Oscilaciones

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple 简谐运动 (SHM) cuando su aceleración 加速度 es:

• proporcional a su desplazamiento desde un punto de equilibrio 平衡 fijo, y
• dirigida hacia ese punto — de signo opuesto al desplazamiento.

La ecuación definitoria es

donde $x$ es el desplazamiento 位移 desde el equilibrio y $\omega$ es una constante positiva, la frecuencia angular 角频率. El signo menos indica "dirigida hacia el equilibrio".

La definición de dos puntos. El movimiento armónico simple es aquel en el que la aceleración es proporcional al desplazamiento desde un punto fijo y siempre está dirigida hacia ese punto (en dirección opuesta al desplazamiento). Ambas partes son necesarias. "La importancia del signo menos": la aceleración tiene la dirección opuesta al desplazamiento — siempre hacia la posición de equilibrio. "Indique qué significa la frecuencia de las oscilaciones": el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo.

Muchos sistemas realizan este tipo de movimiento cerca de un equilibrio estable: una masa en un resorte 弹簧, un péndulo 单摆 (oscilación pequeña), un bloque flotante empujado hacia abajo, la carga en un condensador 电容器 en un circuito LC, los átomos en un sólido.

Key terms

• desplazamiento $x$ — distancia desde la posición de equilibrio en un momento dado (un vector a lo largo de la línea de movimiento).
• amplitud $x_{0}$ — el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio. Siempre es positiva.
• período $T$ — el tiempo necesario para completar una oscilación completa.
• frecuencia $f$ — el número de oscilaciones por segundo; $f = 1/T$. Unidad: Hz.
• frecuencia angular $\omega$ — $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$. Unidad: $\text{rad s}^{-1}$.
• diferencia de fase 相位差 — la fracción de un ciclo (en radianes) por la cual una oscilación adelanta o retrasa a otra. Una separación de un cuarto de ciclo corresponde a una diferencia de fase de $\pi/2$.

Así $T = 2\pi/\omega$ y $f = \omega/(2\pi)$ — dado cualquiera de $\omega$, $f$, $T$ puedes encontrar los otros.

Ejemplo resuelto. Una masa en un muelle oscila con MHS de amplitud $0.050\ \text{m}$ y frecuencia $2.5\ \text{Hz}$. Encuentra su aceleración máxima.

La frecuencia angular es $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. La aceleración es máxima en los extremos, donde $|a| = \omega^{2}x_{0}$:

Demostrar que un movimiento es armónico simple

La derivación favorita de cuatro puntos del examen, y la receta es siempre la misma: (1) desplazar el objeto $x$ desde la posición de equilibrio; (2) encontrar la fuerza restaurante resultante, que resulta ser $F = -(\text{constant}) \times x$; (3) aplicar la segunda ley de Newton, $a = F/m = -(\text{constant}/m)\,x$; (4) esto tiene la forma $a = -\omega^{2}x$, por lo que el movimiento es armónico simple con $\omega^{2} = \text{constant}/m$, y $T = 2\pi/\omega$. Explica en palabras por qué la fuerza apunta hacia la posición de equilibrio y por qué es proporcional a $x$ — esos son los puntos, no el álgebra.

Ejemplo resuelto. Una masa $m$ cuelga de un muelle con constante elástica $k$. Demuestra que, al desplazarlo y soltarlo, se mueve con movimiento armónico simple, y encuentra el período.

En el equilibrio, la tensión del resorte equilibra al peso. Desplace la masa una distancia $x$ hacia abajo: la tensión aumenta en $kx$ (Ley de Hooke), por lo que hay una fuerza resultante $kx$ hacia arriba, en dirección al equilibrio. Segunda ley de Newton: $a = -\dfrac{k}{m}x$. Esto es $a = -\omega^{2}x$ con $\omega^{2} = k/m$, así que el movimiento es armónico simple y $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$. (Un carrito sujeto entre dos resortes idénticos tiene a ambos jalándolo de vuelta, $F = -2kx$, por lo que $\omega^{2} = 2k/m$.)

Ejemplo resuelto. Un bloque prismático rectangular con área transversal $A$ y masa $m$ flota en un líquido de densidad $\rho$ con su base a una profundidad $h$ bajo la superficie. Se empuja hacia abajo una pequeña distancia $x$ y se suelta. Demuestre que oscila con movimiento armónico simple y encuentre el periodo en términos de $h$ y $g$.

