Electricidad

Una corriente eléctrica es un flujo de portadores de carga. En un metal, los portadores son electrones de conducción negativos; en un electrolito son iones positivos y negativos; en un semiconductor pueden ser electrones o "huecos". La dirección de la corriente convencional es hacia donde fluiría la carga positiva; opuesta al flujo real de electrones en un cable.

Charge

La carga es cuantizada: la unidad más pequeña libre de carga es la carga elemental

Toda carga libre en este programa es un múltiplo entero de $e$. La unidad de carga es el coulomb, $\text{C}$.

Por tanto, una partícula puede llevar $4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ (equivalente a tres electrones) o $-2.4 \times 10^{-18}\ \text{C}$ (quince), pero nunca $1.1 \times 10^{-19}\ \text{C}$ ni $6.4 \times 10^{-20}\ \text{C}$; un conjunto de mediciones que indique un portador de carga $2.5 \times 10^{-19}\ \text{C}$ no puede ser correcto, porque eso no es un múltiplo de $e$. Para las definiciones de un punto: una corriente eléctrica es un flujo de portadores de carga; el culombio es la carga que pasa por un punto en un segundo cuando la corriente es de un amperio (un amperio multiplicado por un segundo); un portador de carga puede ser un electrón, un protón, un ion o una partícula $\alpha$, pero nunca un neutrón.

Current as the rate of flow of charge

Si la carga $Q$ pasa por un punto en el tiempo $t$, la corriente es

Unidad de corriente: amperio, $\text{A}$ ($= \text{C s}^{-1}$). Para una corriente variable, la carga que ha fluido en un tiempo es el área bajo un gráfico $I$–$t$.

Ejemplo resuelto. Una corriente de $0.50\ \text{A}$ fluye durante $2.0$ minutos. Calcule la carga que pasa y cuántos electrones representa. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Las mismas dos líneas responden a "¿cuántos electrones pasan en $10$ horas a una tasa de $4.0\ \text{mA}$?" (convertir el tiempo a segundos: $N = It/e = 4.0 \times 10^{-3} \times 36\,000 / (1.60 \times 10^{-19}) = 9.0 \times 10^{20}$) y, a la inversa, "la corriente media cuando $6.0 \times 10^{23}$ electrones pasan en $24$ horas" ($I = Ne/t = 1.1\ \text{A}$). Un haz de partículas $\alpha$ también lleva corriente: cada una transporta $2e$, por lo que una corriente de haz de $6.9 \times 10^{-9}\ \text{A}$ corresponde a $6.9 \times 10^{-9} / (2 \times 1.60 \times 10^{-19}) = 2.2 \times 10^{10}$ partículas por segundo. Una descarga de rayo que transfiere $1 \times 10^{20}$ electrones en $30\ \mu\text{s}$ tiene una corriente de $Ne/t = 5.3 \times 10^{5}\ \text{A}$.

Drift velocity equation

Para un conductor uniforme de área transversal $A$, con $n$ portadores de carga por unidad de volumen (la densidad numérica), cada uno transportando carga $q$, moviéndose con velocidad de deriva promedio $v$:

Ejemplo resuelto. Un cable de cobre de área de sección transversal $1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^{2}$ lleva una corriente de $5.0\ \text{A}$. El cobre tiene $n = 8.5 \times 10^{28}$ electrones libres por $\text{m}^{3}$. Calcule la velocidad de deriva. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Rearranging $I = Anvq$ gives $v = \dfrac{I}{Anq}$:

Los electrones derivan muy lentamente — menos de un milímetro por segundo.

Dos pasos de "demostrar" que suelen preceder a este cálculo. La densidad numérica de un metal con un electrón libre por átomo es $n = \dfrac{\text{density} \times N_{\text{A}}}{\text{molar mass}}$: para el cobre, $8.9 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} / 0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\ \text{m}^{-3}$. Y el tiempo que tarda un electrón en derivar a lo largo de la longitud de un cable es $t = L / v$: a una velocidad de $3.7 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$, un cable de $2.0\ \text{m}$ tarda $5\,400\ \text{s}$, una hora y media, aunque la corriente se establezca casi instantáneamente. Entre ellos, la ecuación $I = Anvq$ se usa como razón mucho más a menudo que como cálculo:

• dos cables en serie transportan la misma corriente; si el cable Y tiene el doble de diámetro que X (cuatro veces el área) y es del mismo metal, sus electrones se desplazan a una cuarta parte de la velocidad. Dos cables de la misma longitud y diámetro pero de metales diferentes tienen velocidades de deriva en razón inversa a sus densidades numéricas.
• un cable que se estrecha (una cuña, una barra cónica, un cable de hebras gruesas y finas) transporta la misma corriente en cada sección transversal, por lo que la velocidad de deriva aumenta donde el área disminuye: $v \propto 1/A \propto 1/r^{2}$. Un dibujo de $v$ contra la distancia a lo largo de un cable cónico es una curva que se vuelve más pronunciada hacia el extremo estrecho, no una línea recta.
• la d.d.p. a través de un cable uniforme es proporcional a su longitud a corriente fija, porque $V = IR = I\rho L / A$ con $I$, $\rho$ y $A$ constantes.

