Magnitudes físicas y unidades

Una cantidad física tiene dos partes: un número (su magnitud) y una unidad. El número por sí solo no te dice nada. También debes indicar qué se mide y en qué unidad.

Ejemplo: «la longitud es 1.5» no está completo. «La longitud es 1.5 m» es una magnitud física.

Hacer estimaciones

Deberías ser capaz de estimar el tamaño de las magnitudes físicas en este programa. El Paper 1 suele comenzar con una pregunta de este tipo. Aprende estos valores aproximados:

• masa de un adulto humano: $\sim 70\ \text{kg}$; de un coche: $\sim 1000\ \text{kg}$; de una manzana: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• peso (fuerza gravitatoria) de un adulto humano: $\sim 700\ \text{N}$; de una manzana: $\sim 1\ \text{N}$
• altura de un adulto humano: $\sim 1.7\ \text{m}$; altura de una habitación: $\sim 3\ \text{m}$
• velocidad al caminar: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; un coche en una autopista: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• velocidad del sonido en el aire: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; velocidad de la luz en el vacío: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• aceleración de la caída libre: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densidad del agua: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; del aire: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; del acero: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• presión atmosférica: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• temperatura ambiente: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• potencia de una hervidora: $\sim 2\ \text{kW}$; de una persona subiendo escaleras: $\sim 300\ \text{W}$
• longitud de onda de la luz visible: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; diámetro de un átomo: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; de un núcleo: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Una buena estimación tiene el orden de magnitud correcto (la potencia de diez correcta). Para un humano, 70 kg es una buena suposición; 7 kg no lo es.

Para estimar una magnitud que no esté en la lista, constrúyela a partir de otras que sí estén. La energía cinética de un coche en movimiento es $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. La presión bajo una persona de pie es $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Siempre verifica que la potencia de diez parezca razonable antes de pasar a lo siguiente.

Unidades base

El sistema SI tiene siete magnitudes fundamentales; cinco de ellas se utilizan en este tema. Debes conocer estas cinco y sus unidades:

• masa — kilogramo, $\text{kg}$
• longitud — metro, $\text{m}$
• tiempo — segundo, $\text{s}$
• corriente — amperio, $\text{A}$
• temperatura — kelvin, $\text{K}$

Casi todas las demás unidades en este programa están construidas a partir de estas cinco. La excepción es el mol (mol), la unidad base del SI para la cantidad de sustancia, que se estudia junto con la constante de Avogadro y las leyes de los gases.

Unidades derivadas

Una unidad derivada se forma multiplicando o dividiendo unidades fundamentales. Deberías ser capaz de escribir cualquier magnitud de este programa en unidades fundamentales.

Construye una unidad derivada a partir de la ecuación que la define:

• velocidad = distancia / tiempo, por lo que su unidad es $\text{m s}^{-1}$
• aceleración = cambio en la velocidad / tiempo, por lo que su unidad es $\text{m s}^{-2}$
• fuerza = masa × aceleración, por lo que su unidad es $\text{kg m s}^{-2}$. El newton es $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• trabajo y energía = fuerza × distancia, por lo que la unidad es $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. El joulé es $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• potencia = energía / tiempo, por lo que la unidad es $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. El vatio es $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• presión y tensión = fuerza / área, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. El pascal es $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Cuando una pregunta solicite las unidades base SI de una magnitud, sustituye cada unidad nombrada por sus unidades base y luego simplifica. Ejemplo: las unidades base SI del watt son $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Verificar que las unidades coincidan

Una ecuación es homogénea cuando ambos lados tienen las mismas unidades fundamentales. En palabras sencillas: las unidades en ambos lados coinciden.

Escribe cada lado en unidades base y compara. Toma la ecuación $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• lado izquierdo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado derecho, primer término: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado derecho, segundo término: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Ambos lados dan $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, por lo que las unidades coinciden.

Ten cuidado: que coincidan las unidades no demuestra que toda la ecuación sea correcta. Todavía podría tener un número equivocado o un factor de 2 faltante. Pero si las unidades no coinciden, la ecuación está segura que es incorrecta.

