Este documento cubre el Tema 3: Matemáticas Puras 3. Los subtemas 3.1–3.6 se basan en el álgebra, logaritmos, trigonometría, derivación, integración y métodos numéricos de Matemáticas Puras 2, por lo que este documento explica qué es nuevo en Pure 3 y luego cubre las tres grandes áreas nuevas: vectores, ecuaciones diferenciales y números complejos.
Matemáticas Puras 3
A-Level Matemáticas · Tema 3
13:36
Matemáticas Puras 3
Durante siglos, los matemáticos se encontraron con un muro: ¿cuál es la raíz cuadrada de menos uno? Ningún número ordinario, al elevarlo al cuadrado, da negativo. Lo llamaron imposible, y…
Narración en inglés · subtítulos en inglés y 中文 que puedes cambiar
3.1
Álgebra
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender el significado de $|x|$, trazar la gráfica de $y = |ax + b|$ y utilizar relaciones como $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ y $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ al resolver ecuaciones e inecuaciones | No se incluyen las gráficas de $y = |\text{f}(x)|$ y $y = \text{f}(|x|)$ para funciones no lineales $\text{f}$. Ej.: $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • dividir un polinomio, de grado no superior a 4, por un polinomio lineal o cuadrático, e identificar el cociente y el residuo (que pueden ser cero) | |
| • aplicar el teorema del factor y el teorema del residuo | Ej.: para encontrar factores y residuos, resolver ecuaciones polinómicas o evaluar coeficientes desconocidos. Se incluyen factores de la forma $(ax + b)$ en los que el coeficiente de $x$ no es unidad, así como el cálculo de residuos. |
| • recordar una forma adecuada para expresar funciones racionales en fracciones parciales, y realizar la descomposición, en casos donde el denominador no sea más complejo que – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Excluyendo casos en los que el grado del numerador excede al del denominador. |
| • usar la expansión de $(1 + x)^n$, donde $n$ es un número racional y $|x| < 1$. | No se incluye el hallazgo del término general en una expansión. Sí se incluye adaptar la serie estándar para expandir, p. ej., $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$, y determinar el conjunto de valores de $x$ para los cuales la expansión es válida en tales casos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Dos nuevas herramientas se suman al álgebra de Pure 2.
Fracciones parciales
Una sola fracción con un denominador factorizado se puede descomponer en una suma de fracciones más simples. Esto se llama escribirla en fracciones parciales, y hace que una función racional (una fracción de polinomios) sea fácil de integrar o expandir. Empareja la forma con el denominador:
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Primero comprueba que el numerador sea de menor grado que el denominador. Si no lo es, divide primero el polinomio: la división da un cociente más un resto sobre el denominador original, y solo se descompone esa fracción propia restante.
Ejemplo resuelto. Expresa $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ en fracciones parciales.
Escribe $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, entonces $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Sustituye $x = 2$: $6 = 3B$, entonces $B = 2$. Sustituye $x = -1$: $3 = -3A$, entonces $A = -1$. Por tanto,
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
Ejemplo resuelto: factor repetido. Expresse $\dfrac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2}$ en fracciones parciales.
Un factor al cuadrado necesita dos fracciones, una sobre $(x+2)$ y otra sobre $(x+2)^2$:
$$\frac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2},$$
por lo tanto $5x+4 = A(x+2)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x-1)$. Sustituya $x = 1$: $9 = 9A$, por lo tanto $A = 1$. Sustituya $x = -2$: $-6 = -3C$, por lo tanto $C = 2$. Ningún valor de $x$ anula tanto $A$ como $C$, así que compare los términos de $x^2$ en su lugar: $0 = A + B$, por lo tanto $B = -1$. En consecuencia
$$\frac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2}.$$
Verificar con $x = 0$: el lado izquierdo es $\dfrac{4}{(-1)(4)} = -1$ y el lado derecho es $-1 - \tfrac12 + \tfrac12 = -1$.
Errores comunes. omitir el término $\dfrac{B}{x+2}$ para un factor al cuadrado, y separar una fracción impropia sin dividir primero.
Polinomios y valor absoluto (de Matemáticas puras 2)
El teorema del factor dice que $(x - a)$ es un factor de $p(x)$ si y solo si $p(a) = 0$. El teorema del resto dice que al dividir $p(x)$ por $(x - a)$ se obtiene el resto $p(a)$.
