Campos eléctricos

Un campo eléctrico 电场 es una región donde una carga siente una fuerza 力 de otras cargas. La intensidad del campo eléctrico 电场强度 $E$ en un punto es la fuerza por unidad de carga positiva sobre una pequeña carga de prueba 检验电荷 colocada allí:

Unidad: $\text{N C}^{-1}$ (la misma que $\text{V m}^{-1}$, como veremos). $E$ es un vector 矢量, apuntando en la dirección en que actúa la fuerza sobre una carga positiva. La fuerza sobre una carga $q$ es

opposite to the field if $q$ is negative.

La definición de dos puntos. La intensidad del campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga positiva actuando sobre una pequeña (de prueba) carga colocada en ese punto. Tres palabras llevan los puntos: fuerza por unidad de carga (no "fuerza sobre una carga"), positiva (que fija la dirección), y pequeña o de prueba (para que la carga no perturbe el campo que está midiendo). La versión de opción múltiple ofrece "fuerza por unidad de carga actuando sobre una pequeña masa" y "fuerza por unidad de masa" como distractores: un campo se define por una carga, nunca por una masa.

Ejemplo resuelto. Un protón se acelera a $2.00\ \text{m s}^{-2}$ en un campo eléctrico, sin otras fuerzas actuando. Hallar la intensidad del campo. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

$qE = ma$, por lo tanto

La misma rearrangement al revés da la aceleración de un electrón en un campo de $1500\ \text{V m}^{-1}$: $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, enorme porque la masa del electrón es tan pequeña. La gravedad ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) es insignificante comparada con ella, por lo que las preguntas de examen sobre electrones entre placas ignoran el peso.

Líneas de campo

• líneas de campo 场线 indican la dirección en la que actúa la fuerza sobre una carga de prueba positiva.

• las líneas comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas (o se extienden hasta el infinito).

• las líneas nunca se cruzan; las líneas más juntas indican un campo más intenso.

• cada línea lleva una flecha; las líneas inciden perpendicularmente sobre la superficie de un conductor.

Lo que representa una línea de campo. Si te preguntan "indica qué representa una línea de campo eléctrico", da ambas mitades: su dirección muestra la dirección de la fuerza sobre una carga positiva colocada allí, y la separación de las líneas muestra la intensidad del campo (líneas más juntas, campo más fuerte). Un dibujo se evalúa exactamente en estos puntos: flechas dibujadas, líneas que no se cruzan, espaciado uniforme donde el campo es uniforme, y líneas radiales para una carga puntual o una esfera.

Ejemplos: una carga puntual 点电荷 positiva tiene líneas radiales apuntando hacia afuera; una negativa tiene líneas apuntando hacia adentro; dos cargas opuestas (un dipolo 偶极子) tienen líneas curvas desde + a −; dos placas cargadas paralelas producen un campo uniforme 匀强场 de líneas paralelas igualmente espaciadas.

A charged conducting sphere

La carga en un conductor conductor aislado 孤立的 se sitúa en su superficie exterior, distribuida uniformemente cuando la esfera está sola. Fuera de la esfera, las líneas de campo son radiales, espaciadas uniformemente y dirigidas hacia afuera (para carga positiva), siguiendo exactamente el patrón de una carga puntual en el centro. Dentro de un conductor hueco (o sólido) el campo es cero: los campos de todas las cargas superficiales se cancelan en todas partes en el interior, por lo que ninguna línea de campo entra. Se presentan dos gráficos, ambos favoritos en los exámenes. La intensidad del campo $E$ es cero hasta el radio $R$, salta a su valor superficial $E_0$ y luego disminuye como $1/r^{2}$; el potencial $V$ es constante en el interior (un campo cero implica un gradiente de potencial cero) y luego disminuye como $1/r$.

Lectura de los gráficos. Dado un gráfico $E$–$x$ para una esfera cargada, el radio es la distancia a la cual $E$ salta de cero, y la carga se obtiene de cualquier punto de la curva: $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. Dado "$E_0$ en la superficie", el valor en $2R$ es $E_0/4$ y en $3R$ es $E_0/9$: dibuje la curva pasando por esos puntos, comenzando en $E_0$ sobre la línea de la superficie, nunca desde el origen.