Ejemplo resuelto. La fuerza de arrastre sobre una bola que cae viene dada por $F = kv^{2}$, donde $v$ es la velocidad. Encuentra las unidades SI base de la constante $k$.

Despeja: $k = F / v^{2}$. En unidades base, $F$ es $\text{kg m s}^{-2}$ y $v^{2}$ es $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, así que

Una pregunta de opción múltiple suele preguntar «¿qué ecuación podría ser correcta?». Comprueba las unidades básicas de cada opción; solo una ecuación homogénea puede ser correcta. Un número puro (como 2, $\pi$ o $\tfrac{1}{2}$) no tiene unidad, por lo que nunca cambia la comprobación.

Prefijos

Un prefijo es una letra colocada delante de una unidad para hacerla más grande o más pequeña por potencias de diez. Debes conocer estos:

Para cambiar una unidad con prefijo a unidades base, sustituye el prefijo por su factor y luego simplifica. Ejemplo: cambia $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ a $\text{N m}^{-2}$:

Presta especial atención a las unidades al cuadrado como $\text{mm}^{2}$: también debes elevar al cuadrado el factor.

Toda medida tiene alguna incertidumbre — nunca estamos totalmente seguros del valor. Un buen experimentador sabe de dónde proviene la incertidumbre, hace una estimación justa de ella y la transmite hasta la respuesta final.

Errores sistemáticos y aleatorios

Un error sistemático cambia cada lectura por la misma cantidad, en la misma dirección. No puedes encontrarlo repitiendo la medición. Causas comunes:

• un error de cero (la escala no marca cero cuando el valor verdadero es cero)
• un error de calibración (la escala en sí está mal)
• paralaje (tu ojo siempre está a un lado de la escala)

Un error sistemático empeora la exactitud, pero no cambia la precisión.

Un error aleatorio hace que las lecturas oscilen por encima y por debajo del valor verdadero, sin patrón. Las causas incluyen la precisión con la que lees la escala, las condiciones cambiantes y el paso más pequeño que el instrumento puede mostrar. Si repites la medición muchas veces y tomas la media (el promedio), los errores aleatorios se cancelan parcialmente.

Un error aleatorio reduce la precisión. Sin embargo, con suficientes repeticiones, la media puede seguir siendo exacta.

En un gráfico, los dos errores se ven diferentes. Un error sistemático desplaza todos los puntos por la misma cantidad, por lo que la línea de mejor ajuste mantiene su pendiente pero ya no pasa por el origen: el intercepto cambia. Los errores aleatorios dispersan los puntos por encima y por debajo de la línea; una línea de mejor ajuste trazada a través del centro de la dispersión sigue dando una pendiente confiable.

Precisión y exactitud

La precisión es qué tan cercanas están las lecturas repetidas entre sí. Las lecturas precisas están muy agrupadas.

La exactitud es qué tan cercana está una lectura (o la media de varias lecturas) al valor verdadero.

Un conjunto de lecturas puede ser:

• preciso y exacto — cercano entre sí y cerca del valor verdadero
• preciso pero no exacto — cercano entre sí, pero lejos del valor verdadero (un error sistemático)
• exacto pero no preciso — dispersos, pero la media está cerca del valor verdadero
• ninguno de los dos — dispersos y lejos del valor verdadero

Cuando una pregunta presenta una tabla de lecturas repetidas, analiza la dispersión (precisión) y la media (exactitud) por separado.

Estimación de la incertidumbre en una lectura

Antes de combinar incertidumbres, necesitas una incertidumbre razonable para cada lectura bruta:

• Una sola lectura en una escala analógica: la mitad de la menor división (una regla métrica lee hasta $1\ \text{mm}$, así que una lectura es $\pm 0.5\ \text{mm}$). Una longitud necesita dos lecturas, una en cada extremo, por lo que su incertidumbre es $\pm 1\ \text{mm}$.
• Un medidor digital: $\pm 1$ en el último dígito mostrado (un cronómetro que muestra $2.47\ \text{s}$ tiene $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Una medición cronometrada a mano: tu tiempo de reacción importa más que la pantalla. Permite unos $\pm 0.1$ a $0.2\ \text{s}$, y cronometra muchas oscilaciones en lugar de una, para que la misma incertidumbre se comparta entre todas ellas.
• Lecturas repetidas: la incertidumbre es la mitad del rango. Tres cronometrajes de $2.42$, $2.48$ y $2.45\ \text{s}$ tienen una media de $2.45\ \text{s}$ y un rango de $0.06\ \text{s}$, por lo que $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Sé honesto. Si el borde de una sombra es difícil de ver, la incertidumbre de su posición es de varios milímetros, por muy fina que sea la escala. Los examinadores no aceptan «la división más pequeña» como incertidumbre de una lectura difícil.

Incertidumbre en una cantidad derivada

Una medición a menudo se escribe como $x \pm \Delta x$. Aquí $\Delta x$ es la incertidumbre absoluta. La incertidumbre porcentual es

Una magnitud derivada es aquella que calculas a partir de valores medidos. Su incertidumbre se encuentra mediante reglas simples:

• Sumar o restar — suma las incertidumbres absolutas. Si $y = a + b$ o $y = a - b$, entonces $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplicar o dividir — suma las incertidumbres porcentuales. Si $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, entonces
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Potencias — multiplica la incertidumbre porcentual por el exponente. Si $y = a^{n}$, entonces $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Ejercicio resuelto. El diámetro de una bola se mide como $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. El volumen de una esfera es $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, por lo que $V \propto d^{3}$ ($V$ depende de $d$ al cubo).

La incertidumbre porcentual en $d$ es

Dado que $V \propto d^{3}$, la incertidumbre porcentual en $V$ es tres veces esta, aproximadamente $1.14\%$. El volumen es $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Por lo tanto, la incertidumbre absoluta es $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. La respuesta final es $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Ejemplo resuelto (una diferencia). Los extremos de un resorte están en $54.3\ \text{cm}$ y $12.6\ \text{cm}$ en una regla, cada uno medido con una precisión de $\pm 0.1\ \text{cm}$. Halla su longitud con su incertidumbre. La longitud es $54.3 - 12.6 = 41.7\ \text{cm}$. Para una diferencia, suma las incertidumbres absolutas: $0.1 + 0.1 = 0.2\ \text{cm}$, por lo que $L = (41.7 \pm 0.2)\ \text{cm}$. Las incertidumbres nunca se restan, aunque los valores sí. Si las dos lecturas estuvieran cerca, por ejemplo $13.0$ y $12.6\ \text{cm}$, la longitud $0.4 \pm 0.2\ \text{cm}$ tendría una incertidumbre de $50\%$: evita medir una diferencia pequeña entre dos lecturas grandes.

Ejemplo resuelto (varias magnitudes). La resistividad de un alambre es $\rho = RA/L$, con $A = \tfrac{1}{4}\pi d^{2}$. Las incertidumbres porcentuales son $2.0\%$ en $R$, $1.0\%$ en $d$ y $0.5\%$ en $L$. Halla la incertidumbre porcentual en $\rho$. El área depende de $d^{2}$, por lo que su incertidumbre porcentual es $2 \times 1.0\% = 2.0\%$ (la constante $\tfrac{1}{4}\pi$ no tiene incertidumbre). Luego suma los porcentajes para el producto y el cociente: $2.0\% + 2.0\% + 0.5\% = 4.5\%$. El diámetro es el que más contribuye una vez elevado al cuadrado, por eso se mide con un micrómetro en varios puntos a lo largo del alambre.

¿Concuerdan dos valores? Las preguntas prácticas suelen pedirte que determines si dos valores calculados de una constante respaldan una relación propuesta. No digas solo «son cercanos». Calcula la diferencia porcentual entre ellos,

y compárala con la incertidumbre porcentual en $k$ (o con el criterio que dé la pregunta, habitualmente 10%). Si la diferencia es menor, los dos valores concuerdan dentro de la incertidumbre y la relación está respaldada. Si es mayor, no concuerdan.

