Esta hoja de trabajo cubre el Tema 4: Mecánica 力学. Estudia cómo las fuerzas hacen que los objetos se muevan. A lo largo de este tema, tome la aceleración de la caída libre como $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mecánica
A-Level Matemáticas · Tema 4
12:38
Mecánica
Empuja un carrito de compras, y acelera. Empuja más fuerte, y acelera más rápido. Empuja uno más pesado con el mismo esfuerzo, y apenas se mueve. Toda la mecánica…
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4.1
Fuerzas y equilibrio
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| identificar las fuerzas que actúan en una situación dada | p. ej., mediante el dibujo de un diagrama de fuerzas. |
| comprender la naturaleza vectorial de la fuerza, y hallar y utilizar componentes y resultantes | Se requieren cálculos; no se aceptan soluciones aproximadas mediante dibujos a escala. |
| utilizar el principio de que, cuando una partícula está en equilibrio, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es cero, o equivalentemente, que la suma de las componentes en cualquier dirección es cero | Generalmente se esperan soluciones mediante la resolución de fuerzas, pero también son aceptables métodos equivalentes (p. ej., triángulo de fuerzas, Teorema de Lami, cuando sea adecuado); estos otros métodos no forman parte del conocimiento requerido y no se mencionarán en las preguntas. |
| comprender que una fuerza de contacto entre dos superficies puede representarse mediante dos componentes, la componente normal y la componente de fricción | |
| utilizar el modelo de contacto 'liso', y comprender las limitaciones de este modelo | |
| comprender los conceptos de fricción límite y equilibrio límite, recordar la definición de coeficiente de fricción, y utilizar la relación $F = \mu R$ o $F \leqslant \mu R$, según corresponda | En las preguntas puede utilizarse terminología como 'a punto de deslizarse' para referirse al 'equilibrio límite'. |
| aplicar la tercera ley de Newton. | p. ej., la fuerza ejercida por una partícula sobre el suelo es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el suelo sobre la partícula. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una fuerza 力 es un empuje o un tirón. Es un vector, por lo que tiene magnitud y dirección. Dado que es un vector, puede descomponer una fuerza en componentes 分量 (usualmente horizontal y vertical), y puede sumar varias fuerzas en una sola resultante 合力.
Una partícula está en equilibrio 平衡 cuando las fuerzas están equilibradas: la suma vectorial de las fuerzas es cero. En la práctica, esto significa que las componentes en cualquier dirección suman cero.
Fricción
Cuando dos superficies se tocan, la fuerza de contacto 接触力 entre ellas tiene dos partes: la reacción normal 法向反作用力 $R$, perpendicular a la superficie, y la fricción 摩擦力 $F$, paralela a la superficie, que se opone al deslizamiento. Una superficie "lisa" es un modelo sin fricción.
La fricción solo puede crecer hasta un máximo. En ese máximo, el cuerpo está en equilibrio límite 极限平衡, a punto de resbalar, y la fricción es fricción límite 最大静摩擦力. El máximo está determinado por el coeficiente de fricción 摩擦系数 $\mu$:
$$F \leqslant \mu R, \qquad \text{with } F = \mu R \text{ at the point of slipping}.$$
Por la tercera ley de Newton 牛顿第三定律, las dos superficies se empujan mutuamente con fuerzas iguales y opuestas.
Ejemplo resuelto. Un bloque de peso $20\text{ N}$ descansa sobre una mesa horizontal rugosa con coeficiente de fricción $\mu = 0.4$. Encuentre la mayor fuerza horizontal que se puede aplicar antes de que el bloque se deslice.
La reacción normal del equilibrio equilibra el peso, así que $R = 20\text{ N}$. El bloque está a punto de resbalar cuando la fricción alcanza su máximo $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. En equilibrio, la fuerza aplicada es igual a la fricción, por lo que la mayor fuerza que puede resistir es $8\text{ N}$.
