Esta guía cubre el Tema 4: Mecánica. Estudia cómo las fuerzas hacen mover a los objetos. A lo largo de este tema, tome la aceleración de la caída libre como $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mecánica
A-Level Matemáticas · Tema 4
12:38
Mecánica
Empuja un carrito de compras, y acelera. Empuja más fuerte, y acelera más rápido. Empuja uno más pesado con el mismo esfuerzo, y apenas se mueve. Toda la mecánica…
Narración en inglés · subtítulos en inglés y 中文 que puedes cambiar
4.1
Fuerzas y equilibrio
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| identificar las fuerzas que actúan en una situación dada | p. ej., mediante el dibujo de un diagrama de fuerzas. |
| comprender la naturaleza vectorial de la fuerza, y hallar y utilizar componentes y resultantes | Se requieren cálculos; no se aceptan soluciones aproximadas mediante dibujos a escala. |
| utilizar el principio de que, cuando una partícula está en equilibrio, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es cero, o equivalentemente, que la suma de las componentes en cualquier dirección es cero | Generalmente se esperan soluciones mediante la resolución de fuerzas, pero también son aceptables métodos equivalentes (p. ej., triángulo de fuerzas, Teorema de Lami, cuando sea adecuado); estos otros métodos no forman parte del conocimiento requerido y no se mencionarán en las preguntas. |
| comprender que una fuerza de contacto entre dos superficies puede representarse mediante dos componentes, la componente normal y la componente de fricción | |
| utilizar el modelo de contacto 'liso', y comprender las limitaciones de este modelo | |
| comprender los conceptos de fricción límite y equilibrio límite, recordar la definición de coeficiente de fricción, y utilizar la relación $F = \mu R$ o $F \leqslant \mu R$, según corresponda | En las preguntas puede utilizarse terminología como 'a punto de deslizarse' para referirse al 'equilibrio límite'. |
| aplicar la tercera ley de Newton. | p. ej., la fuerza ejercida por una partícula sobre el suelo es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el suelo sobre la partícula. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una fuerza es un empuje o una tracción. Es un vector, por lo que tiene magnitud y dirección. Al ser un vector, puede descomponer una fuerza en componentes (generalmente horizontal y vertical), y sumar varias fuerzas en una resultante.
Una partícula está en equilibrio cuando las fuerzas están balanceadas: la suma vectorial de las fuerzas es cero. En la práctica, esto significa que las componentes en cualquier dirección se suman a cero.
Cómo dibujar un diagrama de fuerzas. Dibuja el cuerpo como un punto o un recuadro sencillo y añade una flecha para cada fuerza que actúa sobre él, cada una con su etiqueta:
- su peso $mg$, verticalmente hacia abajo (la masa se expresa en kg; el peso es una fuerza, en newtons);
- una reacción normal $R$ perpendicular a cada superficie que toca;
- la fuerza de fricción $F$ a lo largo de una superficie rugosa, en sentido opuesto al movimiento real o posible del cuerpo;
- una tensión $T$ a lo largo de cada cuerda, que tira del cuerpo hacia afuera;
- cualquier fuerza aplicada, fuerza motriz o resistencia indicada en el problema.
Las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros objetos no se incluyen en su diagrama. Luego elige dos direcciones perpendiculares en las que descomponer las fuerzas: horizontal y vertical, o paralela y perpendicular a una pendiente.
Fricción
Cuando dos superficies se tocan, la fuerza de contacto entre ellas tiene dos componentes: la reacción normal $R$, perpendicular a la superficie, y la fuerza de fricción $F$, paralela a la superficie, que se opone al deslizamiento. Una superficie «lisa» es un modelo sin fricción.
La fricción solo puede aumentar hasta un máximo. En ese máximo, el cuerpo está en equilibrio límite, a punto de deslizarse, y la fricción es fricción límite. El máximo está determinado por el coeficiente de fricción $\mu$:
$$F \leqslant \mu R, \qquad \text{with } F = \mu R \text{ at the point of slipping}.$$
Por la tercera ley de Newton, las dos superficies se empujan mutuamente con fuerzas iguales y opuestas.