Ejemplo resuelto. $p(x) = 2x^3 + ax^2 - 13x + 6$ tiene un factor $(x - 2)$. Halla $a$, factoriza $p(x)$ completamente y halla el resto cuando $p(x)$ se divide por $(x + 1)$.
$p(2) = 16 + 4a - 26 + 6 = 4a - 4 = 0$, por lo que $a = 1$. Al dividir por $(x - 2)$ se obtiene $p(x) = (x - 2)(2x^2 + 5x - 3) = (x - 2)(2x - 1)(x + 3)$. El resto al dividir por $(x + 1)$ es $p(-1) = -2 + 1 + 13 + 6 = 18$.
Ejemplo resuelto: una desigualdad con valor absoluto. Resuelve $|2x - 1| < |x + 1|$.
Ninguno de los dos lados es negativo, por lo que al elevar al cuadrado se mantiene el sentido de la desigualdad:
$$4x^2 - 4x + 1 < x^2 + 2x + 1 \;\Rightarrow\; 3x^2 - 6x < 0 \;\Rightarrow\; 3x(x - 2) < 0.$$
Por lo tanto, $0 < x < 2$. Un bosquejo de $y = |2x - 1|$ y $y = |x + 1|$ muestra lo mismo: las gráficas en forma de V se cruzan en $x = 0$ y $x = 2$.
La expansión binomial para una potencia racional
La expansión binomial también funciona cuando el exponente es una fracción o negativo, siempre que $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Por ejemplo, $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.
Ejemplo resuelto. Desarrollar $(4 - x)^{-1/2}$ hasta el término en $x^2$, e indicar los valores de $x$ para los cuales es válido.
La fórmula necesita un $1$ delante, por lo que se saca primero el $4$, elevado a la misma potencia:
$$(4 - x)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2} = \frac12\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2}.$$
Ahora usar $n = -\tfrac12$ con $-\tfrac{x}{4}$ en lugar de $x$:
$$\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2} = 1 + \left(-\tfrac12\right)\left(-\frac{x}{4}\right) + \frac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}\left(-\frac{x}{4}\right)^2 + \cdots = 1 + \frac{x}{8} + \frac{3x^2}{128} + \cdots$$
Multiplicar por $\tfrac12$: $(4 - x)^{-1/2} = \dfrac12 + \dfrac{x}{16} + \dfrac{3x^2}{256} + \cdots$. Es válido cuando $\left|\tfrac{x}{4}\right| < 1$, es decir, $|x| < 4$.
Errores comunes. escribir $4(1 - \tfrac{x}{4})^{-1/2}$ (el $4$ también debe estar elevado a la potencia $-\tfrac12$); perder el signo menos dentro de $\left(-\tfrac{x}{4}\right)^2$ en términos posteriores; y dar la validez como $|x| < 1$ en lugar de $|x| < 4$.
Explorar
Curvas recíprocas
y = a/(x − b) + c
Las fracciones parciales descomponen una fracción difícil en piezas recíprocas simples, cada una con una asíntota vertical y una asíntota horizontal.
Vocabulario
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| English | Español |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Matemáticas puras |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | fracciones parciales |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | función racional |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | cociente |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | resto |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | teorema del factor |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | teorema del resto |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | desarrollo binomial |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | cambio de signo |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | fórmula iterativa |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | recíprocos |
3.2 3.3 3.6
Logaritmos, trigonometría y métodos numéricos (de Pure 2)
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la relación entre los logaritmos y los índices, y aplicar las leyes de los logaritmos (excluyendo el cambio de base) | |
| comprender la definición y propiedades de $e^x$ y $\ln x$, incluyendo su relación como funciones inversas y sus gráficas | Incluyendo el conocimiento de la gráfica de $y = e^{kx}$ para valores positivos y negativos de $k$. |
| usar logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones en las que la incógnita aparece en los índices | p. ej. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| usar logaritmos para transformar una relación dada a forma lineal, y así determinar constantes desconocidas considerando la pendiente y/o el intercepto. | p. ej. $y = kx^n$ da $\ln y = \ln k + n \ln x$, que es lineal en $\ln x$ y $\ln y$. $y = k(a^x)$ da $\ln y = \ln k + x \ln a$, que es lineal en $x$ y $\ln y$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la relación entre las funciones secante, cosecante y cotangente con el coseno, seno y tangente, y utilizar las propiedades y gráficas de las seis funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud | |
| utilizar identidades trigonométricas para la simplificación y evaluación exacta de expresiones, así como en el proceso de resolución de ecuaciones, y seleccionar una o más identidades apropiadas al contexto, mostrando familiaridad especialmente con el uso de: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ y $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – los desarrollos de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ y $\tan(A \pm B)$ – las fórmulas para $\sin 2A$, $\cos 2A$ y $\tan 2A$ – la expresión de $a \sin \theta + b \cos \theta$ en las formas $R \sin(\theta \pm \alpha)$ y $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | p. ej. simplificando $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. p. ej. resolviendo $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • localizar aproximadamente una raíz de una ecuación, mediante consideraciones gráficas y/o buscando un cambio de signo | p. ej., encontrar un par de enteros consecutivos entre los que se encuentra una raíz. |
| • comprender la idea de, y utilizar la notación para, una secuencia de aproximaciones que converge a una raíz de una ecuación | |
| • comprender cómo una fórmula simple dada de iteración de la forma $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ se relaciona con la ecuación que se está resolviendo, y utilizar una iteración dada, o una iteración basada en un reordenamiento dado de una ecuación, para determinar una raíz con un grado de precisión prescrito. | No se incluye el conocimiento de la condición para la convergencia, pero se espera que comprendan que una iteración puede no converger. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Los subtemas 3.2, 3.3 y 3.6 son las mismas habilidades que encontraste en Pure 2: las leyes de los logaritmos con $e^x$ y $\ln x$; las identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ y $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, las fórmulas de ángulo compuesto y doble, y la forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; y resolver una ecuación numéricamente mediante un cambio de signo y una fórmula iterativa $x_{n+1} = F(x_n)$. Úsalas exactamente como antes.
Las tres nuevas funciones trigonométricas son los recíprocos de las conocidas: la secante $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosecante $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, y la cotangente $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ para $\sin\theta\ne0$. Es igual a $1/\tan\theta$ siempre que ambas expresiones estén definidas. (Pista mnemotécnica: emparejar la tercera letra — sec va con coseno.) Las dos identidades pitagóricas anteriores provienen directamente de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ entre $\cos^2\theta$ o $\sin^2\theta$. Para un método numérico, una iteración $x_{n+1}=F(x_n)$ converge si sus valores se aproximan a un límite finito. Los cambios sucesivos más pequeños por sí solos no prueban convergencia; cuando $F$ es continua en ese límite, el límite es un punto fijo. Verifíquelo en la ecuación original.
Ejemplo resuelto: reducción a la forma lineal. Se cree que dos variables cumplen $y = kx^n$. Una gráfica de $\ln y$ frente a $\ln x$ es una recta que pasa por $(0.5, 2.1)$ y $(2.0, 4.5)$. Halla $k$ y $n$.
Toma logaritmos: $\ln y = n\ln x + \ln k$. Esto es $Y = nX + c$ con $Y = \ln y$ y $X = \ln x$, por lo que $n$ es la pendiente y $\ln k$ es la ordenada al origen:
$$n = \frac{4.5 - 2.1}{2.0 - 0.5} = 1.6, \qquad \ln k = 2.1 - 1.6 \times 0.5 = 1.3, \qquad k = e^{1.3} = 3.67.$$
Para $y = Ab^x$, en cambio, grafica $\ln y$ frente a $x$ (no $\ln x$): $\ln y = x\ln b + \ln A$, por lo que la pendiente es $\ln b$ y la ordenada al origen es $\ln A$.
Ejemplo resuelto: la forma $R$. Expresa $3\sin\theta + 4\cos\theta$ como $R\sin(\theta + \alpha)$ y resuelve $3\sin\theta + 4\cos\theta = 2$ para $0^\circ < \theta < 360^\circ$.
Desarrolla: $R\sin\theta\cos\alpha + R\cos\theta\sin\alpha$, por lo que $R\cos\alpha = 3$ y $R\sin\alpha = 4$. Entonces $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ y $\tan\alpha = \tfrac43$, $\alpha = 53.13^\circ$.
Ahora $\sin(\theta + 53.13^\circ) = 0.4$. El intervalo de $\theta + 53.13^\circ$ va de $53.13^\circ$ a $413.13^\circ$, por lo que $\theta + 53.13^\circ = 156.42^\circ$ o $383.58^\circ$, lo que da $\theta = 103.3^\circ$ o $330.4^\circ$. El valor máximo de la expresión es $R = 5$.
