Cinemática

Estas cinco magnitudes aparecen en casi todas las preguntas de cinemática. Aprende las palabras exactas — el examinador otorga puntos por una redacción precisa.

• distancia (distancia) — la longitud total del camino recorrido. Un scalar (escalar).
• desplazamiento (desplazamiento) — la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el final, con una dirección. Un vector.
• velocidad (velocidad escalar) — la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Un escalar.
• velocity (velocidad vectorial) — la tasa de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Un vector.
• acceleration (aceleración) — la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Un vector.

La unidad de velocidad y velocidad vectorial es $\text{m s}^{-1}$; la unidad de aceleración es $\text{m s}^{-2}$.

Dos frases más que usa el examinador: uniform acceleration (aceleración uniforme) significa aceleración constante (una línea recta en un gráfico de velocidad-tiempo), y la acceleration of free fall (aceleración de caída libre) $g$ es la aceleración de un objeto que cae libremente en un uniform gravitational field (campo gravitatorio uniforme) cuando la resistencia del aire es negligible (pequeña como para ignorarla).

Un error común: deceleration (desaceleración) simplemente significa aceleración en la dirección opuesta a la velocidad. No es una cantidad separada.

A veces se dan velocidades en $\text{km h}^{-1}$. Convierte antes de calcular: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Muchos puntos provienen de leer o dibujar gráficos de movimiento, los graphical methods (métodos gráficos) que menciona el programa. Dos gráficos son importantes.

Gráfico de desplazamiento–tiempo

El gradient (pendiente) de un gráfico de desplazamiento–tiempo en un punto da la velocidad en ese instante.

• línea horizontal → el objeto está en reposo.
• línea recta inclinada → velocidad constante (pendiente = velocidad).
• línea curva → velocidad cambiante. Dibuja una tangente (tangente) en el punto y encuentra su pendiente.

Gráfico de velocidad–tiempo

La pendiente de un gráfico de velocidad–tiempo da la aceleración en ese instante.

El área (área) entre la línea y el eje del tiempo da el desplazamiento en ese tiempo.

• línea horizontal → velocidad constante (aceleración cero).
• línea recta inclinada → aceleración uniforme (aceleración constante).
• línea curva → aceleración cambiante.
• el área por encima del eje del tiempo es desplazamiento positivo; el área por debajo es negativa (el objeto se movió hacia atrás).

Para encontrar el desplazamiento, divide el área en triángulos y rectángulos, o cuenta los cuadros de la cuadrícula. El área de un triángulo es $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; el área de un rectángulo es $\text{base} \times \text{height}$.

Ejemplo resuelto. El gráfico muestra la velocidad de un ascensor. Encuentra la aceleración en cada etapa y la distancia total recorrida.

• Etapa A: pendiente $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Etapa B: la línea es horizontal, así que la aceleración es cero.
• Etapa C: pendiente $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (una desaceleración de $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Distancia: triángulo A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, rectángulo B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, triángulo C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; total $27\ \text{m}$.

Cuando el gráfico es una curva, el área sigue siendo el desplazamiento: cuenta los cuadros bajo la curva (media cuadra o más cuenta como una) y multiplica por el valor de una cuadra.

Para el movimiento en línea recta con aceleración uniforme, usamos cinco símbolos: velocidad inicial $u$, velocidad final $v$, aceleración $a$, desplazamiento $s$ y tiempo $t$. Cuatro ecuaciones las relacionan:

Cada ecuación usa cuatro de los cinco símbolos. Para elegir la correcta: escribe lo que sabes y lo que quieres, luego elige la ecuación que tenga exactamente esos cuatro.

Ejemplo resuelto. Un automóvil acelera uniformemente desde $8\ \text{m s}^{-1}$ hasta $20\ \text{m s}^{-1}$ sobre una distancia de $56\ \text{m}$. Encuentra su aceleración.

Sabemos $u$, $v$ y $s$ y queremos $a$, así que usamos $v^{2} = u^{2} + 2as$:

De dónde provienen las ecuaciones SUVAT

Deberías poder obtener estas de las definiciones de velocidad y aceleración. Piensa en el gráfico de velocidad–tiempo del movimiento: una línea recta desde $u$ en $t = 0$ hasta $v$ en el tiempo $t$.

• $v = u + at$: la aceleración es la pendiente, $a = (v - u)/t$, por lo tanto $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: el desplazamiento es el área bajo la línea, un trapecio 梯形 con lados paralelos $u$ y $v$ y anchura $t$, por lo tanto $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: sustituye $v = u + at$ en el área: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: de la primera ecuación $t = (v - u)/a$; sustituye esto en $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ para obtener $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Una pregunta de "derivar" requiere exactamente estos pasos, comenzando cada uno con una definición o una ecuación ya establecida, sin usar números.

Si una pregunta pregunta "¿qué ecuación se puede encontrar usando solo la pendiente de un gráfico de velocidad–tiempo?", la respuesta es $v = u + at$ (la pendiente es la aceleración).