Ejemplo resuelto. Un bloque de peso $20\text{ N}$ descansa sobre una mesa horizontal rugosa con coeficiente de fricción $\mu = 0.4$. Encuentre la mayor fuerza horizontal que se puede aplicar antes de que el bloque se deslice.
La reacción normal del equilibrio equilibra el peso, así que $R = 20\text{ N}$. El bloque está a punto de resbalar cuando la fricción alcanza su máximo $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. En equilibrio, la fuerza aplicada es igual a la fricción, por lo que la mayor fuerza que puede resistir es $8\text{ N}$.
Ejemplo resuelto: resolución de fuerzas. Una partícula de peso $20\text{ N}$ cuelga en equilibrio de dos cuerdas. Una cuerda forma un ángulo $30^\circ$ con la horizontal y la otra $60^\circ$, en lados opuestos. Encuentre las dos tensiones $T_1$ y $T_2$.
Resuelva horizontal y verticalmente; cada dirección debe sumar cero:
$$\rightarrow:\ T_2\cos 60^\circ = T_1\cos 30^\circ, \qquad \uparrow:\ T_1\sin 30^\circ + T_2\sin 60^\circ = 20.$$
La primera ecuación da $T_2 = T_1\dfrac{\cos 30^\circ}{\cos 60^\circ} = \sqrt3\,T_1$. Sustituyendo: $\tfrac12 T_1 + \sqrt3 T_1\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 2T_1 = 20$, por lo tanto $T_1 = 10\text{ N}$ y $T_2 = 10\sqrt3 = 17.3\text{ N}$. La cuerda más empinada soporta más del peso, como cabría esperar.
Ejemplo resuelto: ¿se deslizará? Un bloque de masa $4\ \text{kg}$ se coloca sobre un plano rugoso inclinado $30^\circ$ respecto de la horizontal, con $\mu = 0.3$. Demuestra que se desliza, halla su aceleración y halla la fuerza mínima paralela a la pendiente que lo mantendría en reposo.
Descompón las fuerzas perpendicularmente a la pendiente: $R = 40\cos 30^\circ = 34.64\ \text{N}$, por lo que la fuerza de fricción máxima disponible es $\mu R = 0.3 \times 34.64 = 10.39\ \text{N}$. La componente del peso hacia abajo de la pendiente es $40\sin 30^\circ = 20\ \text{N}$. Esta es mayor que $10.39\ \text{N}$, por lo que la fricción no puede sujetar el bloque: se desliza. Hacia abajo de la pendiente, $F = ma$ da $20 - 10.39 = 4a$, por lo que $a = 2.40\ \text{m s}^{-2}$.
Para mantenerlo en reposo con la menor fuerza $P$ hacia arriba de la pendiente, la fricción ayuda a $P$ y está en su límite, actuando hacia arriba de la pendiente: $P + 10.39 = 20$, por lo que $P = 9.61\ \text{N}$. (Para empujarlo hacia arriba de la pendiente, en cambio, la fricción actuaría hacia abajo y $P$ tendría que superar $20 + 10.39 = 30.4\ \text{N}$.)
Errores comunes. Confundir $\sin$ y $\cos$: la componente adyacente al ángulo utiliza $\cos$. Comprueba con el ángulo que realmente dibujaste, no con el del enunciado. Escribir $F = \mu R$ cuando el cuerpo no está a punto de deslizarse: en equilibrio ordinario, la fricción solo alcanza la magnitud necesaria, $F < \mu R$.