Explorar
Suma de fuerzas
resultante = a + b
Las fuerzas se suman punta con cola. Están en equilibrio cuando la resultante es cero.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Mechanics/mɪˈkænɪks/ | 力学 | lì xué |
| force/fɔːs/ | 力 | lì |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | 分量 | fèn liàng |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | 合力 | hé lì |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 | píng héng |
| contact force/ˈkɒntækt fɔːs/ | 接触力 | jiē chù lì |
| normal reaction/ˈnɔːml rɪˈækʃn/ | 法向反作用力 | fǎ xiàng fǎn zuò yòng lì |
| friction/ˈfrɪkʃn/ | 摩擦力 | mó cā lì |
| limiting friction/ˈlɪmɪtɪŋ ˈfrɪkʃn/ | 最大静摩擦力 | zuì dà jìng mó cā lì |
| coefficient of friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv ˈfrɪkʃn/ | 摩擦系数 | mó cā xì shù |
| Newton's third law/ˈnjuːtnz θɜːd lɔː/ | 牛顿第三定律 | niú dùn dì sān dìng lǜ |
| distance/ˈdɪstəns/ | 距离 | jù lí |
| speed/spiːd/ | 速率 | sù lǜ |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 位移 | wèi yí |
4.2
Cinemática del movimiento en línea recta
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender los conceptos de distancia y rapidez como magnitudes escalares, y de desplazamiento, velocidad y aceleración como magnitudes vectoriales | Restringido exclusivamente al movimiento en una dimensión. El término 'desaceleración' puede utilizarse a veces en el contexto de una disminución de la rapidez. |
| dibujar esquemáticamente e interpretar gráficos de desplazamiento–tiempo y gráficos de velocidad–tiempo, y especialmente comprender que – el área bajo un gráfico de velocidad–tiempo representa el desplazamiento, – la pendiente de un gráfico de desplazamiento–tiempo representa la velocidad, – la pendiente de un gráfico de velocidad–tiempo representa la aceleración | |
| utilizar la diferenciación y la integración con respecto al tiempo para resolver problemas simples relativos al desplazamiento, la velocidad y la aceleración | El cálculo requerido se limita a las técnicas del contenido del Paper 1: Matemáticas Puras 1. |
| aplicar las fórmulas adecuadas para el movimiento con aceleración constante en una línea recta. | Las preguntas pueden implicar el planteamiento de más de una ecuación, utilizando información sobre el movimiento de diferentes partículas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La distancia 距离 y la rapidez 速率 son escalares (solo magnitud). El desplazamiento 位移, la velocidad 速度 y la aceleración 加速度 son vectores (magnitud y dirección).
En un gráfico de velocidad-tiempo 速度时间图, el área bajo el gráfico es el desplazamiento y la pendiente es la aceleración (una aceleración negativa es una desaceleración 减速度). En un gráfico de desplazamiento-tiempo, la pendiente es la velocidad. De manera más general, diferencie con respecto al tiempo para pasar del desplazamiento a la velocidad y luego a la aceleración, e integre para volver atrás.
Para el movimiento con aceleración constante 匀加速, use estas fórmulas (las ecuaciones "suvat"):
$$v = u + at, \qquad s = ut + \tfrac12 at^2, \qquad v^2 = u^2 + 2as, \qquad s = \tfrac12(u + v)t.$$
Ejemplo resuelto. Un coche parte del reposo y acelera a $2.5\ \text{m s}^{-2}$ durante $4\ \text{s}$. Encuentre su rapidez y la distancia recorrida.
$$v = 0 + 2.5\times 4 = 10\ \text{m s}^{-1}, \qquad s = 0 + \tfrac12(2.5)(4^2) = 20\ \text{m}.$$
Explorar
Gráfico velocidad-tiempo
Cambia la velocidad inicial y la aceleración. La pendiente es la aceleración; el área bajo la línea es el desplazamiento.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | 速度 | sù dù |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | 加速度 | jiā sù dù |
| velocity-time graph/vəˈlɒsɪti taɪm ɡræf/ | 速度时间图 | sù dù shí jiān tú |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | 匀加速 | yún jiā sù |
4.3
Momento lineal
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar la definición de momento lineal y demostrar comprensión de su naturaleza vectorial | Para movimiento unidimensional únicamente. |
| aplicar la conservación del momento lineal para resolver problemas que pueden modelarse como el impacto directo de dos cuerpos. | Incluye el impacto directo de dos cuerpos donde los cuerpos se unen tras el choque. No se requiere conocimiento sobre impulso ni coeficiente de restitución. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El momento lineal 动量 de un cuerpo es $\text{mass} \times \text{velocity}$. Es un vector. En una colisión directa de dos cuerpos, el momento total no cambia. Esto es la conservación del momento lineal 动量守恒:
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.$$
Ejemplo resuelto. Un cuerpo de masa $2\ \text{kg}$ moviéndose a $3\ \text{m s}^{-1}$ choca contra un cuerpo estacionario de masa $1\ \text{kg}$, y se pegan juntos. Encuentre su velocidad común después.