Cuando el bloque se empuja hacia abajo una distancia $x$, un volumen adicional $Ax$ queda sumergido, por lo que el empuje hidrostático aumenta en el peso de ese líquido extra, $\rho g A x$; esta fuerza adicional actúa hacia arriba, en dirección a la posición de equilibrio. Por tanto, $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$: proporcional a $x$ y opuesta en dirección, así que el movimiento es armónico simple con $\omega^{2} = \rho g A/m$. En el equilibrio, el empuje sobre el volumen sumergido $Ah$ iguala al peso, $\rho g A h = mg$, por lo que $m = \rho A h$ y $\omega^{2} = g/h$: $T = 2\pi\sqrt{h/g}$ — la misma forma que un péndulo de longitud $h$.

Ejemplo resuelto. Un tubo en U de área transversal $A$ contiene líquido de densidad $\rho$; la columna en cada brazo tiene longitud $L$. El líquido se desplaza de modo que una superficie queda $x$ por encima de su nivel de equilibrio y la otra $x$ por debajo. Demuestre que el líquido oscila con movimiento armónico simple.

Las dos superficies ahora difieren en altura en $2x$, por lo que una columna de líquido de altura $2x$ queda desequilibrada: la fuerza restauradora sobre el líquido es el peso de esa columna, $2x\rho g A$, dirigida para igualar las superficies. La masa que se mueve es todo el líquido, $2L\rho A$. Por tanto $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$: armónico simple, con $\omega^{2} = g/L$ y $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Nótese que $\rho$ y $A$ se cancelan —el periodo no depende ni del líquido ni del tubo.

Si la partícula comienza en $x = 0$ moviéndose en dirección positiva en $t = 0$, entonces

Derivando una vez se obtiene la velocidad 速度:

donde $v_{0} = x_{0} \omega$ es la velocidad máxima (cuando la partícula pasa por el equilibrio).

Derivando nuevamente se obtiene la aceleración:

que es nuevamente la ecuación definitoria del MAS. (Si la partícula en cambio comienza en la posición extrema $x = x_{0}$ en $t = 0$, utilice $x = x_{0} \cos(\omega t)$. Elija la que se ajuste a las condiciones iniciales.)

Velocidad en función del desplazamiento

Una relación útil que no usa el tiempo:

• en el equilibrio ($x = 0$): $v = \pm \omega x_{0}$ (velocidad máxima). Ambos signos, porque la partícula pasa por el equilibrio dos veces por ciclo.
• en los extremos ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$ (en reposo por un instante).

Ejemplo resuelto. La misma oscilación tiene amplitud $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ y frecuencia angular $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Encuentre la velocidad cuando el desplazamiento es $x = 0.030\ \text{m}$.

Lectura de la gráfica $v$–$x$. Su anchura da la amplitud ($x = \pm x_{0}$ donde $v = 0$) y su altura la velocidad máxima ($v = \pm\omega x_{0}$ en $x = 0$), por lo tanto $\omega = v_{0}/x_{0}$ y el periodo se sigue. Se le pide dibujar $a$ contra $x$ en los mismos ejes; dibuje la línea recta que pasa por el origen con pendiente negativa $-\omega^{2}$, alcanzando $\mp\omega^{2}x_{0}$ en $x = \pm x_{0}$.

Ejemplo resuelto. La velocidad de un bloque oscilante varía con el tiempo según $v = 0.56\sin(5.1t)$, con $v$ en $\text{m s}^{-1}$ y $t$ en segundos. Encuentre la amplitud, el periodo y la aceleración máxima.

Compare con $v = v_{0}\sin\omega t$: $v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$ y $\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$. Dado que $v_{0} = \omega x_{0}$, la amplitud es $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$; $T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$. (Puesto que este $v$ es una seno, el bloque se encontraba en un extremo en $t = 0$: su desplazamiento es una coseno).