Entre dos placas paralelas separadas una distancia $d$ con una diferencia de potencial 电势差 $V$ entre ellas, el campo es uniforme (excepto por los efectos de borde) con magnitud

Apunta desde la placa de mayor potencial a la de menor potencial. La unidad $\text{V m}^{-1}$ proviene directamente de esto e iguala a $\text{N C}^{-1}$.

Ejemplo resuelto. Dos placas paralelas separadas $5.0\ \text{mm}$ tienen una d.p. de $200\ \text{V}$ entre ellas. Calcule la intensidad del campo y la fuerza sobre un electrón en el espacio intermedio. ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

¿Qué cambia el campo? Solo dos cosas: $E = V/d$ aumenta si la d.p. se incrementa o si las placas se acercan más. Una resistencia en serie con la fuente no cambia nada: no circula corriente una vez que las placas están cargadas, por lo que no hay d.p. en la resistencia y las placas se encuentran al voltaje completo de la fuente. Entre placas a $+800\ \text{V}$ y $+1300\ \text{V}$, el campo apunta desde el potencial mayor al menor; dos potenciales positivos no cambian nada respecto a la regla de dirección.

A charged particle in a uniform field

Una carga $q$ en un campo uniforme siente una fuerza constante $F = qE$, por lo tanto una aceleración constante $a = qE/m$ — similar a una masa en un campo gravitatorio uniforme.

• liberada en reposo, aumenta su velocidad a lo largo del campo (carga positiva) o en contra de él (carga negativa), ganando energía cinética 动能.
• entrando perpendicularmente al campo, sigue una trayectoria parabólica 抛物线 — como un proyectil 抛体 bajo la gravedad. Así funcionaba un tubo de rayos catódicos 阴极射线管 para dirigir su haz.

Dos fuerzas, no una. Una gota de aceite cargada "mantenida estacionaria" entre placas horizontales es el equilibrio equilibrio 平衡 favorito de los exámenes: actúan ambas una fuerza eléctrica y su peso (el distractor de opción múltiple es "solo fuerza eléctrica"), y son iguales y opuestas. Para una gota negativa, la fuerza eléctrica es opuesta al campo, por lo que la placa superior debe ser positiva para sostenerla.

Ejemplo resuelto. Una gota de aceite de masa $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ lleva una carga de $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ y se mantiene estacionaria en el vacío entre placas horizontales separadas $2.0\ \text{cm}$. Calcule la d.p. entre las placas y diga cuál placa es positiva.

La gota es negativa, por lo que la fuerza sobre ella va contra el campo; para que la fuerza sea hacia arriba, el campo debe apuntar hacia abajo, por lo que la placa superior es positiva. Nótese que la carga es $3e$, tres electrones en exceso, lo cual mostró Millikan que la carga viene en múltiplos de $e$.

Ejemplo resuelto. Dos placas paralelas en el vacío están separadas $0.041\ \text{m}$ con una d.p. de $250\ \text{V}$ entre ellas. Un electrón se libera desde el reposo en la placa negativa. Encuentre (a) la intensidad del campo, (b) la fuerza sobre el electrón y su aceleración, (c) el tiempo que tarda en llegar a la placa positiva, (d) su energía cinética al llegar. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

(a) $E = V/d = 250/0.041 = 6.1 \times 10^{3}\ \text{V m}^{-1}$. (b) $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(6.1 \times 10^{3}) = 9.8 \times 10^{-16}\ \text{N}$; $a = F/m_{\text{e}} = 1.07 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, towards the positive plate. (c) From rest with constant acceleration, $d = \tfrac{1}{2} a t^{2}$, so $t = \sqrt{2d/a} = \sqrt{2 \times 0.041 / (1.07 \times 10^{15})} = 8.8 \times 10^{-9}\ \text{s}$. (d) Energy method, no kinematics needed: $E_{\text{k}} = qV = (1.60 \times 10^{-19})(250) = 4.0 \times 10^{-17}\ \text{J}$, so $v = \sqrt{2E_{\text{k}}/m_{\text{e}}} = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. (Check: $v = at = (1.07 \times 10^{15})(8.8 \times 10^{-9}) = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.)

