \text{J}$ de energía potencial elástica en la máxima compresión, si no se pierde nada por fricción. La gráfica de fuerza–compresión del resorte entonces da la compresión: la energía almacenada es el área bajo la línea, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ para un resorte que cumple la ley de Hooke (tema 6), por lo que una fuerza máxima de $2600\ \text{N}$ significa $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. En ese instante, la fuerza neta sobre el bloque es la fuerza del resorte menos la componente del peso hacia abajo por la pendiente, y su aceleración se sigue de $F = ma$ (tema 3).

Eficiencia

La eficiencia 效率 de un sistema es

La misma idea con la potencia:

La eficiencia siempre es menor del 100% en un sistema real, porque parte de la energía de entrada se convierte en formas "inútiles" — usualmente energía térmica. Si se suministra una energía total $E$ y se desperdicia una cantidad $Q$, la salida útil es $E - Q$ y la eficiencia es $(E - Q) / E$; un motor con una entrada nominal de $1.7\ \text{kW}$ y una eficiencia de $53\%$ entrega $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ de salida útil.

Para un motor eléctrico que eleva una carga con una eficiencia $\eta$ a un voltaje 电压 $V$ y una corriente 电流 $I$, la potencia de salida útil es $\eta V I$. A partir de esto, puedes calcular una fuerza, una velocidad de elevación o una tensión 张力.

Ejemplo resuelto. Un motor eléctrico eleva una carga de $50\ \text{kg}$ a velocidad constante de $0.40\ \text{m s}^{-1}$ mientras consume $250\ \text{W}$ de potencia eléctrica. Hallar su eficiencia (tomar $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

La potencia de salida útil es $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, por lo tanto

Ejemplo resuelto. Un motor eleva un bloque con una fuerza de $240\ \text{N}$ a través de una distancia vertical de $12\ \text{m}$ en $60\ \text{s}$. La potencia de entrada al motor es $900\ \text{W}$. Encuentre la potencia útil de salida y la eficiencia.

Trabajo realizado sobre el bloque: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Potencia útil de salida: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Eficiencia: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. La mayor parte de la entrada se convierte en energía térmica en el motor y su cable. A la inversa, un motor de elevación con una potencia útil de salida de $20\ \text{kW}$ que eleva $1500\ \text{kg}$ a través de $20\ \text{m}$ consume $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Potencia 功率 es la tasa de realizar trabajo, o la tasa de transferir energía:

Unidad: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. La potencia es una magnitud escalar.

Potencia, fuerza y velocidad

Para un objeto que se mueve con velocidad 速度 $v$ y una fuerza $F$ en la dirección del movimiento, en un breve intervalo de tiempo $\Delta t$ el desplazamiento es $v\,\Delta t$ y el trabajo realizado es $F v\,\Delta t$. Dividiendo por $\Delta t$:

Este es uno de los resultados más útiles en mecánica. Una respuesta para "deducir $P = Fv$" necesita exactamente esas tres líneas: $P = W / t$, $W = Fs$ para una fuerza a lo largo del movimiento, y $s / t = v$; luego úsela para resolver problemas en los que un vehículo o una carga se mueve a velocidad constante.

Ejemplo resuelto. Un coche viaja a una velocidad constante de $25\ \text{m s}^{-1}$ contra una fuerza resistiva total de $600\ \text{N}$. Encuentre la potencia de salida de su motor.

A velocidad constante, la fuerza motriz es igual a la fuerza resistiva, por lo que

• Para un automóvil que se mueve a velocidad constante $v$ en una carretera plana, la potencia del motor debe equilibrar la fuerza de resistencia total: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Si la resistencia aerodinámica 阻力 crece con $v^{2}$, duplicar la velocidad aproximadamente cuadruplica la potencia necesaria.
• Para elevar verticalmente un peso 重力 $mg$ a velocidad constante $v$, la potencia útil de salida es $P = mg \cdot v$.
• Para una aeronave en vuelo estacionario a una altura fija, la fuerza de sustentación iguala al peso, y se requiere una gran potencia porque el aire debe ser empujado hacia abajo continuamente.
• Una grúa que eleva $600\ \text{kg}$ a una velocidad constante de $12\ \text{m}$ por minuto lo hace a $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, por lo que su potencia útil de salida es $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Convierte primero la velocidad a $\text{m s}^{-1}$.
• Un velero empujado por una fuerza de viento constante a velocidad constante también debe experimentar una fuerza resistente igual del agua: una velocidad constante significa una fuerza nula, por lo que la potencia del viento $Fv$ se destina completamente al trabajo contra el agua.

En un campo gravitatorio uniforme (cerca de la superficie de un planeta), el cambio en la energía potencial gravitatoria de una masa 质量 $m$ que sube o baja a través de una altura $\Delta h$ es

Origen del concepto

El trabajo realizado contra la gravedad para elevar una masa $m$ lentamente (sin cambio en la energía cinética) a través de una altura $\Delta h$ es igual a la energía potencial gravitatoria ganada:

• la fuerza gravitatoria sobre la masa es $mg$ hacia abajo,
• la fuerza necesaria para levantarlo lentamente es $mg$ hacia arriba,
• el trabajo realizado por esta fuerza es $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• este trabajo se convierte en $\Delta E_{\text{P}}$.