Ejemplo resuelto: localización de una raíz e iteración. Demuestra que $x^3 + x - 3 = 0$ tiene una raíz entre $1$ y $2$, y utiliza $x_{n+1} = \sqrt[3]{3 - x_n}$ con $x_1 = 1.2$ para hallarla con 3 cifras decimales.
Sea $f(x) = x^3 + x - 3$. $f(1) = -1 < 0$ y $f(2) = 7 > 0$: $f$ es continua y cambia de signo, por lo que hay una raíz entre $1$ y $2$. Las iteraciones son $1.2164$, $1.2127$, $1.2136$, $1.2134$, $1.2134$, por lo que la raíz es $1.213$ con 3 cifras decimales. La fórmula iterativa se obtiene al reordenar la ecuación: al elevar $x = \sqrt[3]{3 - x}$ al cubo se obtiene $x^3 = 3 - x$.
Explorar
El círculo unitario
(cos θ, sin θ)
La fórmula R reescribe a sin θ + b cos θ como una sola onda — y todo esto se representa en este círculo.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | secante |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | cosecante |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | cotangente |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | converge |
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | pendiente |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | intersección con el eje |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tangente inversa |
| parametrically | paramétricamente |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | implícitamente |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | integración por partes |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | Integración por sustitución |
3.4
Diferenciación
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar las derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, junto con constantes, sumas, restas y composiciones | No se requieren las derivadas de $\sin^{-1} x$ y $\cos^{-1} x$. |
| derivar productos y cocientes | p. ej. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| encontrar y usar la primera derivada de una función definida paramétricamente o implícitamente. | p. ej. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. p. ej. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Incluyendo su uso en problemas que involucren tangentes y normales. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Los métodos son los de Pure 2 (las reglas del producto, cociente y cadena, con curvas paramétricas e implícitas). Se añade una derivada — la tangente inversa:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Ejemplo resuelto. Diferencia $y = \tan^{-1}(3x)$.
Usa la regla de la cadena con el resultado anterior: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
Ejemplo resuelto: una curva paramétrica. Una curva tiene $x = t^2 + 1$, $y = t^3 - 3t$. Halla la tangente en $t = 2$ y los puntos donde la tangente es horizontal.
Para una curva definida paramétricamente, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t}$. En $t = 2$ el punto es $(5, 2)$ y la pendiente es $\dfrac{9}{4}$, por lo que la tangente es $y - 2 = \tfrac94(x - 5)$. La tangente es horizontal cuando $3t^2 - 3 = 0$, por lo que $t = \pm1$: los puntos $(2, -2)$ y $(2, 2)$.
Ejemplo resuelto: una curva implícita. Halla la pendiente de $x^2 + xy + y^2 = 7$ en $(1, 2)$.
Deriva implícitamente, utilizando la regla del producto en $xy$ y la regla de la cadena en $y^2$:
$$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.$$
En $(1, 2)$: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{5}$. (Comprueba primero que el punto esté en la curva: $1 + 2 + 4 = 7$.)
Explorar
La pendiente en un punto
pendiente = dy/dx
Implícita o no, la derivada sigue siendo la pendiente de la tangente; desliza el punto para verlo.
3.5
Integración
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| extender la idea de 'derivación inversa' para incluir la integración de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ y $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Incluyendo ejemplos como $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| utilizar relaciones trigonométricas al realizar la integración | p. ej., el uso de fórmulas del ángulo doble para integrar $\sin^2 x$ o $\cos^2(2x)$. |
| integrar funciones racionales mediante descomposición en fracciones parciales | Limitado a los tipos de fracciones parciales especificados en el tema 3.1 anterior. |
| reconocer un integrando de la forma $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, e integrar tales funciones | p. ej., integración de $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| reconocer cuándo un integrando puede considerarse útilmente como un producto, y usar la integración por partes | p. ej., integración de $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| utilizar una sustitución dada para simplificar y evaluar tanto una integral definida como una indefinida. | p. ej., para integrar $\sin^2 2x \cos x$ usando la sustitución $u = \sin x$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Pure 3 añade varios métodos poderosos.
- Una nueva integral estándar: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Fracciones parciales: divide una función racional primero, luego integra cada parte como un logaritmo.
- El patrón $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: esto se integra como $k\ln|f(x)| + C$. Por ejemplo, $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Integración por partes, usada para un producto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Integración por sustitución: un cambio de variable dado transforma una integral difícil en una sencilla.
Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Usa la integración por partes con $u = x$ y $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, entonces $\dfrac{du}{dx} = 1$ y $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
Ejemplo resuelto: sustitución. Usar la sustitución $u = x + 1$ para encontrar $\displaystyle\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$.
Cambiar las tres partes: $x = u - 1$, $dx = du$, y los límites $x = 0$ y $x = 3$ se convierten en $u = 1$ y $u = 4$:
$$\int_1^4 \frac{u-1}{\sqrt u}\,du = \int_1^4 \left(u^{1/2} - u^{-1/2}\right)du = \Big[\tfrac23 u^{3/2} - 2u^{1/2}\Big]_1^4 = \left(\tfrac{16}{3} - 4\right) - \left(\tfrac23 - 2\right) = \frac83.$$
El error común es mantener los límites antiguos $0$ y $3$ después de cambiar a $u$.
Ejemplo resuelto: fracciones parciales. Demostrar que $\displaystyle\int_3^4 \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \ln\frac{16}{5}$.
Usar las fracciones parciales encontradas anteriormente, luego integrar cada parte como un logaritmo:
$$\int_3^4 \left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \Big[2\ln(x-2) - \ln(x+1)\Big]_3^4 = (2\ln 2 - \ln 5) - (0 - \ln 4).$$
Esto es $2\ln 2 + 2\ln 2 - \ln 5 = \ln 16 - \ln 5 = \ln\dfrac{16}{5}$. Dado que la respuesta está dada, mostrar paso a paso las leyes del logaritmo.
Explorar
El área bajo la curva
área = ∫ f(x) dx
Cada método de integración mide simplemente esta área — arrastra los límites para totalizarla.
3.7
Vectores
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • utilizar las notaciones estándar para vectores, es decir, $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • realizar la suma y resta de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar, e interpretar estas operaciones en términos geométricos | p. ej. ‘$OABC$ es un paralelogramo’ es equivalente a $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. No se incluye la forma general del teorema de la razón, pero se espera que comprendan que el punto medio de $AB$ tiene vector de posición $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. |
| • calcular la magnitud de un vector, y utilizar vectores unitarios, vectores desplazamiento y vectores de posición | En 2 o 3 dimensiones. |
| • comprender el significado de todos los símbolos utilizados cuando la ecuación de una recta se expresa en la forma $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, y encontrar la ecuación de una recta dados datos suficientes | p. ej. hallar la ecuación de una recta dado el vector de posición de un punto sobre ella y un vector director, o los vectores de posición de dos puntos sobre la recta. |
| • determinar si dos rectas son paralelas, se intersecan o son alabeadas, y encontrar el punto de intersección de dos rectas cuando exista | No se requiere el cálculo de la distancia más corta entre dos rectas alabeadas. Tampoco se requiere hallar la ecuación de la perpendicular común a dos rectas alabeadas. |
| • utilizar fórmulas para calcular el producto escalar de dos vectores, y emplear productos escalares en problemas que involucren rectas y puntos. | p. ej. hallar el ángulo entre dos rectas, y hallar el pie de la perpendicular desde un punto a una recta; las preguntas pueden involucrar objetos 3D como prismas rectangulares, tetraedros (pirámides), etc. No se requiere conocimiento del producto vectorial. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un vector tiene tanto magnitud como dirección. Escríbelo como columna, o como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, o como $\overrightarrow{AB}$.
- La magnitud (longitud) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ es $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Un vector unitario tiene magnitud $1$; divida un vector distinto de cero por su magnitud para obtener uno.
- Un vector de posición indica la ubicación de un punto desde el origen; un vector desplazamiento $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ va de un punto a otro. Multiplicar por un escalar (un número simple) estira un vector.
Sumar vectores significa recorrer uno y luego el otro («punta con cola»). Si $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$, las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas, y $AB$ tiene $k$ veces la longitud de la otra. El punto medio de $AB$ tiene vector de posición $\tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{b})$.
Ejemplo resuelto: geometría con vectores. $OABC$ es un paralelogramo con $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ y $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$. Demuestra que sus diagonales se bisecan mutuamente.
$\overrightarrow{OB} = \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (a lo largo de $OA$ y luego de $AB$, que es igual a $OC$). El punto medio $M$ de la otra diagonal $AC$ tiene $\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac12(\mathbf{c} - \mathbf{a}) = \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \tfrac12\overrightarrow{OB}$. Por lo tanto, $M$ también es el punto medio de $OB$: las diagonales se cortan por la mitad.