Use this to compare currents:

• un cable más delgado (menor $A$) a la misma $I$ necesita una deriva $v$ más rápida.
• un semiconductor tiene mucho menos portadores libres que un metal (menor $n$), por lo que para la misma $I$ la velocidad de deriva es mucho mayor.
• en componentes en serie, $I$ es igual en todas partes, por lo que si $A$ permanece constante pero cambia el material, $nv$ cambia inversamente.

La diferencia de potencial (d.p.) a través de un componente es la energía transferida por unidad de carga mientras esta la atraviesa:

Unidad: voltio, $\text{V}$ ($= \text{J C}^{-1}$).

Si $1\ \text{J}$ de energía eléctrica cambia a otras formas (térmica, luz, cinética, …) cuando $1\ \text{C}$ de carga pasa a través de un componente, la d.d.p. a través de él es $1\ \text{V}$.

La fuerza electromotriz (f.e.m.) de una fuente es la energía entregada por unidad de carga por la fuente. La fórmula es la misma que para la d.p.; la diferencia está en la dirección: la f.e.m. es energía entregada a la carga por la fuente; la d.p. es energía cedida por la carga al componente.

Las definiciones aceptadas por el examinador: la diferencia de potencial en un componente es la energía transferida (de eléctrica a otras formas) por unidad de carga que lo atraviesa; la f.e.m. de una fuente es la energía transferida de otras formas (química, en una pila) a energía eléctrica por unidad de carga al impulsar la carga por todo un circuito completo; un voltio es un julio por culombio. Por tanto, una batería "marcada con $9.0\ \text{V}$" proporciona a cada culombio $9.0\ \text{J}$ de energía eléctrica para todo el circuito, y el producto de la carga por la d.d.p. es la energía transferida.

Combinando $V = W/Q$ y $I = Q/t$:

Using Ohm's law $V = IR$:

Pick the form with the quantities you know. Examples:

• dos calentadores de resistencia igual — el que tiene mayor corriente entrega más potencia ($P = I^{2}R$).
• dos resistencias en paralelo bajo la misma tensión — la que tiene menor $R$ entrega más potencia ($P = V^{2}/R$).
• a kettle marked "$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$" draws $I = P/V = 10\ \text{A}$ and has resistance $R = V^{2}/P = 24\ \Omega$.

Energy transferred in time $t$ is $E = P t$.

Ejemplo resuelto. Dos lámparas, P con potencia nominal $250\ \text{V}$, $50\ \text{W}$ y Q con potencia nominal $250\ \text{V}$, $200\ \text{W}$, están conectadas en serie a una fuente de alimentación de $250\ \text{V}$. ¿Cuál es más brillante?

Sus resistencias a la d.d.p. nominal son $R = V^{2}/P$: $1250\ \Omega$ para P y $313\ \Omega$ para Q. En serie llevan la misma corriente, por lo que $P = I^{2}R$ hace que la resistencia mayor, la lámpara P, disipe más potencia: la lámpara "más débil" es la más brillante. En paralelo, la d.d.p. es la misma en ambos y $P = V^{2}/R$ favorece la resistencia menor: Q. "Indique y explique qué resistor disipa más potencia" se responde nombrando la cantidad que comparten los dos (corriente en serie, d.d.p. en paralelo) y la forma de la ecuación de potencia que la utiliza.

Ejemplo resuelto. Un suministro entrega $2.4\ \text{kW}$ a $240\ \text{V}$ a una cafetera a través de dos cables de resistencia $0.10\ \Omega$ cada uno. Calcule la potencia perdida en los cables.

La corriente es $I = P/V = 10\ \text{A}$, por lo que los cables disipan $I^{2}R = 10^{2} \times 0.20 = 20\ \text{W}$, y la cafetera recibe $2380\ \text{W}$. La eficiencia de un circuito diseñado para alimentar un componente es la potencia de ese componente dividida por la potencia total del suministro: con $6.0\ \text{V}$ en un resistor en serie de $0.86\ \Omega$ y $4.5\ \text{V}$ en el componente a la misma corriente, la eficiencia es $4.5 / (6.0 + 4.5) = 43\%$. Una termistor conectada a una d.d.p. fija disipa $P = V^{2}/R$, por lo que, a medida que su temperatura aumenta y $R$ disminuye, la potencia aumenta. Una cafetera consume aproximadamente $10\ \text{A}$ de un suministro de $250\ \text{V}$; un cargador de teléfono móvil, una fracción de amperio.