Ejemplo resuelto. Se propone que $T^{2} = kL$. Dos conjuntos de lecturas dan $k_{1} = 4.05\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$ y $k_{2} = 4.38\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$. El criterio es $10\%$. ¿Respaldan los datos la relación? La media es $4.215$ y la diferencia porcentual es $0.33 \div 4.215 \times 100\% = 7.8\%$. Esta es menor que $10\%$, por lo que sí: los dos valores de $k$ concuerdan según el criterio y los datos respaldan la relación. Indica el número, la comparación y la conclusión; los tres dan puntos.

Significant figures

Cuando escribas una cantidad calculada, dale el mismo número de cifras significativas que la medición menos precisa que utilizaste — usualmente dos o tres en este programa. Demasiadas cifras significativas hacen que la respuesta parezca más exacta de lo que realmente es. Pocas cifras pierden información útil.

Las pruebas prácticas te piden justificar el número elegido. Menciona las lecturas originales: «$a$ se expresa con 2 cifras significativas porque $L$ y $t$ se midieron cada uno con 2 cifras significativas». La frase «por los datos originales» por sí sola no da el punto. En una tabla de resultados, evalúa cada fila según la lectura original menos precisa de esa fila; no fuerces a que todas las filas tengan el mismo número de cifras.

Incertidumbres en un gráfico

El Examen 5 te pide que propagues las incertidumbres a través de un gráfico:

• Grafica cada punto con una barra de error cuya longitud muestre la incertidumbre absoluta en ese valor.
• Dibuja la línea de mejor ajuste a través de los puntos, luego la peor línea aceptable: la recta más empinada (o más plana) que todavía pase por todas las barras de error.
• La incertidumbre en la pendiente es la diferencia entre las dos pendientes, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. La incertidumbre en la ordenada en el origen se encuentra de la misma manera.
• Cuando graficas un logaritmo, la incertidumbre absoluta en $\ln x$ es $\Delta x / x$ (y en $\lg x$ es $0.434\,\Delta x / x$). Cálculo para los valores más grandes y más pequeños de $x$ por separado.

Una incertidumbre porcentual en la pendiente luego se propaga a cualquier cantidad que calcules a partir de ella, usando las reglas anteriores.

Ejemplo resuelto. Una gráfica de $T^{2}$ frente a $L$ tiene una pendiente de la recta de mejor ajuste de $4.02\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$, y la recta aceptable de peor ajuste tiene una pendiente de $4.31\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$. La pendiente es $4\pi^{2}/g$. Halla $g$ con su incertidumbre. La incertidumbre de la pendiente es $4.31 - 4.02 = 0.29$, que equivale a $0.29 \div 4.02 \times 100\% = 7.2\%$. Entonces $g = 4\pi^{2} \div 4.02 = 9.82\ \text{m s}^{-2}$. Al dividir por la pendiente se mantiene la misma incertidumbre porcentual, $7.2\%$, por lo que $\Delta g = 0.072 \times 9.82 = 0.71$: $g = (9.8 \pm 0.7)\ \text{m s}^{-2}$. Redondea la incertidumbre a una o dos cifras significativas y expresa el valor hasta la misma posición decimal.

Planificación de un experimento (prueba 5)

La pregunta 1 de la prueba 5 describe una relación y te pide planificar un experimento para comprobarla. No realizas el experimento, por lo que todos los puntos dependen de lo que escribas: un examinador debe poder seguir tu plan. Incluye cuatro aspectos.

1. Variables. Nombra la variable independiente (la que cambias), la variable dependiente (la que mides) y las variables de control más importantes (las que mantienes constantes), e indica cómo mantienes constante cada una.
2. Método. Dibuja un diagrama del equipo con etiquetas. Para cada magnitud, nombra el instrumento que la mide e indica cómo lo utilizas. Explica cómo cambias la variable independiente.
3. Análisis. Indica qué gráfica trazas, qué forma muestra que la relación es verdadera y cómo hallas cada constante a partir de la pendiente o la ordenada al origen.
4. Seguridad y detalles. Da una precaución para un peligro de este experimento y añade los detalles prácticos que hacen que las lecturas sean fiables.