Así $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Para usarlo necesitas $m$ y $\Delta h$ (y $g$). No necesitas la velocidad ni el tiempo. La derivación de dos marcas quiere las mismas cuatro líneas, con la condición declarada: el bloque se eleva a velocidad constante, así que la fuerza de elevación es igual al peso $mg$, y el trabajo realizado por esa fuerza sobre la distancia vertical $\Delta h$ es $mg\Delta h$, que es la ganancia en energía potencial gravitacional. Un objeto $100\ \text{g}$ cayendo $10\ \text{m}$ pierde $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, aproximadamente $10\ \text{J}$; la masa debe estar en kilogramos.

La energía cinética de un objeto de masa $m$ que se mueve a una velocidad $v$ es

Origen del concepto

Aplica una fuerza resultante $F$ a una masa $m$ que parte del reposo. Acelera uniformemente desde $0$ hasta $v$ a lo largo de un desplazamiento $s$. Partiendo de $v^{2} = u^{2} + 2as$ con $u = 0$,

El trabajo realizado sobre la masa es

Todo este trabajo se convierte en energía cinética, de modo que $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. En el examen, indica las suposiciones a medida que avanzas: el objeto parte del reposo, la fuerza es constante, por lo que la aceleración es uniforme, y $F = ma$ es la segunda ley de Newton.

Porque $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, cuadruplicar la velocidad multiplica la energía cinética por dieciséis: un objeto con $1500\ \text{J}$ a $10\ \text{m s}^{-1}$ tiene $24\,000\ \text{J}$ a $40\ \text{m s}^{-1}$. La misma relación cuadrada es la razón por la que una fuerza de frenado se determina a partir de la energía: una bola de masa $1.2\ \text{kg}$ que se mueve a $3.0\ \text{m s}^{-1}$ y que es detenida por un cojín durante $0.020\ \text{m}$ pierde $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, por lo que la fuerza promedio sobre ella es $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: el trabajo realizado por el cojín es igual a la energía cinética perdida.

Energía cinética y momento

Combinando $p = mv$ y $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

Esto es útil cuando se conoce el momento 动量 pero no la velocidad. Para un cambio de momento desde $p_{1}$ hasta $p_{2}$ con masa constante, el cambio en la energía cinética es $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Un plan útil para problemas que combinan fuerzas y energía:

1. Encuentra los estados inicial y final. Escribe las energías cinéticas y potenciales en cada uno.
2. Lista cualquier trabajo realizado por fuerzas externas (fricción, un empujón). La fricción generalmente extrae energía; un empujón puede añadirla.
3. Conservación de la energía: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Ejemplos:

• Una caja empujada a velocidad constante por una rampa de longitud $L$ que asciende $h$: $E_{\text{K}}$ no cambia, por lo que el trabajo realizado por el empuje se destina a $\Delta E_{\text{P}}$ más el trabajo realizado contra la fricción.
• Un bloque que se desliza hacia un resorte 弹簧 con energía cinética $E_{\text{K}}$ sobre una superficie sin fricción: en la compresión 压缩 máxima $x$, toda la energía cinética se ha convertido en energía potencial elástica $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (donde $k$ es la constante del resorte 劲度系数).
• Una bola que cae desde una altura $h_{1}$ y rebota hasta una altura $h_{2}$: la razón $h_{2}/h_{1}$ es la fracción de energía mecánica conservada, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Un proyectil lanzado a la misma altura con diferentes ángulos: la velocidad final es la misma (solo importa la altura); usa componentes para determinar su dirección.
• Un saltador de bungee: desde la plataforma hasta el punto en que la cuerda se tensa, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética; a partir de ahí, la cuerda se estira y almacena energía como energía potencial elástica, por lo que la energía cinética alcanza su máximo cuando la tensión de la cuerda iguala por primera vez al peso, luego disminuye hasta cero en el punto más bajo, donde la pérdida de energía potencial gravitatoria $=$ la energía potencial elástica almacenada (más cualquier energía térmica).

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Trabajo $=$ fuerza $\times$ distancia recorrida en la dirección de la fuerza — usa $Fs\cos\theta$ cuando están en ángulo.
• Usa conservación de la energía: pérdida de EPG $=$ ganancia de EC ($+$ trabajo realizado contra la resistencia).
• Potencia $=$ trabajo $/$ tiempo $= Fv$; eficiencia $=$ salida útil $\div$ entrada total.
• La energía potencial gravitatoria utiliza la altura vertical alcanzada, no la distancia a lo largo de una pendiente.

Errores comunes

• Dar el cambio de altura como respuesta a una pregunta sobre el cambio de energía. Termina el cálculo: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Utilizar la distancia a lo largo de una pendiente como altura en $mg\Delta h$, o usar la masa donde se necesita el peso. Utilizar la altura vertical ganada y verificar si la cantidad buscada está en kg para $m$ o en N para $W$.
• Incluir la fuerza resistente en $P = Fv$ para un coche que está acelerando. $F$ es la fuerza motriz; solo a velocidad constante es igual a la fuerza resistente.
• Una eficiencia superior al 100 %, o una eficiencia calculada como salida dividida por desperdiciada. Es la salida útil dividida por la entrada total, y la entrada total siempre es el número mayor.
• Leer la pendiente de un gráfico fuerza–elongación cuando la pregunta pide la energía. La energía almacenada es el área bajo la línea, no su pendiente.