Ejemplo resuelto (desviación). Un electrón que viaja horizontalmente a $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ entra en el campo entre dos placas horizontales separadas $18\ \text{mm}$ con una d.p. de $400\ \text{V}$. Las placas tienen una longitud de $30\ \text{mm}$. Calcule la desviación 偏转 del electrón para cuando sale del campo.

El movimiento horizontal no se ve afectado: el tiempo en el campo $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. Verticalmente, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, por lo que la desviación es $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, menor que la mitad de la separación de $9\ \text{mm}$, por lo que el electrón sí sale del campo. Su velocidad vertical a la salida es $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, por lo que sale con un ángulo de $\tan\theta = 5.9/20$, aproximadamente $16°$; la trayectoria es una parábola, y después de las placas (sin campo) viaja en línea recta en la dirección que tenía a la salida.

Para dos cargas puntuales $Q_{1}$ y $Q_{2}$ separadas una distancia $r$ en el vacío, cada una siente una fuerza de magnitud

Esta es la ley de Coulomb 库仑定律. Aquí $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ es la permitividad del vacío 真空电容率, y $1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. La fuerza está a lo largo de la línea que une las cargas: repulsiva para cargas iguales, atractiva para cargas opuestas.

Enunciar la ley en palabras. "Enuncie la ley de Coulomb" pide una frase, no una fórmula: la fuerza (eléctrica) entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de su separación. Ambas proporcionalidades son necesarias, y las cargas deben ser puntuales (o esferas tratadas como cargas puntuales en sus centros) en el vacío.

Ejemplo resuelto. Hallar la fuerza electrostática entre cargas puntuales de $+2.0\ \text{nC}$ y $+3.0\ \text{nC}$ colocadas a una distancia $4.0\ \text{cm}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

Ejemplo resuelto. En un átomo de hidrógeno, el protón y el electrón pueden tratarse como cargas puntuales separadas $120\ \text{pm}$. Encuentre la fuerza eléctrica entre ellos y compárela con su atracción gravitatoria. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Gravedad: $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, aproximadamente $10^{39}$ times smaller. Inside atoms, gravity is irrelevant.

Ejemplo resuelto. Dos gotas de aceite idénticas en el vacío tienen sus centros separados $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$. Cada una lleva la misma carga, y se repelen con una fuerza de $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$. Encuentre la carga en cada gota y el número de electrones en exceso que lleva.

eso equivale a $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ electrones. Objetos idénticos con el mismo signo de carga siempre se repelen; no escribir "atraer" para la dirección.

Ejemplo resuelto. Una esfera cargada X está fija en un soporte aislante. Una segunda esfera Y, de masa $2.0\ \text{g}$, cuelga junto a ella en un hilo aislante y se asienta en equilibrio con el hilo formando un ángulo de $12°$ con la vertical, estando su centro a $5.0\ \text{cm}$ del centro de X al mismo nivel horizontal. Encuentre la fuerza eléctrica sobre Y y, si las esferas llevan cargas iguales, la carga en cada una.

Tres fuerzas actúan sobre Y: su peso $mg$ (hacia abajo), la tensión 张力 $T$ (a lo largo del hilo) y la fuerza eléctrica $F$ (horizontal, alejándose de X porque las cargas iguales se repelen). Resolviendo, $T\cos\theta = mg$ y $T\sin\theta = F$, por lo tanto

Entonces $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ da $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. Un triángulo vectorial cerrado de las tres fuerzas es un método igualmente válido; el examen acepta cualquiera, pero debe mostrar todas las tres fuerzas.

Ejemplo resuelto (helio). Un átomo de helio puede modelarse como un núcleo de carga $+2e$ con dos electrones en órbitas circulares diametralmente opuestas de radio $170\ \text{pm}$. Hallar la fuerza resultante 合力 sobre un electrón, y de ahí su velocidad orbital.

Dos fuerzas actúan sobre el electrón: atracción hacia el núcleo, a distancia $r$, y repulsión del otro electrón, a distancia $2r$ en el lado opuesto:

hacia el núcleo. Esta resultante es la fuerza centrípeta, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, por lo tanto $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. La trampa es olvidar el segundo electrón, o colocarlo a una distancia $r$ en lugar de $2r$.

Spheres treated as point charges

Un conductor esférico con carga total $Q$ da, en cualquier punto exterior, el mismo campo que una carga puntual $Q$ en su centro (mida $r$ desde el centro). Dentro de un conductor cargado hueco el campo es cero, por lo que el conductor es una superficie equipotencial 等势面.