Ejemplo resuelto. Se propone que la velocidad terminal $v$ de una esfera de acero que cae a través de aceite depende de su radio $r$ según $v = kr^{n}$, donde $k$ y $n$ son constantes. Planifica un experimento para comprobar esta relación y hallar $n$ y $k$.

• Variables. Independiente: $r$. Dependiente: $v$. De control: el aceite (el mismo aceite, mantenido a la misma temperatura, porque su viscosidad cambia mucho con la temperatura: coloca el tubo en un baño de agua y comprueba la temperatura con un termómetro) y el material de las esferas (todas de acero, para que la densidad sea la misma).
• Método. Llena de aceite un tubo de vidrio alto y ancho y coloca dos bandas elásticas a su alrededor, separadas una distancia $d$, medida con una regla de un metro. Coloca la banda superior bastante por debajo de la superficie para que la esfera haya alcanzado la velocidad terminal antes de pasar por ella. Mide el diámetro de cada esfera con un micrómetro en varias direcciones, calcula la media y divídela entre dos para obtener $r$. Deja caer la esfera en el centro del tubo, inicia un cronómetro cuando pase por la banda superior y detenlo en la banda inferior: $v = d/t$. Utiliza al menos cinco tamaños diferentes de esfera.
• Análisis. Al tomar logaritmos, $\lg v = n\lg r + \lg k$. Grafica $\lg v$ frente a $\lg r$. Si la gráfica es una recta, la relación es verdadera; la pendiente es $n$ y la intersección con el eje $y$ es $\lg k$, por lo que $k = 10^{\text{intercept}}$.
• Seguridad y detalles. Coloca el tubo en una bandeja para recoger el aceite derramado, que hace que el suelo resbale. Comprueba que la esfera haya alcanzado la velocidad terminal midiendo el tiempo que tarda en recorrer dos distancias iguales: los tiempos deben ser iguales. Repite cada medición de tiempo y calcula la media. Utiliza un tubo ancho en comparación con las esferas para que las paredes no las frenen, y extrae las esferas con un imán.

Consejo para el examen. «Medir la rapidez» por sí solo no da puntos: indica qué mides, con qué instrumento y cómo se calcula la rapidez a partir de ello. Especifica la gráfica con sus ejes («grafica $\lg v$ en el eje $y$ frente a $\lg r$»), no solo «dibuja una gráfica».

Un escalar tiene solo magnitud. Un vector tiene tanto magnitud como dirección.

Ejemplos del programa de estudios:

• escalares: masa, tiempo, temperatura, energía, trabajo, potencia, distancia, velocidad escalar, presión, densidad, carga eléctrica
• vectores: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza (incluyendo peso), momento lineal

Prueba rápida: si tiene sentido preguntar «¿en qué dirección?», la magnitud es un vector. No puedes preguntar «¿en qué dirección está la temperatura?», por lo que la temperatura es un escalar. Puedes preguntar «¿en qué dirección va la velocidad?», por lo que la velocidad es un vector.

Suma y resta de vectores

Un vector se dibuja como una flecha: la dirección de la flecha indica la dirección de la cantidad, y la longitud de la flecha (dibujada a escala) indica la magnitud.

Para sumar dos vectores coplanares (vectores en el mismo plano plano), dibújalos punta a cola. El resultante va desde la cola de la primera flecha hasta la punta de la segunda.

Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$, suma el inverso de $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. El inverso de $\vec{Y}$ tiene la misma magnitud que $\vec{Y}$ pero apunta en dirección opuesta.

Si los dos vectores están en ángulo recto (90°), la magnitud del resultante es

y su dirección viene de $\tan\theta = Y / X$.

Ejemplo resuelto. Un nadador se dirige hacia el norte a $1.2\ \text{m s}^{-1}$ cruzando un río que fluye hacia el este a $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la magnitud y la dirección de la velocidad resultante.

Las dos velocidades son perpendiculares, por lo tanto

en un ángulo $\tan\theta = 0.5/1.2$, lo que da $\theta \approx 23°$ al este del norte.