Explorar
Suma de fuerzas
resultante = a + b
Las fuerzas se suman punta con cola. Están en equilibrio cuando la resultante es cero.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| Mechanics/mɪˈkænɪks/ | Mecánica |
| force/fɔːs/ | fuerza |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | Componentes |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | Resultante |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | equilibrio |
| contact force/ˈkɒntækt fɔːs/ | Fuerza de contacto |
| normal reaction/ˈnɔːml rɪˈækʃn/ | reacción normal |
| friction/ˈfrɪkʃn/ | fricción |
| limiting friction/ˈlɪmɪtɪŋ ˈfrɪkʃn/ | fricción límite |
| coefficient of friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv ˈfrɪkʃn/ | coeficiente de fricción |
| Newton's third law/ˈnjuːtnz θɜːd lɔː/ | Tercera ley de Newton |
| distance/ˈdɪstəns/ | distancia |
| speed/spiːd/ | rapidez |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | desplazamiento |
| tension/ˈtenʃn/ | tensión |
4.2
Cinemática del movimiento en línea recta
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender los conceptos de distancia y rapidez como magnitudes escalares, y de desplazamiento, velocidad y aceleración como magnitudes vectoriales | Restringido exclusivamente al movimiento en una dimensión. El término 'desaceleración' puede utilizarse a veces en el contexto de una disminución de la rapidez. |
| dibujar esquemáticamente e interpretar gráficos de desplazamiento–tiempo y gráficos de velocidad–tiempo, y especialmente comprender que – el área bajo un gráfico de velocidad–tiempo representa el desplazamiento, – la pendiente de un gráfico de desplazamiento–tiempo representa la velocidad, – la pendiente de un gráfico de velocidad–tiempo representa la aceleración | |
| utilizar la diferenciación y la integración con respecto al tiempo para resolver problemas simples relativos al desplazamiento, la velocidad y la aceleración | El cálculo requerido se limita a las técnicas del contenido del Paper 1: Matemáticas Puras 1. |
| aplicar las fórmulas adecuadas para el movimiento con aceleración constante en una línea recta. | Las preguntas pueden implicar el planteamiento de más de una ecuación, utilizando información sobre el movimiento de diferentes partículas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Distancia y velocidad escalar son escalares (solo magnitud). Desplazamiento, velocidad vectorial y aceleración son vectores (magnitud y dirección).
En un gráfico de velocidad-tiempo, el área bajo la curva es el desplazamiento y la pendiente es la aceleración (desaceleración significa aceleración opuesta a la velocidad, reduciendo la rapidez). En un gráfico de desplazamiento-tiempo, la pendiente es la velocidad. Más generalmente, diferencie respecto al tiempo para pasar de desplazamiento a velocidad a aceleración, e integre para regresar.
Para el movimiento con aceleración constante, utiliza estas fórmulas (las ecuaciones «suvat»):
$$v = u + at, \qquad s = ut + \tfrac12 at^2, \qquad v^2 = u^2 + 2as, \qquad s = \tfrac12(u + v)t.$$
Ejemplo resuelto. Un coche parte del reposo y acelera a $2.5\ \text{m s}^{-2}$ durante $4\ \text{s}$. Encuentre su rapidez y la distancia recorrida.
$$v = 0 + 2.5\times 4 = 10\ \text{m s}^{-1}, \qquad s = 0 + \tfrac12(2.5)(4^2) = 20\ \text{m}.$$
Ejemplo resuelto: una gráfica de velocidad frente al tiempo. Un tren parte del reposo y acelera uniformemente hasta $20\ \text{m s}^{-1}$ en $40\ \text{s}$. Viaja a esta velocidad durante $T$ segundos y luego desacelera uniformemente hasta detenerse en $20\ \text{s}$. La distancia total es $2.4\ \text{km}$. Halla $T$ y la desaceleración.
Traza un bosquejo de la gráfica: un trapecio. La distancia es el área bajo ella:
$$\tfrac12(40)(20) + 20T + \tfrac12(20)(20) = 2400 \;\Rightarrow\; 400 + 20T + 200 = 2400 \;\Rightarrow\; T = 90\ \text{s}.$$
La desaceleración es el valor absoluto de la pendiente del último tramo: $20 \div 20 = 1\ \text{m s}^{-2}$.
Ejemplo resuelto: movimiento vertical. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba a $15\ \text{m s}^{-1}$ desde un punto situado a $2\ \text{m}$ sobre el suelo. Halla su altura máxima sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar al suelo.
