Scalars and vectors · Escalar y vector
| English | Español |
|---|---|
| distance/ˈdɪstəns/ | distancia |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | desplazamiento |
| scalar/ˈskeɪlə/ | escalar |
| vector/ˈvektə/ | vectorial |
| density/ˈdensɪti/ | densidad |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | resultante |
| component/kəmˈpəʊnənt/ | componente |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
Which way?
- Walk $3\ \text{km}$ out and $3\ \text{km}$ back: you travel $6\ \text{km}$, but end up where you started.
- The distance 距离 is $6\ \text{km}$; the displacement 位移 is $0$.
- The difference is direction — and that is the whole idea here.
¿Hacia dónde?
- Camina $3\ \text{km}$ hacia adelante y $3\ \text{km}$ hacia atrás: viajas una distancia de $6\ \text{km}$, pero terminas donde empezaste.
- La distancia 距离 es $6\ \text{km}$; el desplazamiento 位移 es $0$.
- La diferencia es la dirección — y esa es la idea principal aquí.
Scalars 标量 and vectors 矢量
- A scalar has size only.
- A vector has size and direction.
The SI prefixes climb in steps of a thousand, from pico to giga
Escalares 标量 y vectores 矢量
- Un escalar tiene solo magnitud.
- Un vector tiene magnitud y dirección.
Los prefijos del SI aumentan en pasos de mil, desde pico hasta giga
Resolving forces on a slope · Descomposición de fuerzas en una rampa
A weight on a slope resolves into a component down the slope (mg·sinθ) and one into it (mg·cosθ); the block slides when mg·sinθ beats friction. · Un peso sobre una rampa se descompone en un componente a lo largo de la rampa (mg·sinθ) y otro hacia su interior (mg·cosθ); el bloque se desliza cuando mg·sinθ supera la fricción.
Scalars & vectors · Escalar y vector
resultant = a + b · resultante = a + b
A vector has direction; add two tip-to-tail to get the resultant. · Un vector tiene dirección; suma dos punta con cola para obtener la resultante.
You walk $4\ \text{km}$ east, then $4\ \text{km}$ back west. What is your displacement, in km? · Caminas $4\ \text{km}$ al este, luego $4\ \text{km}$ de regreso al oeste. ¿Cuál es tu desplazamiento, en km?
Displacement is a vector — start to finish. You end where you began, so it is $0$. The distance travelled is $8\ \text{km}$. · El desplazamiento es un vector — del inicio al final. Terminas donde comenzaste, así que es $0$. La distancia recorrida es $8\ \text{km}$.
Which is which?
- Scalars: mass, time, temperature, energy, work, power, distance, speed, density 密度.
- Vectors: displacement, velocity, acceleration, force (incl. weight), momentum.
¿Cuál es cuál?
- Escalares: masa, tiempo, temperatura, energía, trabajo, potencia, distancia, velocidad escalar, densidad 密度.
- Vectores: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza (incluido peso), momento lineal.
Select all · todos the quantities that are vectors. · Selecciona todas las cantidades que son vectores.
Vectors have a direction: displacement, velocity, force and momentum. Mass, energy and speed are scalars (speed is the size of velocity, with no direction). · Los vectores tienen dirección: desplazamiento, velocidad, fuerza y momento. Masa, energía y rapidez son escalares (la rapidez es la magnitud de la velocidad, sin dirección).
Which of these are vectors? Select all · todos that apply. · ¿Cuáles de estos son vectores? Selecciona todos los que correspondan.
Energy is a scalar, which is why kinetic energies simply add in a collision while momenta must be added as vectors with signs. · La energía es un escalar, por lo que las energías cinéticas simplemente se suman en una colisión mientras que los momentos deben sumarse como vectores con signos.
A quick test
- Ask: "in which direction?"
- "In which direction is the temperature?" makes no sense → temperature is a scalar.
- "In which direction is the velocity?" makes sense → velocity is a vector.
Una prueba rápida
- Pregunta: "¿en qué dirección?"
- "¿En qué dirección está la temperatura?" no tiene sentido → la temperatura es un escalar.
- "¿En qué dirección está la velocidad?" tiene sentido → la velocidad es un vector.
Temperature is a vector. · La temperatura es un vector.
You cannot ask "in which direction is the temperature?", so it is a scalar. · No puedes preguntar "¿en qué dirección está la temperatura?", por lo tanto es un escalar.
Vectors are arrows
- Draw a vector as an arrow.
- Its length (to scale) shows the magnitude; its direction shows the direction.
A vector is an arrow — its scaled length is the magnitude and the way it points is the direction
Los vectores son flechas
- Dibuja un vector como una flecha.
- Su longitud (a escala) muestra la magnitud; su dirección muestra la orientación.
Un vector es una flecha — su longitud escalada es la magnitud y la forma en que apunta es la dirección
Adding vectors: tip to tail
- Draw the arrows tip to tail.
- The resultant 合矢量 goes from the first tail to the last tip.
