Fuerzas, densidad y presión

Centro de gravedad

El peso 重力 de un objeto grande puede considerarse como una fuerza que actúa en un único punto, llamado centro de gravedad 重心 (el mismo que el centro de masa 质心 en un campo gravitatorio uniforme). Para una forma regular y uniforme —un rectángulo, una esfera, una barra uniforme—, el centro de gravedad se encuentra en la mitad.

Al dibujar un diagrama de cuerpo libre 受力图, siempre coloca la flecha del peso en el centro de gravedad.

Para una forma irregular, halla el centro de gravedad mediante experimento. Cuelga el objeto libremente de una chincheta: en equilibrio, se asentará con su centro de gravedad verticalmente debajo de la chincheta, porque solo así el peso no produce momento respecto a la chincheta. Una plomada 铅垂线 colgada de la misma chincheta marca esa vertical. Cuelga el objeto desde un segundo punto y traza la segunda línea; el centro de gravedad está donde se cruzan ambas líneas. Este mismo hecho responde al "explica por qué la lámina cuelga así" de los exámenes: su centro de gravedad está directamente debajo del soporte, por lo que la línea de acción del peso pasa por el punto de apoyo y no hay par resultante.

Para una barra no uniforme 非均匀, el centro de gravedad no está en la mitad. Hálalo equilibrando la barra sobre un pivote o calculando momentos: si el peso de la barra $W$ equilibra un peso conocido, la distancia de su centro de gravedad al pivote es la que hace que ambos lados sean iguales.

Momento de una fuerza

El momento 力矩 de una fuerza respecto a un punto es

donde $F$ es la magnitud de la fuerza 力 y $d$ es la distancia perpendicular 垂直距离 desde el punto hasta la línea de acción 作用线 de la fuerza. Unidad: $\text{N m}$.

Si la fuerza actúa en un ángulo $\theta$ respecto a un brazo de palanca 力臂 de longitud $r$ desde el pivote 支点, entonces $d = r\sin\theta$, por lo tanto $M = F r\sin\theta$. Solo la componente de la fuerza perpendicular 垂直 al brazo de palanca produce giro.

Ejemplo resuelto. Se aplica una fuerza de $50\ \text{N}$ en el extremo de una llave inglesa de $0.40\ \text{m}$ de largo, en un ángulo de $30°$ respecto a la llave. Calcula el momento de la fuerza respecto a la tuerca.

Un momento es ya sea horario 顺时针 o antihorario 逆时针 respecto al punto elegido.

Par de fuerzas y par motor

Un par de fuerzas 力偶 es un par de fuerzas que son:

• iguales en magnitud,
• opuestas en dirección,
• con sus líneas de acción separadas por una distancia perpendicular.

Un par de fuerzas hace girar únicamente el cuerpo —su fuerza resultante es cero, por lo que no produce aceleración lineal—.

El par motor 力偶矩 de un par de fuerzas es el efecto de giro que produce:

donde $F$ es la magnitud de una de las fuerzas y $d$ es la distancia perpendicular entre las dos líneas de acción. Unidad: $\text{N m}$. El par motor es el mismo respecto a cualquier punto —una propiedad especial de los pares de fuerzas—.

Una trampa común de opción múltiple: dos fuerzas iguales en la misma dirección no constituyen un par de fuerzas (tienen una fuerza resultante y causan traslación 平动). Un par de fuerzas requiere igual magnitud y dirección opuesta.

Observa la distancia en la fórmula. Para un par de dos fuerzas $F$ cada una actuando a una distancia $d$ desde un pivote central, en lados opuestos, la distancia perpendicular entre las dos líneas de acción es $2d$, por lo tanto el par motor es $F \times 2d = 2Fd$. Al tomar momentos respecto al pivote se obtiene el mismo resultado, $Fd + Fd$. La definición de dos puntos pide ambas partes: el producto de una de las fuerzas y la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas.

Condiciones de equilibrio

Un cuerpo está en equilibrio 平衡 cuando:

1. la fuerza resultante 合力 es cero (no hay aceleración lineal), Y
2. el momento resultante respecto a cualquier punto es cero (no hay aceleración angular 角加速度).

Ambas deben cumplirse. Un cuerpo sin fuerza resultante aún puede estar girando; un cuerpo sin momento resultante aún puede moverse en línea recta.

