Ondas

Una onda transporta energía de un lugar a otro sin mover materia en general. Las partículas del medio oscilan alrededor de sus posiciones de reposo fijas; solo la perturbación (y su energía) se propaga. Ejemplos: una onda transversal en una cuerda, una onda longitudinal en un resorte tipo slinky, ondas en el agua y el sonido en el aire. Una onda que viaja y transporta energía es una onda progresiva.

El movimiento ondulatorio es una serie de oscilaciones de las partículas de un medio, cada una pasando la perturbación a la siguiente: sacuda un extremo de una cuerda, empuje un extremo de un resorte o toque la superficie del agua en un tanque de ondas, y la oscilación viaja lejos de donde comenzó. Para la definición de un punto, una onda progresiva transfiere energía de un lugar a otro sin transferir materia; las partículas solo oscilan alrededor de sus posiciones de reposo.

Key terms

• desplazamiento $y$ — qué tan lejos se ha movido una partícula desde su posición de reposo en un momento dado. Es un vector.
• amplitud $A$ — el mayor desplazamiento desde la posición de reposo.
• longitud de onda $\lambda$ — the shortest distance along the wave between two points that move in phase (for example, two next-door crests).
• período $T$ — el tiempo necesario para una oscilación completa de una partícula.
• frecuencia $f$ — el número de oscilaciones completas por segundo; $f = 1/T$. Unidad: hercios, $\text{Hz}$.
• velocidad $v$ — qué tan rápido viaja una cresta a lo largo del medio.
• diferencia de fase — la fracción de un ciclo por la cual una oscilación va por delante o por detrás de otra. Se expresa en radianes (un ciclo completo es $2\pi$) o grados (un ciclo completo es $360°$).

Dos puntos separados por una longitud de onda están en fase (diferencia de fase 0 o $2\pi$). Dos puntos separados por media longitud de onda están exactamente fuera de fase (diferencia de fase $\pi$).

Para encontrar la diferencia de fase entre dos puntos desde un gráfico de desplazamiento–distancia, divide su separación por la longitud de onda y multiplica por $360°$ (o $2\pi$): dos puntos $0.50\ \text{m}$ apartados en una onda de longitud de onda $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) difieren en fase por $0.25 \times 360° = 90°$. Solo importa la fracción de ciclo, así que $450°$ es lo mismo que $90°$. Desde dos gráficos de desplazamiento–tiempo, lee el cambio de tiempo entre los picos como una fracción del período. ¿En qué dirección se mueve un punto en el instante que muestra el gráfico? Todo el perfil se mueve a lo largo, así que cada punto toma el desplazamiento que su vecino en el lado desde el que viene la onda tiene ahora; un punto en una cresta o un valle está momentáneamente en reposo.

Ejemplo resuelto. Los puntos R y T en una cuerda están separados $0.62\ \text{cm}$ y desfasados un cuarto de ciclo. La velocidad de la onda es $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Calcule la frecuencia.

Un cuarto de ciclo equivale a un cuarto de longitud de onda, por lo tanto $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ y $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

The wave equation

En un periodo $T$, la onda avanza una longitud de onda $\lambda$. Por tanto, la velocidad $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

Esto proviene directamente de las definiciones de velocidad, frecuencia y longitud de onda, y funciona para cada onda progresiva. Para la derivación de dos marcas escribe ambos pasos: en un período $T$ la onda recorre una longitud de onda $\lambda$, así que $v = \lambda / T$; y $f = 1/T$, así que $v = f\lambda$. Dado que $v$ está fijada por el medio, una mayor frecuencia significa una menor longitud de onda. Una pregunta sobre el período es la misma ecuación al revés: la luz de longitud de onda $460\ \text{nm}$ tiene $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ y $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.

Reading a CRO trace

Un osciloscopio de rayos catódicos (ORC) dibuja una señal de voltaje — por ejemplo, la salida de un micrófono para el sonido — contra el tiempo. Dos controles son importantes:

• base de tiempo (segundos por división horizontal): convierte la distancia horizontal en la pantalla en tiempo. Lea el período $T$ como la distancia entre dos picos consecutivos, luego $f = 1/T$.
• ganancia Y (voltios por división vertical): convierte la distancia vertical en voltaje. La amplitud en voltios es la altura máxima desde la línea central.