Preguntas de "Demostrar que". Cuando la pregunta da la respuesta ("demostrar que la altura es 3.2 km"), los puntos son para el método. Indica la ecuación, sustituye cada valor con su unidad y da el resultado con una cifra significativa más que el valor citado ($3.24\ \text{km}$, que se redondea a $3.2\ \text{km}$). Llegar al valor citado no demuestra nada por sí mismo.

Elegir una dirección positiva

Elige una dirección positiva al principio y mantenla. Todo lo que apunte en la otra dirección recibe un signo menos. Para una pelota lanzada recta hacia arriba, si "hacia arriba" es positivo: $u$ es positivo, $a = -g$ (gravedad 重力 tira hacia abajo), y en el punto más alto el desplazamiento es positivo pero la velocidad es cero.

Cuando la resistencia del aire 空气阻力 se puede ignorar, un objeto en caída libre 自由落ite tiene una aceleración constante $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ hacia abajo. Esto es lo mismo para toda masa.

Para una pelota soltada desde el reposo y que cae una distancia $h$:

Para una pelota lanzada recta hacia arriba con velocidad $u$:

• altura máxima: sustituye $v = 0$ en $v^{2} = u^{2} - 2gh$, dando $h = u^{2}/(2g)$.
• tiempo para llegar a la parte superior: sustituye $v = 0$ en $v = u - gt$, dando $t = u/g$.
• tiempo total para volver a caer a la altura inicial: $2u/g$ (el movimiento es simétrico 对称).

Ejemplo resuelto. Una pelota se lanza recta hacia arriba a $20\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la altura máxima que alcanza (toma $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

En el punto más alto $v = 0$, por lo tanto de $h = u^{2}/(2g)$:

Cuando la resistencia del aire no es despreciable

Las ecuaciones anteriores asumen que la única fuerza es el peso. Con resistencia del aire, la fuerza resultante sobre un objeto en caída es menor que su peso, por lo que la aceleración es menor que $g$; y como la resistencia del aire aumenta con la velocidad, la aceleración sigue disminuyendo a medida que el objeto acelera. En un gráfico de velocidad–tiempo, la línea se curva, su pendiente disminuyendo hacia cero a medida que el objeto se acerca a la velocidad terminal 收尾速度 (tema 3). Para un proyectil, la resistencia del aire acorta el alcance y reduce la altura máxima, y la trayectoria deja de ser una parábola 抛物线 simétrica: el objeto desciende más abruptamente de lo que ascendió. Una pregunta de "indica y explica" desea primero la fuerza, luego su efecto sobre la aceleración, y finalmente el efecto sobre el movimiento.

Experimento para hallar $g$

Un método común: dejar caer un objeto desde el reposo, luego medir la distancia $h$ que cae y el tiempo $t$ que tarda. Entonces

Repita para varias alturas y represente $h$ frente a $t^{2}$. La pendiente de la mejor línea recta es $g/2$, por lo que $g$ es el doble de la pendiente. Repetir reduce el error aleatorio 随机误差. Un temporizador electrónico —usando portas de luz 光电门 o un interruptor que golpea la bola— elimina el error de tiempo de reacción 反应时间.

Cuando un objeto se mueve con velocidad constante en una dirección (digamos horizontal 水平) y acelera en una dirección perpendicular a ella (digamos vertical 竖直, bajo gravedad), los dos movimientos no se afectan entre sí. Analice cada dirección por separado, usando su propia ecuación SUVAT.

Lanzamiento horizontal

Un objeto lanzado horizontalmente con velocidad $u_{\text{H}}$ desde una altura $h$, ignorando la resistencia del aire:

• horizontal: velocidad constante $u_{\text{H}}$. Después de un tiempo $t$, la distancia horizontal es $x = u_{\text{H}} t$.
• vertical: parte del reposo y acelera hacia abajo a $g$. Después de un tiempo $t$, ha caído una distancia $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ y tiene una velocidad vertical $v_{\text{V}} = g t$.

El tiempo para llegar al suelo depende únicamente de la altura $h$, no de $u_{\text{H}}$. Despeje $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ para obtener $t$; luego el alcance 射程 horizontal es $u_{\text{H}} t$.

Ejemplo resuelto. Una bola se lanza horizontalmente a $15\ \text{m s}^{-1}$ desde la cima de un acantilado de $20\ \text{m}$ de altura. Encuentre el tiempo que tarda en tocar el suelo y la distancia desde la base donde aterriza (tome $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

El movimiento vertical proporciona el tiempo: de $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

El movimiento horizontal proporciona entonces el alcance: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

La gráfica de velocidad horizontal es una línea plana en $u_{\text{H}}$. La gráfica de velocidad vertical es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $g$.

Comparación de dos objetos. Si el objeto A se deja caer y el objeto B se lanza horizontalmente desde la misma altura al mismo tiempo, ambos llegan al suelo simultáneamente: sus movimientos verticales son idénticos. Si en cambio B se lanza con un componente ascendente, tarda más, porque primero debe subir y volver a la altura inicial antes de caer la misma distancia. Su velocidad al impactar aún se calcula mediante energía: la energía cinética ganada es igual a la energía potencial perdida, independientemente de la dirección del lanzamiento, por lo que una bola lanzada con cualquier ángulo pero con la misma velocidad y desde la misma altura impactará con la misma velocidad (tema 5).