MHS como sombra del movimiento circular. Una bola que se mueve alrededor de un círculo de radio $R$ a velocidad angular $\omega$, iluminada desde un costado, proyecta una sombra que se desplaza de ida y vuelta con movimiento armónico simple de amplitud $R$ y la misma $\omega$: el desplazamiento de la sombra es $x = R\cos\omega t$ (si comienza en un extremo), su velocidad máxima es $R\omega$ y su aceleración máxima $R\omega^{2}$. Para un círculo de diámetro $0.46\ \text{m}$ y $\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$, la sombra tiene amplitud $0.23\ \text{m}$, $v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$ y $a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$ —mayor en tamaño en los dos extremos de su trayecto y siempre dirigida hacia el centro.

Gráficas frente al tiempo

Para $x = x_{0}\sin\omega t$:

• $x$ vs $t$ — una curva seno, amplitud $x_{0}$, periodo $T = 2\pi/\omega$.
• $v$ vs $t$ — una curva coseno, adelantando $x$ en $\pi/2$, amplitud $\omega x_{0}$.
• $a$ vs $t$ — una curva seno negativa, fuera de fase con $x$ en $\pi$ (180°), amplitud $\omega^{2} x_{0}$.

Gráfica de $a$ frente a $x$

Una línea recta que pasa por el origen con pendiente negativa $-\omega^{2}$. Así puedes leer $\omega$ de la gráfica: pendiente $= -\omega^{2}$, por lo tanto $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$, entonces $T = 2\pi / \omega$. Este es un patrón común en exámenes.

Ejemplo resuelto. Una gráfica de la altura $h$ de un objeto de masa $36\ \text{kg}$ que realiza un movimiento armónico simple vertical muestra $h$ variando entre $2\ \text{m}$ y $10\ \text{m}$, con una oscilación completa cada $4.0\ \text{s}$. Encuentre la amplitud, la frecuencia angular, la velocidad máxima, la aceleración máxima y la energía cinética máxima.

Amplitud $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$ (la mitad del rango pico a pico; la altura de equilibrio es $6\ \text{m}$). $\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$. $v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$; $E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$. Leer la amplitud como el rango de altura completo en lugar de la mitad es el error más común aquí.

Ejemplo resuelto. Un pequeño objeto descansa sobre una plataforma horizontal que oscila verticalmente con movimiento armónico simple de amplitud $6.0\ \text{mm}$. Encuentre la frecuencia más alta a la cual el objeto permanece en contacto con la plataforma durante todo el movimiento, e indique dónde en el movimiento se pierde primero el contacto.

El objeto abandona la plataforma cuando la aceleración descendente de la plataforma supera $g$ —en la parte superior de la oscilación, donde la aceleración es mayor y dirigida hacia abajo: la plataforma entonces cae más rápido de lo que el objeto puede seguir. El límite es $\omega^{2}x_{0} = g$: $\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$, por lo tanto $f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$. Por debajo de esto, la fuerza de contacto normal en la parte superior es pequeña pero positiva; por encima de ella, cero.

Un oscilador armónico simple intercambia continuamente energía entre dos formas:

• energía cinética 动能 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$.
• energía potencial $E_{\text{P}}$ (elástica para un resorte, gravitacional para un péndulo).

Sin amortiguación 阻尼, la energía total es constante (esto es conservación de la energía 能量守恒).

Máximo y mínimo

• en el equilibrio ($x = 0$): $v$ es máximo, por lo tanto $E_{\text{K}}$ es máximo y $E_{\text{P}}$ es mínimo (cero, por elección).
• en los extremos ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$, por lo tanto $E_{\text{K}} = 0$ y $E_{\text{P}}$ es máximo.

Energía total

Usando $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Dos hechos clave: la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud (duplicar $x_{0}$ da cuatro veces la energía) y a $\omega^{2}$.

Energía frente al desplazamiento

Usando $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$:

Así, $E_{\text{K}}$ es una parábola hacia abajo (pico en $x = 0$, cero en $x = \pm x_{0}$) y $E_{\text{P}}$ es una parábola hacia arriba (cero en $x = 0$, máximo en $x = \pm x_{0}$). Su suma es constante.

Ejemplo resuelto. Una masa $0.20\ \text{kg}$ oscila con amplitud $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ y frecuencia angular $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Calcule la energía total de la oscilación.

La energía total es igual a la energía cinética máxima, ya que la masa pasa por $x = 0$ en $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Esto permanece constante, intercambiándose entre forma cinética y potencial dos veces por ciclo.