Sumar vectores: punta a cola
- Dibuja las flechas punta a cola.
- El resultante 合矢量 va desde la primera cola hasta la última punta.
Two forces act at a point: $3\ \text{N}$ east and $4\ \text{N}$ north. What is the size of the resultant? · Dos fuerzas actúan en un punto: $3\ \text{N}$ al este y $4\ \text{N}$ al norte. ¿Cuál es la magnitud de la resultante?
They are at right angles, so $|R| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\ \text{N}$. · Están en ángulo recto, así que $|R| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\ \text{N}$.
Subtracting vectors
- To find $\vec{X} - \vec{Y}$, add the reverse of $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$.
- The reverse has the same size but points the opposite way.
Restar vectores
- Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$, suma el inverso de $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$.
- El inverso tiene el mismo tamaño pero apunta en dirección opuesta.
To find $\vec{X} - \vec{Y}$ by drawing arrows, you: · Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$ dibujando flechas, debes:
$\vec{X} - \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y})$ — reverse $\vec{Y}$ (same size, opposite direction) and add tip to tail. · $\vec{X} - \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y})$ — invierte $\vec{Y}$ (mismo tamaño, dirección opuesta) y suma punta con cola.
Resolving into components 分量
- Any vector splits into two perpendicular 垂直 parts.
- For a vector $v$ at angle $\theta$ to the horizontal: $v_{\text{H}} = v\cos\theta$, $v_{\text{V}} = v\sin\theta$.
Descomponer en componentes 分量
- Cualquier vector se divide en dos partes perpendiculares 垂直.
- Para un vector $v$ con ángulo $\theta$ respecto a la horizontal: $v_{\text{H}} = v\cos\theta$, $v_{\text{V}} = v\sin\theta$.
A velocity of $10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ points $60^{\circ}$ above the horizontal. What is its horizontal part? · Una velocidad de $10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ apunta $60^{\circ}$ sobre la horizontal. ¿Cuál es su parte horizontal?
Horizontal part $= v\cos\theta = 10 \times \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. · Parte horizontal $= v\cos\theta = 10 \times \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Put the method for resolving a vector on a slope in order. · Ordena el método para descomponer un vector en una rampa.
Choosing axes along the slope is what makes one component zero. Guessing between sine and cosine is the single commonest error with vectors. · Elegir ejes a lo largo de la rampa hace que un componente sea cero. Adivinar entre seno y coseno es el error más común con los vectores.
A 50 N force acts at 30 degrees to the horizontal. What is its horizontal component, in N? · Una fuerza de 50 N actúa a 30 grados respecto a la horizontal. ¿Cuál es su componente horizontal, en N?
The angle is measured from the horizontal, so the horizontal component is the adjacent side: 50 cos 30 = 43.3 N. An angle given from the VERTICAL flips sine and cosine. · El ángulo se mide desde la horizontal, así que la componente horizontal es el cateto adyacente: 50 cos 30 = 43.3 N. Un ángulo dado desde la VERTICAL invierte seno y coseno.
On a slope
- On a slope of angle $\theta$, split the weight along and across the slope.
- Along: $W_{\parallel} = W\sin\theta$. Across: $W_{\perp} = W\cos\theta$.
En una pendiente
- En una pendiente de ángulo $\theta$, descompón el peso a lo largo y a través de la pendiente.
- A lo largo: $W_{\parallel} = W\sin\theta$. A través: $W_{\perp} = W\cos\theta$.
On a slope of angle $\theta$, the part of the weight acting along the slope is $W$ ____ $\theta$. · En una rampa de ángulo $\theta$, la parte del peso que actúa a lo largo de la rampa es $W$ ____ $\theta$.
Along the slope, $W_{\parallel} = W\sin\theta$; the part pressing into the slope is $W_{\perp} = W\cos\theta$. · A lo largo de la rampa, $W_{\parallel} = W\sin\theta$; la parte que presiona contra la rampa es $W_{\perp} = W\cos\theta$.
When do you resolve?
- Whenever you need how much of a vector acts in one direction.
- Example: the part of a force pulling along a ramp, or the up and across parts of a thrown ball's velocity.
¿Cuándo descompones?
- Cada vez que necesitas saber cuánto de un vector actúa en una dirección específica.
- Ejemplo: la parte de una fuerza que tira a lo largo de una rampa, o las componentes hacia arriba y hacia los lados de la velocidad de una pelota lanzada.
You've got it
- a vector has direction, a scalar does not (ask "in which direction?")
- add vectors tip to tail; at right angles $|R| = \sqrt{X^{2}+Y^{2}}$
- resolve a vector with $v\cos\theta$ (horizontal) and $v\sin\theta$ (vertical)
Lo has entendido
- un vector tiene dirección, un escalar no (pregunta "¿en qué dirección?")
- suma vectores punta a cola; en ángulos rectos usa $|R| = \sqrt{X^{2}+Y^{2}}$
- descompón un vector usando $v\cos\theta$ (horizontal) y $v\sin\theta$ (vertical)