Deformación de sólidos

Cuando una fuerza actúa sobre un sólido a lo largo de su longitud, el objeto cambia de forma (deformación 形变). Dos casos (tratados aquí como unidimensionales):

• una fuerza tractiva 拉伸 estira el objeto — produce una extensión 伸长量 $x$,
• una fuerza compresiva aprieta al objeto — produce una compresión 压缩, tratada como una extensión negativa.

La fuerza aplicada es la carga 负载. El cambio respecto a la longitud natural es la extensión (o compresión).

Ambas se miden desde la longitud natural sin estirar, nunca desde la longitud bajo carga: en un diagrama de un resorte con una caja encima, la distancia que ha acortado el resorte es su compresión. La masa propia del resorte suele considerarse despreciable 可忽略 de, por lo que las únicas fuerzas que actúan sobre él son la carga y la tensión que proporciona.

Para muchos materiales, en extensiones pequeñas, la extensión es proporcional a la carga — esto es la ley de Hooke 胡克定律. La constante que los une es la constante del resorte 劲度系数 $k$:

Unidad de $k$: $\text{N m}^{-1}$.

Ejemplo resuelto. Un resorte se estira $4.0\ \text{cm}$ cuando se le cuelga una carga de $2.0\ \text{N}$. Calcule su constante del resorte.

Convirtiendo la extensión a metros ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

Para la pregunta de una marca "enuncie la ley de Hooke", escríbala en palabras: la extensión es directamente proporcional a la fuerza aplicada (carga), siempre que no se exceda el límite de proporcionalidad. La constante del resorte es la fuerza por unidad de extensión; los distractores de opción múltiple son "extensión por unidad de fuerza" (eso es $1/k$) y $\tfrac{1}{2}Fx$ (la energía almacenada).

Lectura de una gráfica:

• Una gráfica de fuerza-extensión ($F$ frente a $x$) tiene pendiente $k$ en la región de la ley de Hooke.
• Una gráfica de extensión-fuerza ($x$ frente a $F$) tiene pendiente $1/k$ en la región de la ley de Hooke.

Trampa común: si una gráfica representa la longitud $L$ frente a la fuerza, aún puede obtenerse la constante del resorte a partir de la pendiente (ya que $L = L_{0} + F/k$, la pendiente es $1/k$ — léala con cuidado).

Ejemplo resuelto. Un resorte tiene longitud $90\ \text{mm}$ bajo una fuerza de $0.80\ \text{N}$ y $115\ \text{mm}$ bajo $1.30\ \text{N}$. Calcule la constante del resorte y la longitud sin estirar.

La fuerza adicional $0.50\ \text{N}$ produce la extensión adicional $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, por lo tanto $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. A $0.80\ \text{N}$ la extensión es $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, así que la longitud sin estirar es $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. En una gráfica de longitud frente a fuerza, la intersección con el eje de longitud es $L_{0}$, la pendiente es $1/k$, y el trabajo realizado para estirar el resorte es el triángulo entre la línea y el nivel $L = L_{0}$, no toda el área hasta el eje de fuerza: el rectángulo debajo de $L_{0}$ corresponde a la longitud sin estirar multiplicada por la fuerza, lo cual carece de significado físico.

Límite de proporcionalidad

La ley de Hooke solo se cumple hasta el límite de proporcionalidad 比例极限. Más allá de este punto, la línea de $F$ frente a $x$ se curva y deja de ser recta. El material puede seguir siendo elástico 弹性 (recupera su longitud original al retirar la carga) un poco más, para luego volverse plástico 塑性.

resortes en serie y en paralelo

Puede que necesite combinar constantes de resortes:

• En serie 串联 (un resorte cuelga de otro): la misma carga pasa a través de ambos, la extensión total es la suma, por lo tanto $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• En paralelo 并联 (dos resortes lado a lado sosteniendo la misma carga): cada uno soporta la mitad de la carga (si son idénticos), las extensiones son iguales, por lo tanto $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

Ejemplo resuelto. Dos resortes con constantes de resorte $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ y $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ están unidos extremo con extremo y una carga de $80\ \text{N}$ cuelga de ellos. Calcule la extensión total.