Rectas y producto escalar
Una línea recta que pasa por el punto $\mathbf{a}$ en la dirección $\mathbf{b}$ tiene la ecuación vectorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Dos líneas pueden ser paralelas, intersecarse en un punto, o ser líneas alabeadas (no paralelas y que nunca se encuentran).
El producto escalar (producto punto) de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ es
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
donde $\theta$ es el ángulo entre ellos. Así, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que los vectores son perpendiculares.
Ejemplo resuelto. Encuentra el ángulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ y $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Así, $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, lo que da $\theta = 27.3^\circ$.
Ejemplo resuelto: ¿se cruzan dos rectas? La recta $l$ es $\mathbf{r} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} + t(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k})$ y la recta $m$ es $\mathbf{r} = -\mathbf{j} + \mathbf{k} + s(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k})$. Demuestre que se intersectan y encuentre el punto.
Las direcciones no son múltiplos entre sí, por lo que las rectas no son paralelas. Use una letra diferente para el parámetro de cada recta e iguale las componentes:
$$x:\ 1 + t = 3s, \qquad y:\ 3 - t = -1 + 2s, \qquad z:\ 2t = 1 + 3s.$$
Sume las ecuaciones $x$ y $y$: $4 = -1 + 5s$, entonces $s = 1$ y luego $t = 2$. Ahora compruebe la tercera ecuación: $2(2) = 4$ y $1 + 3(1) = 4$. Se cumple, así que las rectas se encuentran en $\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$, el punto $(3, 1, 4)$.
Si la tercera ecuación hubiera fallado, las rectas serían alabeadas. Siempre use la ecuación que no resolvió como comprobación.
Ejemplo resuelto: el pie de la perpendicular. Halla el punto $F$ de la recta $\mathbf{r} = \mathbf{i} + \mathbf{k} + t(\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k})$ más cercano a $P(4, 1, 3)$ y la distancia más corta de $P$ a la recta.
Un punto general de la recta es $(1 + t,\ t,\ 1 + t)$, por lo que $\overrightarrow{PF} = (t - 3)\mathbf{i} + (t - 1)\mathbf{j} + (t - 2)\mathbf{k}$. En el punto más cercano, $\overrightarrow{PF}$ es perpendicular a la dirección $\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$:
$$(t - 3) + (t - 1) + (t - 2) = 0 \;\Rightarrow\; t = 2.$$
Por lo tanto, $F = (3, 2, 3)$, $\overrightarrow{PF} = -\mathbf{i} + \mathbf{j}$ y la distancia más corta es $|\overrightarrow{PF}| = \sqrt2$.
Explorar
Suma de vectores y producto escalar
Arrastra los dos vectores. Observa el resultante (punta a cola) y el producto escalar, que es cero cuando son perpendiculares.
Vocabulario
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| English | Español |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vector |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | magnitud |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | Módulo |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vector unitario |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | Vector de posición |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | Vector de desplazamiento |
| scalar/ˈskeɪlə/ | Escalar |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | intersecar |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | Rectas alabadas |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | producto escalar |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendicular |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | ecuación diferencial |
3.8
Ecuaciones diferenciales
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| formular una afirmación simple que involucre una tasa de cambio como una ecuación diferencial | Se incluye la introducción y evaluación de una constante de proporcionalidad, cuando sea necesario. |
| encontrar mediante integración una forma general de solución para una ecuación diferencial de primer orden en la que las variables son separables | Incluyendo cualquiera de las técnicas de integración del tema 3.5 anterior. |
| utilizar una condición inicial para encontrar una solución particular | |
| interpretar la solución de una ecuación diferencial en el contexto de un problema modelado por dicha ecuación. | Cuando se utiliza una ecuación diferencial para modelar una situación de la vida real, no se requerirá conocimiento especializado del contexto. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una ecuación diferencial vincula una cantidad con su tasa de cambio. Para resolver una ecuación de primer orden cuyas variables son separables, pon todos los términos $y$ en un lado y todos los términos $x$ en el otro, luego integra ambos lados. Esto da la solución general, que contiene una constante. Una condición inicial (un valor conocido) fija la constante y da la solución particular.
Ejemplo resuelto. Resuelve $\dfrac{dy}{dx} = xy$, sabiendo que $y = 1$ cuando $x = 0$.