La ley de Coulomb da la fuerza entre dos cargas. Divídala por la carga de prueba ($E = F/q$) y le queda solo el campo de la carga fuente $Q$. El campo a distancia $r$ de una carga puntual $Q$ es

Apunta hacia afuera desde una positiva $Q$, hacia adentro desde una negativa $Q$, y decrece como $1/r^{2}$ — justo como la intensidad del campo gravitatorio 重力场, excepto que la gravedad es siempre atractiva. Para varias cargas, sumar los campos como una suma vectorial 矢量和.

Ejemplo resuelto. La Tierra puede tratarse como una esfera conductora uniforme de radio $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ que lleva una carga total de $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$ distribuida en su superficie. Encuentre la intensidad del campo eléctrico en la superficie y compárela con la intensidad del campo gravitatorio allí. ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)

dirigido hacia el centro (la carga es negativa). Gravedad: $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, por lo tanto $E/g \approx 11$; en símbolos $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, lo que muestra que la razón depende solo de la relación carga-masa de la esfera. Una esfera cargada de masa $m$ y carga $q$ necesitaría $qE = mg$ para flotar en este campo: $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.

Ejemplo resuelto. Cargas puntuales de $+4.0\ \text{nC}$ y $+1.0\ \text{nC}$ están separadas $30\ \text{cm}$. ¿Dónde en la línea que las une es el campo resultante cero?

Entre las cargas, los dos campos apuntan en direcciones opuestas; llame a la distancia desde la carga $4.0\ \text{nC}$ como $x$. El resultado nulo necesita magnitudes iguales:

el doble de lejos de la carga mayor. Para cargas opuestas, los campos entre ellas apuntan en la misma dirección y nunca se cancelan: el punto cero está fuera, más allá de la carga menor.

Potencial eléctrico 电势 $V$ en un punto es el trabajo realizado por unidad de carga positiva al llevar una pequeña carga de prueba positiva desde infinito 无穷远 hasta ese punto:

Unidad: $\text{V}$. El potencial es cero en el infinito. Para una carga fuente positiva $V > 0$ en todas partes fuera; para una carga fuente negativa $V < 0$.

La definición de dos marcas. El potencial eléctrico en un punto es el trabajo realizado por unidad de carga positiva para traer una pequeña carga de prueba desde el infinito hasta el punto. Las marcas son por trabajo realizado por unidad (positiva) de carga y desde el infinito hasta el punto. El potencial de una carga positiva es positivo porque se debe realizar trabajo sobre una carga de prueba positiva para empujarla hacia adentro contra la repulsión; cerca de una carga negativa, el campo realiza el trabajo, por lo que el potencial es negativo. "Explique por qué el potencial cerca de un protón aislado es positivo" se responde exactamente con esas palabras.

Potential due to a point charge

Note el exponente $1/r$ aquí (comparado con $1/r^{2}$ para el campo). $V$ es un escalar 标量; para varias cargas, sume los potenciales (con signo).

Ejemplo resuelto. Hallar el potencial eléctrico $4.0\ \text{cm}$ generado por una carga puntual de $+3.0\ \text{nC}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

Porque el potencial es un escalar, el potencial de varias cargas es simplemente su suma (cada uno con su propio signo) — no hay direcciones que resolver.

Two charged spheres on a line

La pregunta estructurada favorita de los exámenes coloca dos esferas cargadas X e Y a cierta distancia y dibuja el potencial $V$ a lo largo de la línea que une sus centros (o le pide razonar a partir de ello). Todo sigue de dos hechos: el potencial es un escalar que se suma con signo, y el campo es el gradiente negativo de la gráfica.

• Signo de las cargas. Si $V$ es positivo a lo largo de toda la línea, ambas cargas son positivas; si $V$ cambia de signo, las cargas son opuestas (positivas cerca de la esfera positiva).
• Donde el campo es cero. Donde la curva tiene un mínimo (gradiente cero). Para cargas iguales esto yace entre ellas, más cerca de la carga menor: $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. Para cargas opuestas no hay ningún tal punto entre ellas: la curva cruza cero allí, pero su gradiente no es cero, por lo que el campo no lo es.
• Proporción de las cargas. Donde $V = 0$ entre cargas opuestas, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$: las distancias dan la proporción directamente. Para cargas iguales use el mínimo en su lugar (la raíz cuadrada de la condición del campo).
• Fuerza sobre una carga colocada en P. Leer la pendiente en P trazando una tangente 切线; entonces $E$ es menos la pendiente, y $F = qE$.