Cada resorte soporta la carga completa de $80\ \text{N}$, por lo que las extensiones son $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ y $80/4.0 = 20\ \text{cm}$; en total $33\ \text{cm}$ (lo mismo que obtenería de $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ usando $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Tres resortes idénticos dan la constante combinada mayor cuando los tres están en paralelo ($3k$) y la menor cuando los tres están en serie ($k/3$). Cuando una carga es compartida por dos resortes idénticos en paralelo, cada uno soporta la mitad de la fuerza y almacena así un cuarto de la energía de un solo resorte que sostuviera toda la carga; el par en conjunto almacena la mitad de la energía que almacenaba el resorte individual. Una constante de resorte en $\text{N cm}^{-1}$ es $100$ veces menor que la misma constante en $\text{N m}^{-1}$; utilice la unidad que solicite el problema.

Para un alambre de sección transversal uniforme bajo una carga de tracción:

• Tensión 应力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, donde $F$ es la carga y $A$ es el área de sección transversal 横截面积. Unidad: $\text{Pa}$.
• Deformación 应变 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, donde $x$ es la extensión y $L_{0}$ es la longitud original. La deformación no tiene unidad (es una razón entre longitudes).

Para las definiciones de un punto: la tensión es la fuerza por unidad de área de sección transversal (la fuerza que actúa perpendicularmente al área); la deformación es la extensión por unidad de longitud original. La unidad de tensión, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, equivale a $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ en unidades base. El área de un alambre redondo se obtiene a partir de su diámetro $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, y sustituir $d$ en lugar de $r$ hace que el área sea cuatro veces demasiado grande. Convierta $\text{mm}^{2}$ a $\text{m}^{2}$ utilizando $10^{-6}$.

Ejemplo resuelto. Una fuerza de tracción de $18\ \text{N}$ actúa sobre un alambre de área transversal $3.2\ \text{mm}^{2}$. Calcule la tensión.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. La misma fuerza actúa a lo largo de todo el alambre, por lo que un perno cuyo diámetro es $2d$ en un extremo y $d$ en el otro tiene cuatro veces la tensión en el extremo más estrecho ($\sigma \propto 1/d^{2}$), y un alambre con tres veces el radio presenta una novena parte de la tensión.

El módulo de Young 杨氏模量 es la razón entre la tensión y la deformación en la región de la ley de Hooke:

Unidad: $\text{Pa}$ (aproximadamente $10^{11}$ para metales; p. ej., acero $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

Ejemplo resuelto. Un alambre de acero de longitud $2.0\ \text{m}$ y área transversal $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ se estira $1.0\ \text{mm}$ bajo una carga de $15\ \text{N}$. Calcule el módulo de Young.

El módulo de Young es una propiedad del material; no depende de la forma ni del tamaño del alambre. La constante del resorte $k$ depende tanto del material como del tamaño: $k = EA/L_{0}$.

Para la definición de un solo punto: el módulo de Young es la razón entre la tensión y la deformación (para un material deformado dentro de su límite de proporcionalidad). Perteneciendo al material, un alambre más grueso del mismo metal tiene el mismo módulo de Young: se estira menos bajo la misma carga porque su área es mayor, no porque el metal sea más rígido. Una pregunta de "demuestre que $k = EA/L_{0}$" requiere dos líneas: $k = F/x$ y $E = FL_{0}/(Ax)$, por lo tanto $E = kL_{0}/A$. De esto se derivan dos cosas: la constante del resorte de un alambre permanece constante mientras se cumpla la ley de Hooke, sin importar la fuerza, y un alambre del mismo metal con el doble de diámetro tiene cuatro veces la constante del resorte.

Ejemplo resuelto. Un alambre de cobre de longitud $1.7\ \text{m}$ y diámetro $0.64\ \text{mm}$ tiene un módulo de Young de $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Calcule su constante del resorte.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, por lo tanto $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

En un gráfico de tensión-deformación, la pendiente de la parte recta es $E$, por lo que de dos materiales trazados en los mismos ejes, la línea más empinada corresponde al material más rígido, y un alambre con el doble del módulo de Young se representa como una línea que pasa por el origen con el doble de pendiente. En un gráfico de fuerza-elongación, la pendiente es $EA/L_{0}$ y el módulo de Young es la pendiente multiplicada por $L_{0}/A$; solo un gráfico de tensión-deformación tiene una pendiente igual a $E$ mismo.