$$2(3) + 1(0) = (2 + 1)v \;\Rightarrow\; v = \frac{6}{3} = 2\ \text{m s}^{-1}.$$
Explorar
Una colisión
Establece cada masa y velocidad y colisiona. La cantidad de movimiento total permanece igual antes y después.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| momentum/məʊˈmentəm/ | 动量 | dòng liàng |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | 动量守恒 | dòng liàng shǒu héng |
| Newton's laws of motion/ˈnjuːtnz lɔːz ɒv ˈməʊʃn/ | 牛顿运动定律 | niú dùn yùn dòng dìng lǜ |
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| weight/weɪt/ | 重力 | zhòng lì |
| tension/ˈtenʃn/ | 张力 | zhāng lì |
4.4
Leyes de Newton del movimiento
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • aplicar las leyes del movimiento de Newton al movimiento lineal de una partícula de masa constante que se mueve bajo la acción de fuerzas constantes, que pueden incluir fricción, tensión en una cuerda inextensible y empuje en una barra de conexión | Si se deben considerar otras fuerzas que se oponen al movimiento (p. ej., resistencia del aire), esto se indicará en la pregunta. |
| • utilizar la relación entre masa y peso | $W = mg$. En este componente, las preguntas son principalmente numéricas, y se espera el uso del valor numérico aproximado $10\text{ (ms}^{-2}\text{)}$ para $g$. |
| • resolver problemas simples que puedan modelarse como el movimiento de una partícula que se mueve verticalmente o en un plano inclinado con aceleración constante | Incluyendo, por ejemplo, el movimiento de una partícula en un plano rugoso donde la aceleración mientras sube por el plano es diferente de la aceleración mientras baja por el plano. |
| • resolver problemas simples que puedan modelarse como el movimiento de partículas conectadas. | p. ej., partículas conectadas por una cuerda ligera e inextensible que pasa por una polea sin fricción, o un coche que arrastra un remolque mediante una cuerda ligera o una barra de remolque rígida y ligera. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Las leyes de Newton del movimiento 牛顿运动定律 conectan la fuerza y la aceleración. La clave es: fuerza resultante $=$ masa 质量 $\times$ aceleración,
$$F = ma.$$
El peso 重力 de un cuerpo es la fuerza de gravedad sobre él: $W = mg$. Las fuerzas en un problema pueden incluir peso, fricción, tensión 张力 en una cuerda, el empuje 推力 (push) en una barra, y la resistencia del aire 空气阻力.
Para el movimiento en un plano inclinado 斜面, divida cada fuerza en una parte a lo largo de la pendiente y una parte perpendicular a ella, luego aplique $F = ma$ a lo largo de la pendiente. Para partículas conectadas 连接质点 (unidas por una cuerda), aplique $F = ma$ a cada cuerpo, o al sistema completo.
Ejemplo resuelto. Un bloque de masa $12\ \text{kg}$ es jalado hacia arriba por un plano rugoso mediante una cuerda paralela a la pendiente. El plano forma un ángulo de $20^\circ$ con la horizontal, el coeficiente de fricción es $0.4$, y la aceleración es $2\ \text{m s}^{-2}$. Encuentre la tensión en la cuerda.