Ejemplo resuelto. Dos esferas metálicas cargadas aisladas X e Y tienen sus centros separados $1.2\ \text{m}$ en el vacío. El potencial a lo largo de la línea entre ellas es positivo en todas partes y tiene un mínimo a $x = 0.50\ \text{m}$ del centro de X. Establezca tres conclusiones, y luego encuentre la fuerza sobre un protón mantenido en $x = 0.60\ \text{m}$, donde el gradiente de la gráfica es $+180\ \text{V m}^{-1}$.

Conclusiones: (1) ambas esferas están positivamente cargadas, porque el potencial es positivo en todas partes; (2) el campo eléctrico es cero en $x = 0.50\ \text{m}$, donde la pendiente es cero; (3) la carga de Y es mayor, porque el punto de campo nulo está más cerca de X; de hecho $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. En $x = 0.60\ \text{m}$: $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (apuntando hacia X, ya que $V$ aumenta hacia Y), por lo tanto $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ hacia X. Al soltarse, el protón acelera hacia X, y su aceleración aumenta a medida que se hace más pronunciada la pendiente; necesita una fuerza externa para mantenerlo quieto.

Describiendo el movimiento. "Se coloca una partícula con carga positiva en P y se suelta. Describe y explica su movimiento." El examinador espera: la dirección (hacia un potencial menor, cuesta abajo en la gráfica de $V$); que la fuerza, y por tanto la aceleración, no son constantes (siguen la pendiente, que cambia a lo largo de la línea); y que la partícula acelera constantemente, ya que la fuerza se mantiene en la dirección del movimiento. Si P es el punto de campo nulo, la partícula permanece en reposo, en equilibrio inestable: un pequeño empuje en cualquier dirección la alejará.

Vinculación entre campo y potencial

El campo es igual al gradiente de potencial negativo:

Entre placas paralelas $V$ cambia uniformemente con la posición, dando $E = V/d$ como antes. El signo menos significa que el campo apunta hacia un potencial menor. Para una carga puntual, $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.

La relación de una sola línea. "Enuncia la relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico": la intensidad del campo es igual al negativo del gradiente de potencial, $E = -\Delta V/\Delta x$. En una gráfica de $V$–$x$, $E$ es menos la pendiente de una tangente; en una gráfica de $V$–$r$ para una carga puntual, la pendiente es más pronunciada cerca de la carga, donde el campo es más fuerte, y el signo de $E$ queda fijo por "el campo apunta hacia un potencial menor". La versión de campo uniforme $E = V/d$ es la misma afirmación con una pendiente constante.

Equipotenciales. Una superficie equipotencial une puntos de igual potencial; no se realiza trabajo al mover una carga a lo largo de ella, por lo que el campo siempre forma un ángulo recto con ella. Alrededor de una carga puntual, los equipotenciales son esferas concéntricas que se separan más a medida que disminuye $V$; entre placas paralelas son planos paralelos a las placas. La superficie de un conductor es un equipotencial, razón por la cual las líneas de campo la intersectan perpendicularmente.

Energía potencial eléctrica

Una carga $q$ en un punto de potencial $V$ tiene energía potencial eléctrica $E_{\text{P}} = qV$. Para dos cargas puntuales $Q$ y $q$ separadas una distancia $r$:

• Cargas iguales: $E_{\text{P}} > 0$ — energía almacenada que sería liberada si volaran separadas.
• Cargas opuestas: $E_{\text{P}} < 0$ — un sistema ligado; debe suministrarse energía para separarlas.

En ambos casos $E_{\text{P}} \to 0$ cuando $r \to \infty$.

Ejemplo resuelto. El protón y el electrón en un átomo de hidrógeno están separados $5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$. Encuentre la energía potencial eléctrica del par.