La resistencia $R$ de un componente es

Unidad: ohmio, $\Omega$ ($= \text{V A}^{-1}$). La resistencia depende de las condiciones (como la temperatura) cuando se mide.

Ohm's law

Un conductor obedece la ley de Ohm cuando la corriente que lo atraviesa es proporcional a la d.p. a través de él, siempre que las condiciones (especialmente la temperatura) permanezcan constantes. Para tal conductor $R$ es constante y la gráfica de $I$–$V$ es una línea recta que pasa por el origen.

La ley de Ohm es un resultado experimental, no una definición. La definición $R = V/I$ funciona para cualquier componente; solo los óhmicos tienen $R$ constante.

Para las marcas: la resistencia es la relación entre la diferencia de potencial en un componente y la corriente en él; el ohmio es la resistencia de un componente en el que una d.d.p. de un voltio produce una corriente de un amperio (un voltio por amperio); la ley de Ohm establece que la corriente en un conductor metálico es directamente proporcional a la diferencia de potencial en él, siempre que su temperatura (y otras condiciones físicas) se mantenga constante. De varias gráficas $I$–$V$, solo una línea recta que pasa por el origen obedece la ley de Ohm; una línea recta que no pasa por el origen, o cualquier curva, no lo hace.

$I$–$V$ characteristics

You should be able to sketch these:

• cable metálico a temperatura constante: una línea recta que pasa por el origen (constante $R$). Invertir la diferencia de potencial hace que la corriente fluya en sentido contrario, dando una línea recta en ambas direcciones.
• lámpara de filamento — pasa por el origen, pronunciada al principio, luego más plana a medida que crecen $V$ (y $I$). Razón: mayor corriente calienta el filamento, así que su resistencia aumenta y la pendiente $1/R$ disminuye.
• diodo semiconductor — casi ninguna corriente para $V$ negativos o pequeños valores positivos de $V$. Por encima de un voltaje de «encendido» (aproximadamente $0.7\ \text{V}$ para silicio), la corriente aumenta bruscamente.

Explique la forma de la línea de la lámpara de filamento (tres marcas): a medida que aumenta la corriente, la temperatura del filamento sube; los iones de la red vibran con mayor amplitud, por lo que los electrones libres chocan con ellos con más frecuencia; cada colisión extrae energía de los electrones, por lo que la resistencia aumenta; en la gráfica, la relación $V/I$ crece y la pendiente disminuye. Invierta el proceso para "la corriente disminuye": la temperatura baja, por lo que la resistencia baja. Dos cosas que leer de cualquier característica. La resistencia en un punto es $V/I$ para ese punto, nunca la pendiente de una curva, por lo que la resistencia de un diodo es muy grande (infinita, en la práctica) hasta la d.d.p. de encendido y luego cae abruptamente a medida que $V$ aumenta aún más, y de cuatro componentes a la misma d.d.p., el que tiene la menor corriente tiene la mayor resistencia. Y cuando una lámpara (o un diodo) está en serie con un resistor, los dos llevan la misma corriente y sus d.d.p. se suman: lea la corriente de la curva del componente en su propia d.d.p., luego use $V = IR$ para el resistor, y la d.d.p. del suministro es la suma.

Resistivity

Para un conductor uniforme de longitud $L$ y área de sección transversal $A$,

$\rho$ es la resistividad, una propiedad del material, con unidad $\Omega\ \text{m}$. Duplicar la longitud duplica $R$; duplicar el área la reduce a la mitad; reducir el diámetro a la mitad reduce el área a la cuarta parte y hace que $R$ sea cuatro veces mayor.

Ejemplo resuelto. Un cable de cobre de longitud $2.0\ \text{m}$ y área de sección transversal $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ tiene una resistividad de $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. Encuentre su resistencia.

Valores típicos: cobre a temperatura ambiente $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$; un aislante $\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ o más.

La resistividad de un metal aumenta con la temperatura (más vibración reticular dispersa los electrones), por eso la línea de $I$–$V$ de la lámpara de filamento se curva.

La mayoría de las preguntas sobre resistividad son razones. Estirar un cable mantiene su volumen ($A \times L$) constante, por lo que si la longitud se vuelve $k$ veces más larga, el área se vuelve $k$ veces más pequeña y $R = \rho L / A$ se vuelve $k^{2}$ veces más grande: un cable tres veces más largo (misma masa, mismo metal) tiene nueve veces la resistencia, y un cable cuyo diámetro cae a $0.940$ de su valor tiene su área multiplicada por $0.884$, su longitud dividida por $0.884$ y su resistencia multiplicada por $1/0.884^{2} = 1.28$.

Ejemplo resuelto. Un pararrayos de cobre de resistencia $9.6\ \Omega$ y longitud $20\ \text{m}$ tiene una resistividad de $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. Encuentre su radio.