Toma hacia arriba como sentido positivo, por lo que $a = -10\ \text{m s}^{-2}$. En el punto más alto $v = 0$: $0 = 15^2 - 20s$, por lo que $s = 11.25\ \text{m}$, y la altura máxima es $11.25 + 2 = 13.25\ \text{m}$. La pelota llega al suelo cuando su desplazamiento es $s = -2$:
$$-2 = 15t - 5t^2 \;\Rightarrow\; 5t^2 - 15t - 2 = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{15 + \sqrt{265}}{10} = 3.13\ \text{s},$$
tomando la raíz positiva. Una ecuación describe todo el vuelo, de subida y de bajada, siempre que se respeten los signos.
Ejemplo resuelto: aceleración variable. Una partícula se mueve en línea recta con velocidad $v = 6t - t^2\ \text{m s}^{-1}$ durante $0 \leqslant t \leqslant 6$. Encuentre su mayor velocidad y la distancia recorrida.
La aceleración no es constante, por lo que suvat no se aplica; use cálculo. Diferencie: $a = \dfrac{dv}{dt} = 6 - 2t$, que es cero en $t = 3$, así que la mayor velocidad es $v = 18 - 9 = 9\ \text{m s}^{-1}$. La velocidad nunca es negativa en este intervalo, por lo que la distancia es
$$s = \int_0^6 (6t - t^2)\,dt = \Big[3t^2 - \tfrac13 t^3\Big]_0^6 = 108 - 72 = 36\ \text{m}.$$
Si $v$ cambiara de signo, integraría cada parte por separado y sumaría las magnitudes.
Ejemplo resuelto: cuando la velocidad cambia de signo. Una partícula tiene $v = t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3)$ para $0 \leqslant t \leqslant 3$. Halla su desplazamiento y la distancia total recorrida.
La partícula se detiene e invierte su sentido en $t = 1$. Integra cada tramo:
$$\int_0^1 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \Big[\tfrac13 t^3 - 2t^2 + 3t\Big]_0^1 = \tfrac43, \qquad \int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = 0 - \tfrac43 = -\tfrac43.$$
El desplazamiento es $\tfrac43 - \tfrac43 = 0$: la partícula termina donde empezó. La distancia es $\tfrac43 + \tfrac43 = \tfrac83\ \text{m}$. Una sola integral desde $0$ hasta $3$ daría el desplazamiento, no la distancia.
Explorar
Gráfico velocidad-tiempo
Cambia la velocidad inicial y la aceleración. La pendiente es la aceleración; el área bajo la línea es el desplazamiento.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | velocidad |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | aceleración |
| velocity-time graph/vəˈlɒsɪti taɪm ɡræf/ | Gráfica velocidad-tiempo |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | aceleración constante |
4.3
Momento lineal
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar la definición de momento lineal y demostrar comprensión de su naturaleza vectorial | Para movimiento unidimensional únicamente. |
| aplicar la conservación del momento lineal para resolver problemas que pueden modelarse como el impacto directo de dos cuerpos. | Incluye el impacto directo de dos cuerpos donde los cuerpos se unen tras el choque. No se requiere conocimiento sobre impulso ni coeficiente de restitución. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El momento lineal de un cuerpo es $\text{mass} \times \text{velocity}$. Es un vector. En una colisión directa de dos cuerpos, el momento total se conserva cuando el impulso externo neto es cero o despreciable. Esto es la conservación del momento lineal:
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.$$
Ejemplo resuelto. Un cuerpo de masa $2\ \text{kg}$ moviéndose a $3\ \text{m s}^{-1}$ choca contra un cuerpo estacionario de masa $1\ \text{kg}$, y se pegan juntos. Encuentre su velocidad común después.
$$2(3) + 1(0) = (2 + 1)v \;\Rightarrow\; v = \frac{6}{3} = 2\ \text{m s}^{-1}.$$
Ejemplo resuelto: movimiento hacia uno. Un cuerpo de masa $3\ \text{kg}$ que se mueve a $4\ \text{m s}^{-1}$ se encuentra con un cuerpo de masa $2\ \text{kg}$ que se mueve a $5\ \text{m s}^{-1}$ en dirección opuesta. Después de colisionar, el cuerpo de masa $3\ \text{kg}$ se mueve a $0.5\ \text{m s}^{-1}$ en su dirección original. Encuentre la velocidad del cuerpo de masa $2\ \text{kg}$.