Si la base de tiempo es $5\ \text{ms}/\text{div}$ y un ciclo completo tarda $4$ divisiones, entonces $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ y $f = 50\ \text{Hz}$.

La base de tiempo es el tiempo representado por una división (o un centímetro) a través de la pantalla, en $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. Para ajustarla para una señal dada, trabaja hacia atrás: un sonido de $2000\ \text{Hz}$ tiene $T = 0.50\ \text{ms}$, así que para que un ciclo abarque $2.5\ \text{cm}$ la base de tiempo debe ser $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. Para la amplitud, multiplica la altura máxima en divisiones por la ganancia y: $2.0$ divisiones a $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ es $7.0\ \text{mV}$. Cuando la intensidad del sonido se reduce a una cuarta parte a la misma frecuencia, la traza mantiene su período y sus picos se reducen a la mitad en altura, porque $I \propto A^{2}$.

Intensity of a wave

Una onda transporta energía. La intensidad en un punto es la potencia que pasa a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de viaje:

Unit: $\text{W m}^{-2}$.

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud:

Para una fuente puntual que emite energía por igual en todas direcciones, los frentes de onda son esferas; el área superficial a una distancia $r$ es $4\pi r^{2}$, por lo tanto

Duplicar la distancia reduce la intensidad a una cuarta parte, lo que significa que la amplitud se reduce a la mitad (ya que $I \propto A^{2}$).

Ejemplo resuelto. Una lámpara emite $60\ \text{W}$ de luz uniformemente en todas direcciones. Calcule la intensidad de la luz a $2.0\ \text{m}$ de distancia.

Ejemplo resuelto. Luz de potencia $750\ \text{W}$ incide perpendicularmente sobre un panel solar cuadrado de lado $1.2\ \text{m}$. Calcule la intensidad.

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. Un panel más pequeño en la misma luz recibe la misma intensidad pero menos potencia, proporcional a su área. Al revés, una lupa de radio $r$ recoge una potencia $I \times \pi r^{2}$ y la concentra en un pequeño punto.

Dos reglas en las que se basan las preguntas de opción múltiple. Debido a $I \propto A^{2}$, la razón de dos intensidades es el cuadrado de la razón de las amplitudes: ondas de amplitud $3.0\ \text{cm}$ y $2.0\ \text{cm}$ tienen intensidades en la razón $2.25$, y cuando una amplitud cae a la mitad la intensidad cae a una cuarta parte. Para una fuente puntual, $I \propto 1/r^{2}$ significa $A \propto 1/r$, así que un boceto de $A/A_{0}$ frente a $d/x_{0}$ es una curva que cae como $1/d$, no una línea recta. La declaración de una línea que quiere el esquema: la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Ondas transversales

Las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección en la que viaja la energía. Una onda en una cuerda, todas las ondas electromagnéticas y las ondas S en la Tierra son transversales.

Longitudinal waves

Las partículas oscilan paralelamente a la dirección en la que viaja la energía. El sonido en cualquier medio, las ondas P en la Tierra y los compresores en un resorte largo son longitudinales. La onda está formada por compresiones (mayor presión, partículas juntas) y rarefacciones (menor presión, partículas separadas).

Graphs of waves

Un gráfico de desplazamiento de partícula contra posición en un momento dado parece una curva sinusoidal para ambos tipos de onda. La diferencia: para una onda transversal, el eje de desplazamiento es el desplazamiento lateral real; para una onda longitudinal, es el pequeño desplazamiento de ida y vuelta a lo largo de la dirección del viaje (positivo en una dirección, negativo en la otra).

Para una onda longitudinal toma el desplazamiento hacia la derecha como positivo. Donde el gráfico cruza cero yendo de positivo a negativo, las partículas a ambos lados se han movido hacia ese punto, así que es una compresión; donde cruza de negativo a positivo se han separado, una rarefacción. Dos compresiones vecinas están separadas por una longitud de onda, y una compresión y la siguiente rarefacción están separadas por media longitud de onda. La dirección de movimiento de una partícula sigue la misma regla que para una onda transversal: se mueve hacia el desplazamiento de su vecino en el lado desde el que viene la onda.

Un gráfico de desplazamiento de partícula frente al tiempo en un punto del espacio también es una curva sinusoidal para ambos tipos. Lea el periodo $T$ a partir de este gráfico.