$A = \rho L / R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20 / 9.6 = 3.5 \times 10^{-8}\ \text{m}^{2}$, y $r = \sqrt{A / \pi} = 1.1 \times 10^{-4}\ \text{m}$. Duplicar el radio (misma longitud) reduce la resistencia a la cuarta parte. Otras razones estándar: hebras en paralelo —siete hebras idénticas comparten la corriente, por lo que la resistencia del cable es una séptima parte de la de una hebra; dos cables de la misma resistencia donde un metal tiene el doble de resistividad necesitan que el segundo cable tenga el doble de área (un diámetro $\sqrt{2}$ veces mayor) para la misma longitud; la resistencia por unidad de longitud de un cable, $0.92\ \Omega\ \text{m}^{-1}$, multiplicada por su área, $5.3 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, es su resistividad, $4.9 \times 10^{-7}\ \Omega\ \text{m}$; y un cilindro de masilla conductora de $60\ \text{mm}$ de largo y $20\ \text{mm}$ de ancho, o un cubo de lado $a$ ($R = \rho a / a^{2} = \rho / a$), utiliza la misma $R = \rho L / A$ con la longitud propia de la forma y el área de los extremos. Cuando el cable se mantiene bajo tensión, $R_{0} = \rho L / A$ sigue dando su resistencia, y un estiramiento que lo alargue y adelgace aumentará $R$ por ambas razones. Debido a $\rho = RA/L = R\pi d^{2}/(4L)$, la incertidumbre porcentual en una resistividad medida es la suma de las incertidumbres porcentuales en $R$ y $L$ más el doble de la de $d$.

Un resistor dependiente de luz (LDR) es un semiconductor cuya resistencia disminuye a medida que aumenta la intensidad luminosa. En luz brillante, $R$ puede ser de unos pocos cientos de $\Omega$; en la oscuridad puede llegar a megaohmios. Los LDR se usan en circuitos de detección de luz (farolas, medidores de luz de cámaras). Aquí la intensidad luminosa controla la resistencia.

En este programa, un termistor tiene un coeficiente de temperatura negativo: su resistencia disminuye a medida que aumenta su temperatura. Esto es útil para detectar temperatura —colóquelo en un divisor de potencial y el voltaje de salida cambiará con la temperatura.

Esto es lo opuesto a un metal: en un semiconductor, más energía térmica libera más portadores de carga, y esto importa más que la dispersión adicional.

Un esquema de la resistencia de una termistor frente a la temperatura comienza en $R_{0}$ en $0\ °\text{C}$ y desciende siguiendo una curva que se aplana: la caída no es lineal, lo cual es una desventaja de la termistor como termómetro (su escala no es uniforme, por lo que necesita calibración). Cuando aumenta la luz sobre un LDR o se calienta una termistor, su resistencia disminuye, la corriente en su circuito aumenta y la diferencia de potencial (d.d.p.) a través de ella (en serie con una resistencia fija) disminuye mientras que la d.d.p. a través de la resistencia fija aumenta; una resistencia fija y un alambre metálico a temperatura constante mantienen su resistencia, mientras que la resistencia de una lámpara de filamento aumenta con la corriente.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Use $I = Q/t$, $V = W/Q$ (energy per unit charge) and $P = VI = I^2 R = V^2/R$.
• La ley de Ohm ($V = IR$) solo se aplica a un conductor óhmico a temperatura constante; una lámpara de filamento es no óhmica.
• Esbozar e interpretar las características $I$-$V$ de una resistencia, una lámpara de filamento y un diodo.
• La resistencia de una CFL (resistencia dependiente de la luz) disminuye con la luz; la de un termistor disminuye a medida que aumenta la temperatura.

Errores comunes

• Tomar la resistencia a partir de la pendiente de un gráfico curvo $I$–$V$. La resistencia es $V/I$ en el punto; solo para una línea recta que pasa por el origen es igual al recíproco de la pendiente.
• Dejar un tiempo en minutos u horas en $Q = It$. Convertir primero a segundos.
• Afirmar que la resistencia de la lámpara de filamento aumenta "debido al voltaje". La cadena causal es: corriente, temperatura, vibración iónica, más colisiones, mayor resistencia.
• Olvidar que un cable estirado cambia de dos maneras. A volumen constante, el área disminuye a medida que aumenta la longitud, por lo tanto $R \propto L^{2}$.
• Usar el diámetro como el radio en $A = \pi r^{2}$, o dejar $\text{mm}^{2}$ sin convertir.
• Comparar potencias con la fórmula incorrecta. Los componentes en serie comparten la corriente, por lo que se usa $I^{2}R$; los componentes en paralelo comparten la diferencia de potencial, por lo que se usa $V^{2}/R$.