El signo negativo es parte de la respuesta: las cargas son opuestas, por lo que se debe suministrar energía ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) para separarlas hasta el infinito. (El electrón también tiene energía cinética de la mitad de esa magnitud, por lo que la energía necesaria para ionizar el átomo es $13.6\ \text{eV}$; el "patrón del ejemplo resuelto" de abajo muestra por qué).

Carga a través de una diferencia de potencial. Una carga $q$ movida a través de una diferencia de potencial $V$ cambia su energía potencial en $qV$, razón por la cual un electrón acelerado desde el reposo a través de $250\ \text{V}$ llega con $250\ \text{eV}$ de energía cinética independientemente de la forma del campo. Para una pregunta de opción múltiple sobre "mover P una distancia $x$ a lo largo de las líneas de campo", el trabajo realizado es $qEx$, y su energía potencial disminuye si se mueve en la dirección en que la fuerza lo empuja.

Patrón del ejemplo resuelto

Un electrón orbita un núcleo de carga $+Ze$ a una distancia $r$. La atracción de Coulomb proporciona la fuerza centrípeta:

La energía total es cinética más potencial:

que es negativa (un estado ligado).

Gravitacional versus eléctrico

Ambas teorías de campo se parecen:

El signo menos en el potencial gravitacional refleja que la gravedad es siempre atractiva; el potencial eléctrico toma el signo de la carga fuente.

Similitud y diferencia (un marcador estándar de dos). Ambos potenciales son proporcionales a $1/r$, ambos son cero en el infinito y ambos son escalares; pero el potencial gravitacional es siempre negativo (la fuerza es siempre atractiva), mientras que el potencial eléctrico toma el signo de la carga y puede ser positivo. Para los campos: ambos obedecen una ley de inverso cuadrado y ambos se dibujan como líneas radiales alrededor de una fuente puntual, pero las líneas de campo gravitacional solo apuntan hacia adentro (atracción), mientras que las líneas de campo eléctrico apuntan hacia afuera desde una carga positiva y hacia adentro hacia una negativa.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Cuatro fórmulas, dos con $r^{2}$ y dos con $r$: $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ y $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (inverso cuadrado), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ y $E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. Decida cuál usar antes de escribirla.
• Distinga un campo uniforme ($E = V/d$, entre placas) de un campo radial ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, fuera de una carga puntual o esfera); $r$ para una esfera se mide desde el centro, no desde la superficie.
• El campo apunta de alto a bajo potencial y $E$ es menos el gradiente de potencial: trace una tangente en una gráfica de $V$–$x$ para encontrarlo.
• El campo es un vector (suma componentes, resta opuestos); el potencial es un escalar (suma con signo). Entre cargas iguales hay un punto de campo nulo; entre cargas opuestas hay un punto de potencial nulo.
• Una partícula cargada en un campo uniforme: $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$; a lo largo del campo es la mitad vertical del movimiento parabólico, y el movimiento perpendicular al campo no se ve afectado.
• La hoja de datos da tanto $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ como $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$; cualquiera funciona, no los mezcle.

Errores comunes

• Definir la intensidad del campo como "la fuerza sobre una carga" o "fuerza por unidad de masa". Es la fuerza por unidad de carga positiva sobre una pequeña carga positiva.
• Olvidar elevar $r$ al cuadrado en la Ley de Coulomb y en el campo, o elevarlo al cuadrado en el potencial ($V \propto 1/r$).
• Usar el diámetro, o la distancia desde la superficie de una esfera, en lugar de la distancia centro a centro.
• Dibujar $E$ para una esfera desde el origen. Es cero en el interior y comienza en $E_0$ en la superficie; $V$ es constante en el interior, no cero.
• Líneas de campo sin flechas, que se cruzan o están mal espaciadas en un campo uniforme; líneas no perpendiculares a un conductor.
• Omitir el signo negativo en la energía potencial de cargas opuestas, o tomar la dirección de $E$ del signo de $V$ en lugar de de su gradiente.
• Olvidar el segundo electrón en el átomo de helio, o colocarlo a una distancia $r$ en lugar de $2r$.
• Usar $E = V/d$ para una carga puntual, o $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ entre placas.
• Darle peso a un electrón, o usar la masa del protón para un electrón; en preguntas de electrones entre placas, el peso es despreciable.
• Omitir el peso en una pregunta de "gota de aceite sostenida en reposo", o invertir la polaridad de la placa superior.