El caso clásico de opción múltiple: cuatro fuerzas, dos pares iguales apuntando en direcciones opuestas pero no a lo largo de las mismas líneas. La fuerza resultante es cero, por lo que el centro de masa no acelera, pero los pares forman pares de fuerzas con un par resultante, por lo que el objeto gira cada vez más rápido mientras su centro de masa se mueve a velocidad constante. Solo cuando se cumplen ambas condiciones está el cuerpo en equilibrio.

Principio de los momentos

Para un cuerpo que no gira, el momento horario total respecto a cualquier punto es igual al momento antihorario total respecto al mismo punto. Este es el principio de los momentos 力矩原理.

Para resolver un problema de equilibrio:

1. Elige un pivote —generalmente donde actúa una fuerza desconocida, para que dicha fuerza se anule (su distancia es cero)—.
2. Enumera cada fuerza y su distancia perpendicular al pivote.
3. Iguala $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Usa $\sum F = 0$ si necesitas una segunda ecuación.

Una regla equilibrada sobre un pivote con masas en cada lado se resuelve así. Para una barra pesada y uniforme, recuerda incluir su peso actuando en su centro de gravedad. Enunciado para los puntos: para un cuerpo en equilibrio, la suma de los momentos horarios respecto a cualquier punto es igual a la suma de los momentos antihorarios respecto a ese mismo punto.

Ejemplo resuelto. Una viga uniforme de longitud $4.0\ \text{m}$ está articulado en su centro. Una carga de $40\ \text{N}$ cuelga a $1.5\ \text{m}$ del pivote en un lado. ¿A qué distancia del pivote, en el otro lado, debe colgar una carga de $30\ \text{N}$ para equilibrar la viga?

El propio peso de la viga actúa en el centro (el pivote), por lo que no produce momento. Igualando momentos horarios $=$ antihorarios:

Ejemplo resuelto. Una barra uniforme de longitud $L$ y peso $W = 28\ \text{N}$ está articulada a una pared en un extremo y mantenida horizontal por un cable desde su otro extremo. El cable forma un ángulo de $40°$ con la barra. Calcula la tensión $T$ en el cable.

Tome momentos respecto a la bisagra, para que la fuerza desconocida de la bisagra se anule. El peso actúa en el centro, a una distancia $L/2$ de la bisagra; su momento es $W \times L/2$, en sentido horario. La tensión actúa en el extremo, pero no perpendicularmente a la varilla, por lo que su momento es $T\sin 40° \times L$, en sentido antihorario (solo la componente de $T$ perpendicular a la varilla lo hace girar). Iguale los momentos:

La longitud $L$ se cancela, por eso la pregunta no necesita dársela. Si también cuelga una carga de la varilla, añada su momento al lado horario. Esta es la forma de casi todas las preguntas de momentos: elija el punto de apoyo donde actúa la fuerza desconocida, use la componente perpendicular de cualquier fuerza inclinada y deje que las longitudes desconocidas se cancelemente.

Ejemplo resuelto. Una viga uniforme de peso $200\ \text{N}$ y longitud $9.0\ \text{m}$ descansa sobre dos soportes, X a $1.0\ \text{m}$ del extremo izquierdo e Y a $6.5\ \text{m}$. Una persona de peso $700\ \text{N}$ está de pie a $1.7\ \text{m}$ de Y, más allá de este. Calcule la fuerza de cada soporte.

Dos fuerzas desconocidas, $R_{\text{X}}$ y $R_{\text{Y}}$, así que tome momentos respecto a X para eliminar $R_{\text{X}}$. El peso de la viga actúa en su centro, $3.5\ \text{m}$ desde X; Y está a $5.5\ \text{m}$ de X; la persona está a $7.2\ \text{m}$ de X:

Luego la fuerza resultante es cero: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, por lo que $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Una respuesta negativa significa que la viga se levantaría de X: con la persona tan lejos más allá de Y, X debe sujetar la viga hacia abajo, no hacia arriba. Las preguntas a menudo preguntan dónde puede estar de pie una persona antes de que la vica vuelque; esa es la posición en la que $R_{\text{X}}$ se vuelve cero.

Triángulo vectorial

Tres fuerzas en el mismo plano que están en equilibrio pueden dibujarse como un triángulo vectorial cerrado 矢量三角形 — dibujadas punta a cola, las tres flechas regresan al inicio. Este es un método de dibujo en lugar de descomponer en componentes 分量.

Use la ley de senos 正弦定理 o la ley de cosenos 余弦定理 en el triángulo para encontrar tamaños o direcciones desconocidos, o dibuje el triángulo a escala en papel milimetrado.