La reacción normal es $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, por lo que la fricción es $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. A lo largo de la pendiente, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:
$$T = ma + mg\sin 20^\circ + F = 12(2) + 120\sin 20^\circ + 45.1 = 24 + 41.0 + 45.1 = 110\ \text{N (3 s.f.)}.$$
Explorar
Fuerza resultante
F = ma
La fuerza resultante determina la aceleración. Las fuerzas equilibradas ⇒ no hay aceleración.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| inclined plane/ɪnˈklaɪnd pleɪn/ | 斜面 | xié miàn |
| connected particles/kəˈnektɪd ˈpɑːtɪklz/ | 连接质点 | lián jiē zhì diǎn |
| work done/wɜːk dʌn/ | 功 | gōng |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | 动能 | dòng néng |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 重力势能 | zhòng lì shì néng |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | 能量守恒 | néng liàng shǒu héng |
| power/ˈpaʊə/ | 功率 | gōng lǜ |
| limiting equilibrium/ˈlɪmɪtɪŋ ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 极限平衡 | jí xiàn píng héng |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | 减速度 | jiǎn sù dù |
| thrust/θrʌst/ | 推力 | tuī lì |
| air resistance/eə rɪˈzɪstəns/ | 空气阻力 | kōng qì zǔ lì |
4.5
Energía, trabajo y potencia
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender el concepto de trabajo realizado por una fuerza, y calcular el trabajo realizado por una fuerza constante cuando su punto de aplicación experimenta un desplazamiento no necesariamente paralelo a la fuerza | $W = Fd \cos \theta$; No se requiere el uso del producto escalar. |
| • comprender los conceptos de energía potencial gravitatoria y energía cinética, y utilizar las fórmulas correspondientes | |
| • comprender y utilizar la relación entre el cambio de energía de un sistema y el trabajo realizado por las fuerzas externas, y aplicar en casos apropiados el principio de conservación de la energía | Incluyendo casos donde el movimiento puede no ser lineal (p. ej., un niño en un tobogán curvo liso), donde solo deben considerarse los cambios totales de energía. |
| • utilizar la definición de potencia como la rapidez con la que una fuerza realiza trabajo, y utilizar la relación entre potencia, fuerza y velocidad para una fuerza que actúa en la dirección del movimiento | Incluyendo el cálculo de la potencia (promedio) como $$\frac{\text{Trabajo realizado}}{\text{Tiempo transcurrido}}$$ $P = Fv$. |
| • resolver problemas que involucren, por ejemplo, la aceleración instantánea de un automóvil que se desplaza cuesta arriba contra una resistencia. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El trabajo realizado 功 por una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento —la fuerza multiplicada por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza: $W = Fd\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el movimiento. El trabajo se mide en julios (J).
La energía viene en formas que puedes calcular:
- Energía cinética 动能 (energía de movimiento): $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
- Energía potencial gravitatoria 重力势能 (energía de altura): $\text{PE} = mgh$.
El trabajo realizado por las fuerzas externas es igual al cambio en la energía total. Cuando no actúa fricción, la energía total se mantiene constante —la conservación de la energía 能量守恒.
La potencia 功率 es la tasa de realizar trabajo. Para una fuerza que tira en la dirección del movimiento, $P = Fv$ (potencia $=$ fuerza $\times$ velocidad). La potencia se mide en vatios (W).
Ejemplo resuelto. El motor de un coche funciona a $12\ \text{kW}$ mientras el coche se mueve a $20\ \text{m s}^{-1}$ en una carretera nivelada. Encuentre la fuerza motriz.
$$P = Fv \;\Rightarrow\; F = \frac{P}{v} = \frac{12000}{20} = 600\ \text{N}.$$
Explorar
Conservación de la energía
Deja caer el objeto y observa cómo cambia la energía. Sin fricción, GPE + KE permanece constante durante toda la caída.
4.5
Consejos para el examen
- Dibuje un diagrama de fuerzas claro y descomponga en componentes perpendiculares; para el equilibrio, cada dirección suma cero.
- Use SUVAT solo para aceleración constante y mantenga una dirección positiva consistente.
- Aplique $F = ma$ en la dirección del movimiento, incluyendo la fricción ($F = \mu R$) sobre una superficie rugosa.
- Indique sus suposiciones (cuerda ligera e inextensible, polea lisa, partícula) — a menudo valen un punto.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.