Separa las variables e integra:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Usando $y = 1$ en $x = 0$ se obtiene $A = 1$, así que $y = e^{x^2/2}$.
Ejemplo resuelto: formación de la ecuación. El agua escapa de un tanque. La profundidad $h$ cm disminuye a una tasa proporcional a $\sqrt h$. En $t = 0$ minutos la profundidad es $16$ cm, y en $t = 10$ es $9$ cm. ¿Cuándo estará vacío el tanque?
«Disminuye a una tasa proporcional a $\sqrt h$» da $\dfrac{dh}{dt} = -k\sqrt h$, con $k > 0$. Separa e integra:
$$\int h^{-1/2}\,dh = \int -k\,dt \;\Rightarrow\; 2\sqrt h = -kt + c.$$
En $t = 0$: $2\sqrt{16} = c$, por lo tanto $c = 8$. En $t = 10$: $2\sqrt9 = -10k + 8$, por lo tanto $k = 0.2$. El tanque está vacío cuando $h = 0$: $0 = -0.2t + 8$, es decir, $t = 40$ minutos.
Interpretación de la solución. La solución es $\sqrt h = 4 - 0.1t$, por lo que $h = (4 - 0.1t)^2$ para $0 \le t \le 40$. La profundidad disminuye rápidamente al principio y más lentamente a medida que el tanque se vacía, porque la tasa depende de $\sqrt h$. El modelo se detiene en $t = 40$: para valores mayores de $t$, la fórmula haría que $h$ volviera a aumentar, lo cual es imposible. Un apartado de examen como «¿qué ocurre con $h$ cuando $t$ aumenta mucho?» requiere una frase como esta, en el contexto del problema.
Errores comunes. Omisión del signo negativo para una disminución, y suma de la constante solo después de reorganizar (escribiendo $y = e^{x^2/2} + c$ en lugar de $y = Ae^{x^2/2}$ en el ejemplo anterior).
Explorar
Un campo de pendientes
Cada pequeña línea muestra la pendiente $\frac{dy}{dx}$ allí. Una curva solución sigue las flechas: cambia el punto inicial para ver una diferente.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | separable |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solución general |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condición inicial |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solución particular |
3.9
Números complejos
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la idea de un número complejo, recordar el significado de los términos parte real, parte imaginaria, módulo, argumento, conjugado, y utilizar el hecho de que dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales | Deben conocer las notaciones $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$. El argumento de un número complejo se referirá habitualmente a un ángulo $\theta$ tal que $-\pi < \theta \leqslant \pi$, pero en algunos casos puede ser más conveniente el intervalo $0 \leqslant \theta < 2\pi$. Las respuestas pueden utilizar cualquiera de los dos intervalos, a menos que la pregunta especifique lo contrario. |
| realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de dos números complejos expresados en forma cartesiana $x + \text{i}y$ | Para los cálculos que involucren multiplicación o división, se deben mostrar todos los detalles del procedimiento. |
| utilizar el resultado de que, para una ecuación polinómica con coeficientes reales, cualquier raíz no real ocurre en pares conjugados | p. ej., al resolver una ecuación cúbica o cuártica donde se da una raíz compleja. |
| representar geométricamente números complejos mediante un diagrama de Argand | |
| realizar operaciones de multiplicación y división de dos números complejos expresados en forma polar $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Incluye los resultados $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ y $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, y resultados correspondientes para la división. |
| encontrar las dos raíces cuadradas de un número complejo | p. ej., las raíces cuadradas de $5 + 12\text{i}$ en forma cartesiana exacta. Se deben mostrar todos los detalles del procedimiento. |
| comprender en términos sencillos los efectos geométricos de conjugar un número complejo y de sumar, restar, multiplicar y dividir dos números complejos | |
| ilustrar ecuaciones e inecuaciones simples que involucren números complejos mediante locus en un diagrama de Argand | p. ej., $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un número complejo tiene la forma $z = x + iy$, donde $i^2 = -1$. Aquí $x$ es la parte real y $y$ es la parte imaginaria. Esta $x + iy$ es la forma cartesiana. Dos números complejos son iguales solo cuando sus partes reales coinciden y sus partes imaginarias coinciden.
- El conjugado de $z = x + iy$ es $z^* = x - iy$. Para un polinomio con coeficientes reales, cualquier raíz no real viene en pares conjugados.