Experimento para encontrar el módulo de Young de un alambre metálico

Un montaje estándar:

1. Sujete un extremo de un alambre largo y delgado a un soporte fijo. Pase el alambre sobre una polea 滑轮 por el borde de la mesa para que cuelgue recto hacia abajo.
2. Mida la longitud original $L_{0}$ entre la abrazadera y un marcador cerca de la polea, usando una regla métrica.
3. Mida el diámetro 直径 $d$ del alambre en varios lugares con un micrómetro 螺旋测微器 y tome el promedio. Calcule $A = \pi d^{2}/4$.
4. Cuelgue los pesos uno a uno. Registre la carga $F$ y la extensión $x$ (cuánto se mueve el marcador contra una escala fija).
5. Grafique $F$ contra $x$. En la región lineal, la pendiente es $EA/L_{0}$, por lo tanto $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

¿Por qué un alambre largo y delgado? Para que la extensión sea lo suficientemente grande como para medirse bien. ¿Por qué repetir lecturas y medir $d$ en varios lugares? Para reducir el error aleatorio 随机误差 y verificar que el alambre sea uniforme.

Una respuesta "describa un experimento" obtiene sus puntos por las cantidades medidas y cómo ($L_{0}$ con una regla métrica; $d$ con un micrómetro en varios puntos; la carga desde las masas o un newtonímetro; la extensión desde un marcador leído contra una escala fija o una escala vernier), la gráfica ($F$ contra $x$, pendiente $EA/L_{0}$, o tensión contra deformación, pendiente $E$) y las precauciones: gafas de seguridad en caso de que el alambre se rompa, una carga pequeña primero para enderezar las torceduras, y tomas de lectura tanto al cargar como al descargar para verificar que el alambre permaneció elástico.

A medida que aumenta la carga:

1. Elástico y recto (se obedece la Ley de Hooke) — hasta el límite de proporcionalidad. Al retirar la carga, el objeto vuelve a su primera longitud.
2. Elástico pero curvo — entre el límite de proporcionalidad y el límite elástico 弹性极限. La extensión ya no es recta respecto a la carga, pero al descargar, el objeto todavía vuelve a su primera longitud.
3. Plástico — más allá del límite elástico. Al descargar, el objeto no vuelve a su primera longitud; queda una extensión permanente.

La ley de Hooke solo se cumple en la región elástica y recta.

En palabras: deformación elástica significa que el objeto vuelve a su longitud original (o forma) cuando se retira la carga; deformación plástica significa que no lo hace, y permanece una extensión permanente; el límite elástico es la carga máxima (o extensión) para la cual la deformación sigue siendo elástica; el límite de proporcionalidad es el punto más allá del cual la extensión deja de ser proporcional a la carga. En una gráfica, el límite de proporcionalidad es donde la línea deja de ser recta. El límite elástico está un poco más allá y no puede leerse solo a partir de la línea de carga. Por lo tanto, en un elemento de opción múltiple "cuál afirmación debe ser correcta", el final de la parte recta es el límite de proporcionalidad, pero si un punto posterior es el límite elástico o el punto de ruptura no se puede determinar a partir de la forma de la línea de carga.

En una gráfica de fuerza–extensión para un material llevado a la región plástica y luego descargado, la línea de carga y la línea de descarga son diferentes. La línea de descarga es paralela a la primera línea de Hooke pero desplazada hacia la derecha (la extensión permanente que queda cuando la carga llega a cero). El área entre las líneas de carga y descarga es la energía convertida en energía térmica 热能 en el material.

Una goma elástica 橡皮筋 también tiene curvas de carga y descarga diferentes, pero vuelve a su longitud original: su deformación es elástica. El área entre las dos curvas es nuevamente energía disipada como energía térmica (histéresis elástica 弹性滞后), y la energía recuperada al descargar es el área bajo la curva inferior. La respuesta de dos puntos "explique por qué el trabajo realizado al estirar el alambre no es igual a la energía recuperada cuando se retira la fuerza" dice que el alambre fue llevado más allá de su límite elástico, por lo que parte de la deformación es plástica y queda una extensión permanente, y que parte del trabajo realizado se convirtió en energía térmica en el alambre.

El trabajo realizado al estirar un material de $0$ a extensión $x$, mientras la carga crece de $0$ a $F$, es el área bajo la gráfica de fuerza–extensión.

¿Por qué el área: el trabajo realizado es fuerza multiplicada por la distancia recorrida, pero aquí la fuerza crece a medida que el material se estira, por lo que el trabajo es la suma de $F\,\Delta x$ sobre muchas extensiones pequeñas, lo cual es el área bajo la línea. Dentro del límite de proporcionalidad, la fuerza aumenta uniformemente de $0$ a $F$, por lo que la fuerza promedio es $\tfrac{1}{2}F$ y el trabajo es $\tfrac{1}{2}Fx$. En una gráfica de fuerza–extensión, la pendiente es la constante del resorte.