Tome la dirección del cuerpo de masa $3\ \text{kg}$ como positiva, por lo que la velocidad del otro cuerpo antes de la colisión es $-5$:
$$3(4) + 2(-5) = 3(0.5) + 2v \;\Rightarrow\; 2 = 1.5 + 2v \;\Rightarrow\; v = 0.25\ \text{m s}^{-1}.$$
Es positivo, así que el cuerpo de masa $2\ \text{kg}$ ahora se mueve en la dirección original del cuerpo de masa $3\ \text{kg}$. Olvidar el signo negativo para la dirección opuesta es el error habitual.
Explorar
Una colisión
Establece cada masa y velocidad y colisiona. La cantidad de movimiento total permanece igual antes y después.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| momentum/məʊˈmentəm/ | momento lineal |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | conservación del momento lineal |
| Newton's laws of motion/ˈnjuːtnz lɔːz ɒv ˈməʊʃn/ | Leyes del movimiento de Newton |
| mass/mæs/ | masa |
| weight/weɪt/ | peso |
4.4
Leyes de Newton del movimiento
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • aplicar las leyes del movimiento de Newton al movimiento lineal de una partícula de masa constante que se mueve bajo la acción de fuerzas constantes, que pueden incluir fricción, tensión en una cuerda inextensible y empuje en una barra de conexión | Si se deben considerar otras fuerzas que se oponen al movimiento (p. ej., resistencia del aire), esto se indicará en la pregunta. |
| • utilizar la relación entre masa y peso | $W = mg$. En este componente, las preguntas son principalmente numéricas, y se espera el uso del valor numérico aproximado $10\text{ (ms}^{-2}\text{)}$ para $g$. |
| • resolver problemas simples que puedan modelarse como el movimiento de una partícula que se mueve verticalmente o en un plano inclinado con aceleración constante | Incluyendo, por ejemplo, el movimiento de una partícula en un plano rugoso donde la aceleración mientras sube por el plano es diferente de la aceleración mientras baja por el plano. |
| • resolver problemas simples que puedan modelarse como el movimiento de partículas conectadas. | p. ej., partículas conectadas por una cuerda ligera e inextensible que pasa por una polea sin fricción, o un coche que arrastra un remolque mediante una cuerda ligera o una barra de remolque rígida y ligera. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Las leyes de Newton del movimiento conectan fuerza y aceleración. La clave es: fuerza neta $=$ masa $\times$ aceleración,
$$F = ma.$$
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria sobre él: $W = mg$. Las fuerzas en un problema pueden incluir peso, fricción, tensión en una cuerda, el empuje (fuerza de empuje) en una barra, y resistencia del aire.
Para movimiento en un plano inclinado, descomponga cada fuerza en un componente paralelo a la pendiente y uno perpendicular a ella, luego aplique $F = ma$ a lo largo de la pendiente. Para partículas conectadas (unidas por una cuerda), aplique $F = ma$ a cada cuerpo o a todo el sistema.
Ejemplo resuelto. Un bloque de masa $12\ \text{kg}$ es jalado hacia arriba por un plano rugoso mediante una cuerda paralela a la pendiente. El plano forma un ángulo de $20^\circ$ con la horizontal, el coeficiente de fricción es $0.4$, y la aceleración es $2\ \text{m s}^{-2}$. Encuentre la tensión en la cuerda.
La reacción normal es $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, por lo que la fricción es $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. A lo largo de la pendiente, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:
$$T = ma + mg\sin 20^\circ + F = 12(2) + 120\sin 20^\circ + 45.1 = 24 + 41.0 + 45.1 = 110\ \text{N (3 s.f.)}.$$
Ejemplo resuelto: un ascensor. Una mujer de masa $60\ \text{kg}$ está de pie en un ascensor que acelera hacia arriba a $0.5\ \text{m s}^{-2}$. Halla la reacción normal del suelo. Hacia arriba, $R - 600 = 60(0.5)$, por lo que $R = 630\ \text{N}$. Por la tercera ley de Newton, ella empuja el suelo hacia abajo con $630\ \text{N}$, más que su peso; si el ascensor acelerara hacia abajo a $0.5\ \text{m s}^{-2}$, $R$ sería $570\ \text{N}$.