La comparación de dos marcas, con referencia a la dirección de transferencia de energía: en una onda transversal las oscilaciones son perpendiculares a la dirección de transferencia de energía; en una onda longitudinal son paralelas a ella. Ambos tipos transfieren energía sin transferir materia, ambos pueden reflejarse, refractarse y difractarse, y ambos pueden formar ondas estacionarias (tema 8). Solo las ondas transversales pueden polarizarse, y solo las ondas electromagnéticas, que son todas transversales, pueden viajar a través del vacío; el sonido necesita un medio. Leyendo los dos gráficos juntos: el gráfico de desplazamiento–distancia da $\lambda$, el gráfico de desplazamiento–tiempo da $T$, y $v = \lambda / T$.

When the source of a sound moves relative to a stationary observer, the heard frequency is different from the source frequency. This is the Efecto Doppler.

• fuente moviéndose hacia el observador: los frentes de onda delante se comprimen, por lo que la longitud de onda es menor y la frecuencia percibida es mayor.
• fuente alejándose del observador: los frentes de onda detrás se dispersan, por lo que la longitud de onda es mayor y la frecuencia percibida es menor.

La fórmula (fuente moviéndose a velocidad $v_{\text{s}}$ a lo largo de la línea hacia el observador; velocidad de onda $v$, frecuencia de fuente $f_{\text{s}}$, frecuencia escuchada $f_{\text{o}}$):

Choose the sign to match the physics:

• signo menos en el denominador cuando la fuente se mueve hacia el observador ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• plus sign when the source moves away ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).

Solo necesita el caso de un observador estacionario.

Ejemplo resuelto. Una bocina de coche a $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ se mueve a $30\ \text{m s}^{-1}$ hacia un oyente quieto. Velocidad del sonido $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

Alejándose a la misma velocidad, el oyente escucha $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: la frecuencia es constante mientras el coche se acerca, disminuye al pasar, y es constante nuevamente, más baja, mientras se aleja. Un boceto de la frecuencia observada frente al tiempo para una fuente que pasa a velocidad constante son dos líneas niveladas unidas por una caída. Trabajando hacia atrás, una fuente de $1200\ \text{Hz}$ escuchada como $960\ \text{Hz}$ se está alejando ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ da $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. Un zumbador balanceado en un círculo horizontal a $25\ \text{m s}^{-1}$ mientras emite $846\ \text{Hz}$ se escucha entre $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (moviéndose directamente hacia away) y $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (moviéndose directamente hacia), una vez por revolución. Si el período de una traza de un osciloscopio de rayos catódicos del sonido aumenta continuamente, la frecuencia observada está cayendo: la fuente se está alejando con velocidad creciente. El efecto Doppler ocurre para todas las ondas, incluida la luz (tema 25); solo la fórmula del sonido se examina aquí.

Todas las ondas electromagnéticas (EM) son transversales y viajan en un vacío a la misma velocidad:

El electromagnetic spectrum includes radio waves, microwaves, infrared, visible light, ultraviolet, X-rays y $\gamma$-rays.

Rangos aproximados de longitudes de onda en el vacío (aprenda los órdenes de magnitud):

• radio waves: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (up to many km).
• microwaves: $10^{-3}\ \text{m}$ hasta $10^{-1}\ \text{m}$.
• infrared: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ hasta $10^{-3}\ \text{m}$.
• luz visible: $400\ \text{nm}$ (violeta) a $700\ \text{nm}$ (rojo), es decir, $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ a $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• ultraviolet: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ hasta $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• X-rays: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ hasta $10^{-8}\ \text{m}$.
• $\gamma$-rays: $< 10^{-11}\ \text{m}$.

Los límites entre regiones no son nítidos. Usa $c = f\lambda$ para cambiar entre longitud de onda y frecuencia. Solo la luz con longitudes de onda $400$–$700\ \text{nm}$ puede verse.

Para identificar una región, convierta a una longitud de onda con $\lambda = c / f$ y compare con los rangos: $2.1\ \text{cm}$ es una microonda; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ es un rayo X; $30\ \text{THz}$ da $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, infrarrojo; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ da $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ultravioleta. La luz visible abarca frecuencias de aproximadamente $4.3 \times 10^{14}$ a $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, por lo que una onda de $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ puede verse y una de longitud de onda $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (infrarroja) no. La luz roja tiene una longitud de onda más larga y una frecuencia más baja que la verde. Una lista "en orden de longitud de onda creciente" es: $\gamma$-rayos, rayos X, ultravioleta, visible, infrarrojo, microondas, ondas de radio. Un pulso de luz reflejado desde una pared a $150\ \text{m}$ de distancia regresa después de $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.