Describiendo el intercambio sin cálculo. En un extremo del movimiento, el oscilador está momentáneamente en reposo: su energía cinética es cero y su energía potencial es máxima. Al moverse hacia el equilibrio, la fuerza restauradora realiza trabajo sobre él, por lo que la energía potencial se convierte en energía cinética; en la posición de equilibrio, la energía cinética es máxima y la potencial mínima. Más allá de ella, la energía cinética se convierte nuevamente en potencial hasta el otro extremo. La energía total permanece constante, y el intercambio ocurre dos veces por oscilación, por lo que las gráficas de energía contra tiempo tienen el doble de frecuencia que la gráfica de desplazamiento.

Ejemplo resuelto. Un péndulo de masa $0.81\ \text{kg}$ oscila con pequeñas oscilaciones de amplitud $32\ \text{mm}$ y periodo $1.9\ \text{s}$. Calcule la energía total de la oscilación y indique qué sucede si la amplitud disminuye a $16\ \text{mm}$.

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$; $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Reducir la amplitud a la mitad reduce la energía a un cuarto ($E \propto x_{0}^{2}$), a $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$; la diferencia se ha disipado como energía térmica por resistencia del aire.

Una fuerza resistiva (fricción 摩擦力, arrastre 阻力, resistencia del aire 空气阻力) causa amortiguamiento: la amplitud disminuye con el tiempo a medida que se pierde energía en forma de calor. Tres casos nombrados:

Amortiguamiento ligero

La amplitud disminuye lentamente durante muchos ciclos (un caso de amortiguamiento ligero 轻阻尼). El sistema sigue oscilando cerca de su frecuencia natural, pero cada ciclo es más pequeño que el anterior. La suspensión de un automóvil tiene amortiguamiento ligero a medio, por lo que los baches desaparecen pero la marcha se mantiene suave.

Amortiguamiento crítico

El menor amortiguamiento que devuelve el sistema al equilibrio sin sobrepasar y sin oscilar — un caso de amortiguamiento crítico 临界阻尼. Regresa en el menor tiempo posible. Un galvanómetro 检流计 o un voltímetro analógico 电压表 está críticamente amortiguado para que la aguja se asiente rápidamente.

Amortiguamiento fuerte

Tanta resistencia que el sistema regresa lentamente, sin oscilación, pero más despacio que en el caso crítico — un caso de amortiguamiento fuerte 过阻尼. Una puerta con un cierre fuerte tiene amortiguamiento fuerte.

En una gráfica de desplazamiento-tiempo: el amortiguamiento ligero es una onda cuyo tamaño disminuye suavemente; el amortiguamiento crítico regresa rápido sin sobrepaso; el amortiguamiento fuerte regresa lentamente.

Según lo que pide el examen. Amortiguamiento es la disminución de la amplitud de una oscilación causada por una fuerza resistiva que disipa la energía del oscilador. En amortiguamiento ligero, el sistema oscila con una amplitud que disminuye gradualmente (exponencialmente) con el tiempo; el periodo es casi inalterado. En amortiguamiento crítico, el sistema retorna al equilibrio en el tiempo mínimo posible sin oscilar. En amortiguamiento fuerte, retorna al equilibrio lentamente, sin oscilar. Al dibujarlos: la curva de amortiguamiento ligero es una onda senoidal dentro de una envolvente decreciente; las curvas crítica y fuerte caen a cero sin cruzar el eje, siendo la fuerte más lenta.

Ejemplo resuelto. Una barra magnética cuelga de un resorte con un polo dentro de una bobina conectada, a través de un interruptor, a una resistencia. Se hace oscilar el imán. Explique por qué las oscilaciones se atenúan más rápido cuando se cierra el interruptor.

El imán en movimiento cambia el flujo magnético que enlaza la bobina, por lo que se induce una f.e.m. (ley de Faraday); con el interruptor cerrado, circula una corriente por la resistencia y disipa energía en forma de calor. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone al movimiento del imán —una fuerza resistiva adicional. Esa energía proviene de la oscilación, por lo que la amplitud disminuye más rápido: el circuito añade amortiguamiento. Con el interruptor abierto hay una f.e.m. pero no corriente, por lo que no hay pérdida de energía adicional.