Ejemplo resuelto: partículas conectadas. El bloque $A$ de masa $5\ \text{kg}$ descansa sobre una mesa horizontal rugosa ($\mu = 0.2$). Una cuerda ligera e inextensible lo une, pasando por una polea lisa en el borde de la mesa, al bloque $B$ de masa $3\ \text{kg}$, que cuelga libremente. Se libera el sistema desde el reposo. Encuentre la aceleración y la tensión.
Para $A$, $R = 5g = 50\text{ N}$, por lo que la fricción es $0.2 \times 50 = 10\text{ N}$. Plantee $F = ma$ para cada bloque en su propia dirección de movimiento:
$$B:\ 30 - T = 3a, \qquad A:\ T - 10 = 5a.$$
Suménelas: $20 = 8a$, así que $a = 2.5\ \text{m s}^{-2}$, y luego $T = 30 - 3(2.5) = 22.5\text{ N}$. Verifique con $A$: $22.5 - 10 = 12.5 = 5(2.5)$. Note que $T$ es menor que el peso del bloque de masa $B$; si fuera igual, el bloque de masa $B$ no aceleraría.
Explorar
Fuerza resultante
F = ma
La fuerza resultante determina la aceleración. Las fuerzas equilibradas ⇒ no hay aceleración.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| inclined plane/ɪnˈklaɪnd pleɪn/ | plano inclinado |
| connected particles/kəˈnektɪd ˈpɑːtɪklz/ | partículas conectadas |
| work done/wɜːk dʌn/ | trabajo realizado |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | energía cinética |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | energía potencial gravitatoria |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | conservación de la energía |
| power/ˈpaʊə/ | potencia |
| limiting equilibrium/ˈlɪmɪtɪŋ ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | Equilibrio límite |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | Desaceleración |
| thrust/θrʌst/ | Empuje |
| air resistance/eə rɪˈzɪstəns/ | Resistencia del aire |
4.5
Energía, trabajo y potencia
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender el concepto de trabajo realizado por una fuerza, y calcular el trabajo realizado por una fuerza constante cuando su punto de aplicación experimenta un desplazamiento no necesariamente paralelo a la fuerza | $W = Fd \cos \theta$; No se requiere el uso del producto escalar. |
| • comprender los conceptos de energía potencial gravitatoria y energía cinética, y utilizar las fórmulas correspondientes | |
| • comprender y utilizar la relación entre el cambio de energía de un sistema y el trabajo realizado por las fuerzas externas, y aplicar en casos apropiados el principio de conservación de la energía | Incluyendo casos donde el movimiento puede no ser lineal (p. ej., un niño en un tobogán curvo liso), donde solo deben considerarse los cambios totales de energía. |
| • usar la definición de potencia como la tasa a la que una fuerza realiza trabajo, y usar la relación entre potencia, fuerza y velocidad para una fuerza actuando en la dirección del movimiento | Incluyendo el cálculo de la potencia (promedio) como $$\frac{\text{Work done}}{\text{Time taken}}$$ $P = Fv$. |
| • resolver problemas que involucren, por ejemplo, la aceleración instantánea de un automóvil que se desplaza cuesta arriba contra una resistencia. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El trabajo realizado por una fuerza constante es el producto escalar de fuerza y desplazamiento — la fuerza multiplicada por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza: $W = Fd\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el movimiento. El trabajo se mide en julios (J).
La energía viene en formas que puedes calcular:
- Energía cinética (energía de movimiento): $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
- Energía potencial gravitatoria (energía de altura): $\text{PE} = mgh$.
El trabajo neto realizado sobre una partícula es igual a su cambio en energía cinética. Cuando solo la gravedad realiza trabajo, la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria se mantiene constante. En términos más generales, la energía total se conserva cuando se tienen en cuenta todas las transferencias, incluido el calentamiento por fricción y el trabajo de otras fuerzas — la conservación de la energía.