- El módulo es $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (su distancia al origen) y, para $z\ne0$, el argumento es el ángulo que forma el punto, medido desde el semieje real positivo. El cero no tiene argumento.
- Puedes graficar $z$ como un punto en un diagrama de Argand (el plano complejo).
- La forma polar es $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta$ es el argumento. Multiplicar multiplica los módulos y suma los argumentos.
- Los locus de puntos que satisfacen una condición sobre $z$ se dibujan en el diagrama de Argand — p. ej., $|z - a| = r$ es un círculo, $|z - a| = |z - b|$ una mediatriz, y $\arg(z - a) = \theta$ una semirrecta. Las raíces cuadradas de un número complejo provienen de resolver $w^2 = z$.
Para dividir, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplo resuelto: forma polar. $z_1 = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\right)$ y $z_2 = 4\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\right)$. Halla $z_1z_2$ y $\dfrac{z_1}{z_2}$.
Multiplica los módulos y suma los argumentos: $z_1z_2 = 8\left(\cos\tfrac{\pi}{2} + i\sin\tfrac{\pi}{2}\right) = 8i$. Divide los módulos y resta los argumentos: $\dfrac{z_1}{z_2} = \tfrac12\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac14 i$.
Ejemplo resuelto. Escribe $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ en la forma $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Ejemplo resuelto: módulo y argumento. Encuentre el módulo y el argumento de $z = -1 + \sqrt3\,i$.
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} = 2$. El punto $(-1, \sqrt3)$ está en el segundo cuadrante, así que dibújelo antes de usar la calculadora. El ángulo con el eje real negativo es $\tan^{-1}\sqrt3 = \tfrac{\pi}{3}$, por lo tanto $\arg z = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}$. De aquí $z = 2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$.
La función $\tan^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{-1}\right)$ de una calculadora da $-\tfrac{\pi}{3}$, que es el cuadrante incorrecto. Del mismo modo, use $\arg(-1 - i) = -\tfrac{3\pi}{4}$, no $\tfrac{\pi}{4}$.
Ejemplo resuelto: raíz cuadrada. Encuentre las raíces cuadradas de $3 + 4i$.
Sea $(a + bi)^2 = 3 + 4i$ con $a$ y $b$ reales. Entonces $a^2 - b^2 + 2abi = 3 + 4i$, por lo tanto compare las partes reales e imaginarias:
$$a^2 - b^2 = 3, \qquad 2ab = 4.$$
Sustituya $b = \dfrac{2}{a}$: $a^2 - \dfrac{4}{a^2} = 3$, por lo tanto $a^4 - 3a^2 - 4 = 0$, dando $(a^2 - 4)(a^2 + 1) = 0$. Dado que $a$ es real, $a^2 = 4$, por lo tanto $a = 2$ con $b = 1$, o $a = -2$ con $b = -1$. Las raíces cuadradas son $\pm(2 + i)$. Verificación: $(2 + i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.
Una ecuación o desigualdad en $z$ describe un lugar geométrico (un trayecto o región) en el diagrama de Argand. Por ejemplo, $|z - a| = r$ es un círculo de radio $r$ centrado en $a$.
Explorar
El diagrama de Argand
Arrastra el punto. Un número complejo $a + bi$ es un punto en el plano; su módulo es la distancia desde el origen y su argumento es el ángulo.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | número complejo |
| real part/rɪəl pɑːt/ | parte real |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | parte imaginaria |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | Forma cartesiana |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | conjugado |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumento |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forma polar |
| locus/ˈləʊkəs/ | Lugar geométrico |
3.9
Consejos para el examen
- Divide una función racional en fracciones parciales antes de integrar o expandir.
- Elige la técnica de integración correcta (sustitución, por partes o fracciones parciales) según la forma del integrando.
- Usa el producto escalar (punto) para el ángulo entre vectores y para probar perpendicularidad; escribe una línea como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Da los números complejos en la forma solicitada (cartesiana o módulo-argumento) y muéstralos en un diagrama de Argand.
- Cuando una respuesta es «exacta», conserva $\ln$, $e$, $\pi$ y los radicales en ella; da decimales solo cuando se soliciten.
- Para hallar $k$ y $n$ a partir de una gráfica logarítmica, escribe primero la ecuación logarítmica en la forma $Y = mX + c$ y luego lee la pendiente y la ordenada al origen.
- Para hallar el pie de una perpendicular, escribe un punto general de la recta con su parámetro y luego iguala a cero el producto escalar con la dirección.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.