Material que obedece la Ley de Hooke

Cuando se cumple la Ley de Hooke, la gráfica de $F$ contra $x$ es una línea recta que pasa por el origen. El área bajo ella de $0$ a $x$ es un triángulo:

Esta es la energía potencial elástica 弹性势能 almacenada en un resorte o alambre estirado dentro de su límite de proporcionalidad. Una forma equivalente:

Ejemplo resuelto. Un muelle de constante elástica $50\ \text{N m}^{-1}$ se estira una distancia $0.20\ \text{m}$, dentro de su límite de proporcionalidad. Encuentre la energía potencial elástica almacenada.

Ejemplo resuelto. Un alambre de constante elástica $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ ya está extendido en una cantidad $2.0\ \text{mm}$. Encuentre el trabajo realizado para aumentar su extensión hasta $3.0\ \text{mm}$.

La energía almacenada aumenta de $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ a $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Esta es la zona trapezoidal bajo la línea entre las dos extensiones, no $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Dado que $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ a una extensión fija $k$, duplicar la extensión de un alambre almacena cuatro veces la energía ($0.65\ \text{J}$ se convierte en $2.6\ \text{J}$), y la energía almacenada proporciona la extensión como $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: un resorte de $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ que almacena $0.32\ \text{J}$ está comprimido por $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Para dos alambres unidos extremo con extremo, la tensión es la misma en ambos, por lo que la energía total almacenada es $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ con la propia extensión de cada alambre.

Material no hookeano

Para una gráfica que no es una línea recta (una banda de goma estirada o un resorte más allá de su límite de proporcionalidad), encuentre el área contando cuadrados de la cuadrícula o utilizando trapecios 梯形. La misma idea se mantiene: el área bajo la gráfica fuerza–extensión es el trabajo realizado sobre el material. Para estimar el trabajo realizado hasta el punto de rotura, cuente los cuadrados bajo toda la curva (cuadrados parciales como mitades) y multiplique por la energía que representa un cuadrado, el paso de fuerza multiplicado por el paso de extensión; decir que el área se encontró contando cuadrados otorga la marca de "explique su razonamiento".

Comparación de energía almacenada

Un caso común de opción múltiple: dos materiales se estiran con la misma fuerza o con la misma extensión. Utilizando $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• misma $F$, menor $k$ (menos rígido) → mayor $x$ → más energía almacenada.
• misma $x$, mayor $k$ (más rígido) → mayor $F$ → más energía almacenada.

Un boceto de $E_{\text{P}}$ frente a la extensión o compresión es una curva que pasa por el origen y se vuelve más pronunciada ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), no una línea recta. De dos alambres de la misma longitud y área bajo la misma carga, aquel con el módulo de Young menor se extiende más y, por tanto, almacena más energía.

Cuando un resorte estirado se libera sobre una masa, la energía potencial elástica se convierte en energía cinética 动能 (y energía potencial gravitatoria si la masa asciende). Iguale $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ con $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (más cualquier $mgh$) para encontrar la velocidad o la altura.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• La ley de Hooke ($F = kx$) solo se cumple hasta el límite de proporcionalidad.
• Esfuerzo $= F/A$, deformación $= x/L$, módulo de Young $=$ esfuerzo$/$deformación (pendiente de la parte recta de la gráfica esfuerzo-deformación) — comprueba las unidades (Pa).
• Energía almacenada $=$ área bajo la gráfica fuerza-extensión $= \frac{1}{2}Fx$ en la región elástica.
• Distinga entre deformación elástica (recupera su forma) y plástica (permanente).

Errores comunes

• Usar el diámetro como radio en $A = \pi r^{2}$, o dejar un área en $\text{mm}^{2}$. Dividir primero el diámetro a la mitad; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Leer el trabajo realizado en una gráfica de longitud–fuerza como toda el área hasta el eje. Solo el triángulo por encima de $L_{0}$ es trabajo.
• Tratar la energía almacenada como proporcional a la extensión. Varía según $x^{2}$: duplicar la extensión, cuadruplica la energía; y el trabajo realizado entre dos extensiones es la diferencia de dos valores de $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• Enunciar la ley de Hooke sin su condición. "Siempre que no se exceda el límite de proporcionalidad" forma parte de la ley.
• Intercambiar el límite de proporcionalidad (el final de la línea recta) y el límite elástico (el final del comportamiento elástico, un poco más allá).
• Decir que un alambre más grueso tiene un módulo de Young mayor. El módulo es del material; el alambre más grueso tiene una constante de resortes mayor.