Potencia es la tasa de realización de trabajo. Para una fuerza que tira en la dirección del movimiento, $P = Fv$ (potencia $=$ fuerza $\times$ velocidad). La potencia se mide en vatios (W).
Ejemplo resuelto. El motor de un coche funciona a $12\ \text{kW}$ mientras el coche se mueve a $20\ \text{m s}^{-1}$ en una carretera nivelada. Encuentre la fuerza motriz.
$$P = Fv \;\Rightarrow\; F = \frac{P}{v} = \frac{12000}{20} = 600\ \text{N}.$$
Ejemplo resuelto: energía con fricción. Una caja de $5\ \text{kg}$ desliza desde el reposo $10\ \text{m}$ cuesta abajo por una rampa a $30^\circ$ respecto a la horizontal. Una fuerza de fricción constante de $12\ \text{N}$ actúa. Encuentre su velocidad al final.
La caja desciende una altura de $h = 10\sin 30^\circ = 5\ \text{m}$, por lo que pierde $mgh = 5(10)(5) = 250\ \text{J}$ de energía potencial. El trabajo realizado contra la fricción es $12 \times 10 = 120\ \text{J}$. El resto se convierte en energía cinética:
$$\tfrac12(5)v^2 = 250 - 120 = 130 \;\Rightarrow\; v^2 = 52 \;\Rightarrow\; v = 7.21\ \text{m s}^{-1}.$$
Use la altura vertical para la energía potencial ($5$ m) pero la distancia a lo largo de la rampa para el trabajo contra la fricción ($10$ m).
Ejemplo resuelto: potencia en una pendiente. Un automóvil de masa $1200\ \text{kg}$ sube una pendiente inclinada $\alpha$ respecto de la horizontal, donde $\sin\alpha = 0.05$. El motor funciona a $30\ \text{kW}$ y la resistencia al movimiento es una constante $600\ \text{N}$. Halla la aceleración instantánea cuando la rapidez es $15\ \text{m s}^{-1}$ y la rapidez máxima posible en esta pendiente.
A $15\ \text{m s}^{-1}$ la fuerza motriz es $F = \dfrac{P}{v} = \dfrac{30000}{15} = 2000\ \text{N}$. Hacia arriba de la pendiente:
$$2000 - 600 - 1200(10)(0.05) = 1200a \;\Rightarrow\; 800 = 1200a \;\Rightarrow\; a = 0.667\ \text{m s}^{-2}.$$
A medida que el automóvil aumenta su rapidez, $F = P/v$ disminuye, por lo que la aceleración también disminuye. La rapidez máxima se alcanza cuando $a = 0$: entonces $F = 600 + 600 = 1200\ \text{N}$, por lo que $v = \dfrac{30000}{1200} = 25\ \text{m s}^{-1}$.
Explorar
Conservación de la energía
Deja caer el objeto y observa cómo cambia la energía. Sin fricción, GPE + KE permanece constante durante toda la caída.
4.5
Consejos para el examen
- Dibuje un diagrama de fuerzas claro y descomponga en componentes perpendiculares; para el equilibrio, cada dirección suma cero.
- Use SUVAT solo para aceleración constante y mantenga una dirección positiva consistente.
- Aplique $F = ma$ en la dirección del movimiento, incluyendo la fricción: $F\leqslant\mu R$ para contacto estático, con igualdad en la fricción límite; utilice el modelo de fricción deslizante especificado durante el deslizamiento.
- Indique sus suposiciones (cuerda ligera e inextensible, polea lisa, partícula) — a menudo valen un punto.
- Para hallar una distancia a partir de $v$ como función de $t$, halla primero dónde $v = 0$ e integra cada tramo por separado.
- Con una potencia constante, la fuerza motriz es $P/v$, por lo que cambia con la rapidez; la rapidez máxima se alcanza cuando la fuerza motriz equilibra exactamente las resistencias.
- En un problema de movimiento vertical, elige un sentido positivo y mantén $a = -10$ (o $+10$) durante todo el vuelo.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.