La polarización significa hacer que una onda transversal oscile en un solo plano.

• Solo las ondas transversales pueden ser polarizadas — la oscilación es perpendicular a la dirección de propagación, por lo que diferentes planos perpendiculares son opciones reales.
• Las ondas longitudinales (sonido) no pueden ser polarizadas — la oscilación está a lo largo de la dirección de propagación, por lo que no hay otro plano.

Por tanto, la polarización es una prueba: si una onda puede ser polarizada, debe ser transversal.

Malus's law

La luz planamente polarizada de intensidad $I_{0}$ pasa a través de un filtro polarizador cuyo eje de transmisión forma un ángulo $\theta$ con el plano de polarización. La intensidad transmitida está dada por la ley de Malus:

• $\theta = 0°$: filtro alineado con la polarización, $I = I_{0}$, todo pasa.
• $\theta = 90°$: filter at right angles, $I = 0$, all blocked.
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

Ejemplo resuelto. Luz plana polarizada de intensidad $12\ \text{W m}^{-2}$ encuentra un filtro polarizador cuyo eje está a $30°$ respecto al plano de polarización. Calcule la intensidad transmitida.

Para dos filtros en serie, usa la ley de Malus dos veces con el ángulo entre cada par. Ten cuidado con el ángulo cada vez — después del primer filtro la polarización está a lo largo del eje de ese filtro, y el ángulo del segundo filtro se mide desde allí.

(No necesita calcular el efecto de un filtro polarizador sobre una onda no polarizada.)

Cuando un filtro se gira $360°$ frente a luz polarizada en un plano, la intensidad transmitida varía según $\cos^{2}\theta$: es máxima cuando el eje de transmisión es paralelo al plano de polarización ($0°$ y $180°$), cero cuando es perpendicular ($90°$ y $270°$) y nunca negativa. Dado que $I \propto A^{2}$, la amplitud transmitida es $A_{0}\cos\theta$: a $45°$ la intensidad se reduce a la mitad y la amplitud disminuye a $0.71$ de su valor. Para dos filtros, el primero establece el plano de polarización a lo largo de su propio eje, por lo que el ángulo del segundo filtro se mide desde ese eje: la luz polarizada verticalmente que pasa por filtros en $50°$ y luego en $80°$ respecto a la vertical mantiene $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ de su intensidad. Las definiciones de un punto: la polarización es la oscilación de una onda transversal en un único plano, que contiene la dirección de propagación; el sonido no puede polarizarse porque sus oscilaciones son a lo largo de la dirección de propagación, por lo que no hay ningún plano que seleccionar.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Defina los términos con precisión (desplazamiento, amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia) y utilice $v = f\lambda$.
• Distinga entre transversal (vibración perpendicular a la propagación) y longitudinal (paralela); solo las ondas transversales pueden ser polarizadas.
• Para el efecto Doppler, la frecuencia observada aumenta a medida que la fuente se acerca y disminuye a medida que se aleja.
• Aprenda el orden del espectro electromagnético; todas sus ondas viajan a $c$ en el vacío.

Errores comunes

• Una diferencia de fase mayor que un ciclo, o grados donde se pedían radianes. Solo importa la fracción de ciclo: $450°$ equivale a $90°$, y $90°$ es $\pi/2$.
• Leer la longitud de onda de una gráfica de desplazamiento–tiempo. Esa gráfica proporciona el periodo; la longitud de onda se obtiene de la gráfica de desplazamiento–distancia.
• Duplicar la amplitud y "duplicar" la intensidad. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud: cuatro veces mayor.
• Elegir el signo del efecto Doppler intuitivamente. Acercarse significa menos en el denominador (frecuencia aumenta); alejarse significa más (frecuencia disminuye). Verifique que la respuesta se encuentre en el lado correcto respecto a $f_{\text{s}}$.
• Usar el ángulo del primer filtro para el segundo. Tras pasar por un filtro, la luz está polarizada a lo largo del eje de dicho filtro, y el siguiente ángulo se mide desde esa dirección.
• Afirmar que el sonido puede polarizarse. Solo las ondas transversales pueden ser polarizadas.