Una oscilación forzada 受迫振动 es impulsada por una fuerza periódica externa a una frecuencia $f_{\text{d}}$ elegida por el experimentador. El sistema entonces oscila a esa frecuencia de accionamiento 驱动频率 $f_{\text{d}}$, no a su propia frecuencia natural. Una gráfica de amplitud contra $f_{\text{d}}$ es una curva de resonancia 共振曲线 con un pico.

Resonancia

La resonancia 共振 ocurre cuando la frecuencia de accionamiento es igual a la frecuencia natural 固有频率 $f_{0}$ del sistema. En resonancia, la amplitud es mayor y la transferencia de energía desde el accionador es más eficiente.

Ejemplos:

• un columpio empujado a la velocidad adecuada acumula gran amplitud.
• un vaso de vino roto por un sonido a su frecuencia de resonancia.
• un edificio sacudido por un terremoto cuya frecuencia coincide con una frecuencia natural — los ingenieros diseñan edificios para que sus frecuencias naturales eviten el rango principal de terremotos.

La forma del pico depende del amortiguamiento: menor amortiguamiento → un pico más agudo y alto; mayor amortiguamiento → un pico más ancho y bajo, desplazado ligeramente hacia frecuencias menores.

La definición de dos partes. La resonancia es la condición en la que un sistema se fuerza a oscilar a su frecuencia natural, y la amplitud de la oscilación es máxima (la transferencia de energía desde el generador es máxima). Ambas partes —frecuencia de impulsión igual a la frecuencia natural, y amplitud máxima— son necesarias.

Ejemplo resuelto. Una bola sobre una cuerda tensa tiene una frecuencia natural de $4.0\ \text{Hz}$. La cuerda es impulsada por un generador de vibraciones cuya frecuencia aumenta lentamente desde $0$ hasta $10\ \text{Hz}$. Dibuje la variación de la amplitud de la bola con respecto a la frecuencia de impulsión, e indique el efecto de añadir amortiguamiento.

La curva comienza con una amplitud pequeña pero no nula a baja frecuencia, sube hasta un pico agudo en $4.0\ \text{Hz}$, y disminuye hacia cero a alta frecuencia; el pico está en la frecuencia natural, y solo allí la amplitud es máxima. Más amortiguamiento hace que el pico sea más bajo y ancho y lo desplaza ligeramente hacia una frecuencia menor; la amplitud lejos de la resonancia apenas cambia.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• La condición del MAS es $a = -\omega^2 x$ (aceleración proporcional al desplazamiento, dirigida de vuelta al equilibrio); para demostrar que un movimiento es MAS, encuentre la fuerza restauradora, demuestre que es proporcional a $x$ y está dirigida de vuelta, y lea $\omega^{2}$.
• Aprenda $x = x_0\sin\omega t$ (o cos), $v_{max} = \omega x_0$, $a_{max} = \omega^2 x_0$ y $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$; la KE y la PE se intercalan con la energía total constante, $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$.
• La velocidad es cero en los extremos y máxima en el centro; la aceleración es mayor en los extremos y cero en el centro.
• La amplitud es mitad del rango de pico a pico de una gráfica de desplazamiento; $\omega$ se obtiene del periodo, o de la pendiente de $a$–$x$, o de $v_{0}/x_{0}$.
• La resonancia ocurre cuando la frecuencia de impulsión es igual a la frecuencia natural; el amortiguamiento reduce y ensancha el pico.

Errores comunes

• Definir el MAS como "oscilación alrededor de una posición de equilibrio". El baremo quiere aceleración proporcional al desplazamiento y dirigida hacia el punto fijo.
• Decir que el signo menos significa que la aceleración es negativa. Significa que la aceleración es opuesta en dirección al desplazamiento.
• Dibujar $v$ frente a $x$ como una línea recta. Es una elipse; $a$ frente a $x$ es la línea recta.
• Tomar la amplitud como todo el rango del desplazamiento. Es la mitad del rango.
• Definir la resonancia como "una gran amplitud". Es oscilación forzada a la frecuencia natural, que produce amplitud máxima.
• Llamar amortiguamiento crítico a "sin amortiguamiento", o amortiguamiento pesado a "el retorno más rápido". El amortiguamiento crítico es el retorno más rápido sin oscilar; el amortiguamiento pesado es más lento.