También puede descomponer cada fuerza en componentes horizontales 水平 y verticales 竖直 e igualar $\sum F_{x} = 0$ y $\sum F_{y} = 0$.

Para dibujar el triángulo para los puntos: dibuje primero el peso (vertical, a escala), luego agregue las otras dos fuerzas punta a cola en sus direcciones reales, para que la tercera flecha cierre el triángulo; etiquete cada lado con su fuerza y marque los ángulos. Para un bloque reposando sobre una pendiente, las tres fuerzas son el peso (vertical), la fuerza de contacto normal (perpendicular a la pendiente) y la fricción (a lo largo de la pendiente), por lo que el triángulo es rectángulo con el peso como hipotenusa. Para un cuadro colgado de una cuerda sobre un pasador, las dos tensiones iguales forman un triángulo isósceles con el peso. La prueba de cualquier respuesta es que el triángulo se cierre; si no lo hace, el objeto no está en equilibrio.

Ejemplo resuelto. Una polea de peso despreciable está sostenida por un resorte. Un solo cable pasa debajo de la polea, y cada lado del cable forma un ángulo de $30°$ con la vertical. La tensión en el cable es $T = 60\ \text{N}$. Calcule la fuerza del resorte y la extensión del resorte, dado que su constante elástica es $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Como es un cable continuo, la tensión es la misma en ambos lados. Las dos tensiones tiran hacia abajo y hacia afuera; sus componentes horizontales se cancelan y sus componentes verticales se suman, por lo que el resorte debe tirar hacia arriba con $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. De la ley de Hooke (tema 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Si el ángulo con la vertical aumenta, $\cos\theta$ disminuye, por lo que la fuerza del resorte y la extensión disminuyen: el cable está tirando más hacia los lados y menos hacia arriba.

La densidad 密度 es la masa por unidad de volumen:

Unidad: $\text{kg m}^{-3}$ (o $\text{g cm}^{-3}$; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). La densidad es una escalar 标量.

Algunas densidades útiles que debes conocer:

• agua: $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• aire en condiciones ambiente: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• hierro / acero: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Medir la densidad es, en realidad, una pregunta práctica disfrazada. Para un prisma rectangular, mide la masa con una balanza y las tres longitudes de los lados con una regla o un calibrador, luego $\rho = m / (xyz)$. Dado que la densidad es un producto y cociente, la incertidumbre porcentual en $\rho$ es la suma de las incertidumbres porcentuales en $m$, $x$, $y$ y $z$ (tema 1). Un error cero en la balanza, o el extremo desgastado de una regla, constituyen errores sistemáticos; repetir las lecturas no los elimina, pero restar la lectura cero sí lo hace.

Ejemplo resuelto. Un bloque tiene masa $(120 \pm 1)\ \text{g}$ y lados $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ y $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Encuentra su densidad y la incertidumbre porcentual.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. Las incertidumbres porcentuales son $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ y $5.0\%$, por lo que la densidad tiene una incertidumbre de $12\%$, aproximadamente $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. El lado más corto contribuye más, razón por la cual una pregunta pide qué medición mejorar primero.

Presión 压强 es la fuerza por unidad de área, donde la fuerza actúa perpendicularmente a la superficie:

Unidad: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. La presión es una escalar.

La fuerza es aquella que presiona perpendicularmente a la superficie, y el área es el área de contacto. Un tronco de árbol con peso $9.0\ \text{kN}$ parado sobre un poste de diámetro $0.28\ \text{m}$ ejerce una presión de $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; el mismo peso sobre un poste más ancho produce una presión menor. Convierte los diámetros en radios, y los centímetros en metros, antes de elevar al cuadrado.

Presión hidrostática

Considera una columna de fluido 流体 con densidad $\rho$, área transversal 横截面积 $A$ y altura $\Delta h$. Su peso es

Este peso presiona hacia abajo sobre el área $A$ en la parte inferior, por lo que la presión adicional en el fondo comparada con la parte superior es

Esta es la ecuación de presión hidrostática 流体静压强. Depende únicamente de la densidad del fluido y la profundidad 深度 —la forma del contenedor no importa.