Proyectil en un ángulo

Un proyectil 抛体 lanzado con velocidad $u$ en un ángulo $\theta$ sobre la horizontal:

• componente 分量 horizontal de la velocidad inicial: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (permanece constante durante todo el vuelo).
• componente vertical de la velocidad inicial: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (disminuye, llega a cero en la parte superior y luego aumenta hacia abajo).

En el punto más alto, $v_{\text{V}} = 0$, pero $v_{\text{H}}$ sigue siendo $u\cos\theta$. El tiempo para alcanzar la parte superior es $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; el tiempo total de vuelo (de vuelta a la altura inicial) es $2t_{\text{up}}$.

Dibujar las gráficas de velocidad. Los examinadores suelen pedirte que dibujes $v_{\text{H}}$ y $v_{\text{V}}$ frente al tiempo en los mismos ejes, tomando hacia arriba como positivo. La componente horizontal es una línea plana en $u\cos\theta$ durante todo el vuelo. La componente vertical es una línea recta con pendiente $-g$: comienza en $+u\sin\theta$, cruza cero en la parte superior del vuelo, y alcanza $-u\sin\theta$ al aterrizar a la misma altura inicial. Etiqueta cada línea, marca los tiempos en los que las líneas comienzan y terminan, y haz que el cruce esté exactamente en $t_{\text{up}}$.

Ejemplo resuelto. Una pelota sale del suelo con una rapidez inicial de $18\ \text{m s}^{-1}$ en un ángulo de $60°$ respecto a la horizontal. Demuestre que alcanza su altura máxima en $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. En la parte superior $v_{\text{V}} = 0$, es decir, desde $v = u + at$ con $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Pelota rebotadora

Cuando una pelota rebota, su gráfica velocidad-tiempo es un conjunto de líneas rectas inclinadas (aceleración constante $g$) con un salto repentino en cada rebote (la velocidad cambia de dirección y disminuye si se pierde algo de energía 能量). Suma los tiempos y las distancias a través de los rebotes.

Lee esta gráfica con cuidado: la pendiente de cada línea inclinada es la misma aceleración $g$; la pelota está en su punto más alto donde la línea cruza el eje del tiempo; y la altura de cada rebote proviene del área del triángulo por encima (o por debajo) del eje para ese trayecto.

Cuando dos objetos se mueven a lo largo de la misma línea de maneras diferentes, escribe una ecuación de desplazamiento para cada uno. Usa el mismo tiempo inicial y la misma dirección positiva. Luego iguala los dos desplazamientos (o establece su diferencia como una distancia dada).

Para un tren de carga a velocidad constante $u_{\text{G}}$ y un tren expreso que parte del reposo con aceleración $a$, ambos pasando por el mismo punto en $t = 0$:

Vuelven a estar al mismo nivel cuando $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, lo que da como resultado $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Dibuja un diagrama y marca la dirección positiva.
2. Enumera los símbolos SUVAT con sus valores conocidos y desconocidos, incluyendo los signos.
3. Elige la ecuación SUVAT que tenga exactamente los cuatro símbolos que posees, más el que deseas encontrar.
4. Para el movimiento de proyectiles, divide en problemas SUVAT horizontales y verticales, conectados únicamente por el tiempo $t$.
5. Siempre verifica las unidades de tu respuesta y que su magnitud sea sensata.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Utiliza las ecuaciones SUVAT únicamente para aceleración constante; enumera $s, u, v, a, t$ y selecciona la ecuación que no contenga tu incógnita.
• Elige una dirección como positiva y mantén la coherencia en los signos (usualmente $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• En un gráfico de velocidad-tiempo, la pendiente $=$ representa la aceleración y el área $=$ representa el desplazamiento.
• Para los proyectiles, tratar el movimiento horizontal (velocidad constante) y vertical ($a = g$) por separado, vinculados por el mismo tiempo.

Errores comunes

• Decir que la bola más pesada toca el suelo primero, o más rápido, cuando se ignora la resistencia del aire. Ambas caen con la misma aceleración y aterrizan a la misma velocidad.
• Calcular la pendiente de un gráfico $v$–$t$ cuando la pregunta pide el área, o el área cuando pide la pendiente. La pendiente es la aceleración; el área es el desplazamiento.
• Dibujar una curva en un gráfico $v$–$t$ para un cuerpo bajo aceleración constante. La aceleración constante representa una línea recta; solo cambia el signo de $v$ en un rebote.
• Usar $g = +9.81$ para una bola lanzada hacia arriba con "hacia arriba" como positivo. Una vez que hacia arriba es positivo, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ durante todo el vuelo, también al bajar.
• Usar una ecuación SUVAT cuando la aceleración está cambiando (resistencia del aire, una gráfica curva). En ese caso, solo los métodos basados en gráficos funcionan.