Si dos vectores tienen la misma magnitud $F$ con un ángulo $2\alpha$ entre ellos, el resultante tiene magnitud $2F\cos\alpha$ y se sitúa a lo largo de la línea que divide el ángulo por la mitad.

Ejemplo resuelto. Dos fuerzas de $6.0\ \text{N}$ actúan sobre un objeto con $60°$ entre ellas. Encuentra el resultante.

Aquí $2\alpha = 60°$, por lo que $\alpha = 30°$ y $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, a lo largo de la línea intermedia entre las dos fuerzas. La resolución da la misma respuesta: cada fuerza tiene un componente $6.0\cos 30°$ a lo largo de esa línea, y sus componentes perpendiculares a ella se cancelan.

Para dos vectores en cualquier otro ángulo, ya sea haz un dibujo a escala del triángulo vectorial y mide el resultante, o resuelve ambos vectores en componentes perpendiculares, suma las componentes y recombínalas con $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Ejemplo resuelto. Una pelota que se mueve hacia el este a $5.0\ \text{m s}^{-1}$ es golpeada de modo que se mueva hacia el norte a $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra su cambio de velocidad.

Un cambio en la velocidad es una resta vectorial: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Dibuje $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hacia el norte, luego añada el inverso de la velocidad inicial, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hacia el oeste. Los dos son perpendiculares, por lo que $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$ apunta al noroeste. La rapidez no cambió, pero la velocidad sí. Por eso debió actuar una fuerza sobre la pelota (tema 3).

Descomponer un vector en partes perpendiculares

Cualquier vector se puede descomponer en dos componentes perpendiculares (en ángulo recto). Usualmente son horizontales y verticales, o a lo largo y a través de una superficie. Para un vector $\vec{v}$ con un ángulo $\theta$ respecto a la horizontal:

Elige las direcciones que hagan el problema más sencillo. En una pendiente (un plano inclinado), descompón el peso en una parte paralela a la pendiente y otra perpendicular a ella:

donde $\theta$ es el ángulo de la pendiente respecto a la horizontal.

Descompone un vector en componentes cada vez que necesites saber cuánto de él actúa en una dirección determinada. Por ejemplo: la parte de una fuerza que actúa a lo largo de una pendiente, o las partes horizontal y vertical de la velocidad de una pelota después de ser lanzada.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Da a cada respuesta una unidad, y verifica la homogeneidad: ambos lados de una ecuación deben tener las mismas unidades base.
• Distingue entre error aleatorio (se reduce repitiendo y promediando) y error sistemático (un error de cero o de calibración que las repeticiones no eliminan).
• Combina las incertidumbres: suma las incertidumbres absolutas al sumar/restar, suma las incertidumbres porcentuales al multiplicar/dividir (y multiplica el % por cualquier potencia).
• Distingue entre precisión (pequeña dispersión) y exactitud (cercanía al valor verdadero).
• Descompón un vector en componentes perpendiculares ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); suma vectores punta a cola o mediante componentes.

Errores comunes

• Sustituir 5 cm como 5, o 20 g como 20. Convierta el prefijo primero: 0.05 m, 0.020 kg.
• Dar la incertidumbre porcentual en $T^{2}$ como la misma que en $T$. Elevar al cuadrado la duplica; una raíz cuadrada la reduce a la mitad.
• Tratar la incertidumbre porcentual y la incertidumbre absoluta como el mismo número.
• Citar «la división más pequeña» como la incertidumbre de una lectura que fue difícil de tomar.
• Ofrecer dos respuestas a una definición. Comprométete con una sola.

Reconocer cantidades y estimaciones

Distinga la cantidad de su unidad: la temperatura se mide en kelvin, el tiempo en segundos o minutos, la diferencia de potencial en voltios y la constante del resorte en N/m. Una cantidad tiene una magnitud numérica medible; un nombre de unidad o una categoría por sí solo no indica una cantidad. Los valores pueden ser fraccionarios y las unidades pueden no ser del SI. La luz visible tiene longitudes de onda aproximadamente de 400–700 nm; el verde es de unos 540 nm ($1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm m$).