Ejemplo resuelto. Calcula la presión adicional debida al agua en el fondo de una piscina de $2.5\ \text{m}$ de profundidad. (Densidad del agua $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para un submarino a una profundidad $h$ bajo la superficie, la presión ejercida por el agua es $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Para obtener la presión total, se suma la presión atmosférica 大气压强 en la superficie (aproximadamente $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Empuje y principio de Arquímedes

Cuando un objeto está sumergido 浸没 en un fluido, la presión en la parte inferior del objeto es mayor que la presión en la parte superior (en una cantidad igual a $\rho g \Delta h$, donde $\Delta h$ representa la altura del objeto). Esta diferencia genera una fuerza neta hacia arriba conocida como empuje 浮力.

Para un objeto de volumen $V$ (el volumen de fluido desplazado 排开), el empuje es

Este es el principio de Arquímedes 阿基米德原理: el empuje sobre un cuerpo en un fluido es igual al peso del fluido que desplaza.

Ejemplo resuelto. Un bloque metálico de volumen $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ está completamente sumergido en agua. Calcule el empuje sobre él. (Densidad del agua $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para un objeto completamente sumergido, $V$ es su volumen total. Para un objeto flotante 漂浮, $V$ es solo el volumen por debajo de la superficie: el objeto flota cuando el empuje sobre la parte sumergida iguala su peso.

Si un objeto flota o no depende de las densidades: para un objeto completamente sumergido, la relación entre el empuje y el peso es $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, por lo que flota si es menos denso que el fluido y se hunde si es más denso. Reducir a la mitad la densidad del objeto duplica esa relación; cambiar su volumen o la profundidad no altera nada.

Ejemplo resuelto. Un cilindro de masa $11\ \text{kg}$ y diámetro $0.78\ \text{m}$ flota verticalmente en agua de densidad $990\ \text{kg m}^{-3}$. Encuentre la profundidad $y$ de su base por debajo de la superficie.

Flotar significa que el empuje $=$ al peso. El volumen sumergido es el área de la base por la profundidad, $A y$, con $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

Cada newton adicional de carga en el cilindro necesita una profundidad adicional de $1 / (\rho g A)$, por lo que la profundidad aumenta en línea recta con el peso añadido, sin importar dónde se coloque sobre el cilindro.

Equilibrio de fuerzas con empuje

Un bloque mantenido bajo el agua por una cuerda atada al fondo del recipiente está en equilibrio bajo tres fuerzas verticales: peso (hacia abajo), tensión (hacia abajo) y empuje (hacia arriba). Establece $F_{\text{upthrust}} = W + T$ para encontrar la tensión.

Un bloque sumergido colgado de un dinamómetro indica menos que su peso en el aire debido al empuje: lectura $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Ejemplo resuelto. Un cilindro de peso $25.0\ \text{N}$ cuelga de un dinamómetro completamente sumergido en agua, y el instrumento marca $10.0\ \text{N}$. Halla el volumen del cilindro.

El empuje es la fuerza faltante $15.0\ \text{N}$, y el empuje $= \rho g V$, por lo tanto $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. El mismo método permite hallar la densidad del cilindro: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

El empuje depende de la densidad del fluido y del volumen desplazado, no del material del objeto ni de la profundidad (para un fluido incompresible 不可压缩). En un planeta con una gravedad menor $g$, el empuje es menor en la misma proporción que el peso, por lo que un objeto flotante sigue flotando con la misma fracción sumergida.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Tomar momentos respecto a un punto de pivote elegido; para el equilibrio, los momentos totales en sentido horario $=$ los momentos totales en sentido antihorario y la fuerza resultante es cero.
• Un cuerpo en equilibrio bajo tres fuerzas da lugar a un triángulo cerrado de fuerzas.
• La presión de fluidos $= \rho g h$; empuje $=$ peso del fluido desplazado (Arquímedes).
• Diferenciar masa, peso y densidad, e indicar la unidad base cada vez.

Errores comunes

• Resolver con $\cos\theta$ cuando la geometría requiere $\sin\theta$. Dibuje el triángulo y verifique qué lado está adyacente al ángulo antes de elegir.
• Sustituir el peso del objeto donde la pregunta se refiere al empuje sobre él. El empuje es el peso del fluido desplazado, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• omitir el peso de una viga uniforme. Actúa en el centro, y tiene un momento respecto a cualquier pivote que no esté en el centro.
• Usar la distancia a lo largo de la barra para una fuerza inclinada. El momento necesita la distancia perpendicular, o la componente perpendicular de la fuerza.
• Tomar el par de un par de fuerzas como $Fd$ con $d$ medido desde el pivote. La distancia está entre las dos líneas de acción, por lo que un par simétrico da $2Fd$.