Este folleto cubre el Tema 1: Matemáticas Puras 纯数学 1. Es el núcleo de álgebra 代数 y cálculo 微积分 del curso. Cada ## sección es un subtema del plan de estudios.
Matemáticas Puras 1
A-Level Matemáticas · Tema 1
28:42
Matemáticas Puras 1
Observe un gran puente colgante. Su cable masivo no tiene forma aleatoria — cuelga en una parábola perfecta, una curva que puede escribirse con una sola ecuación. El…
Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
1.1
Cuadráticas
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| realizar el proceso de completar el cuadrado para un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ y utilizar una forma de cuadrado completado | p. ej. para localizar el vértice de la gráfica de $y = ax^2 + bx + c$ o para esbozar la gráfica |
| encontrar el discriminante de un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ y usar el discriminante | p. ej. para determinar el número de raíces reales de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. Se incluye el conocimiento del término 'raíz repetida'. |
| resolver ecuaciones cuadráticas e inecuaciones cuadráticas en una incógnita | Mediante factorización, completando el cuadrado y usando la fórmula. |
| resolver por sustitución un par de ecuaciones simultáneas de las que una sea lineal y la otra cuadrática | p. ej. $x + y + 1 = 0$ y $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ y $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| reconocer y resolver ecuaciones en $x$ que son cuadráticas en alguna función de $x$. | p. ej. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una cuadrática 二次式 es una expresión de la forma $ax^2 + bx + c$, donde $a \neq 0$. Las letras $a$, $b$, $c$ son los coeficientes 系数 (los números fijos). Gran parte de esta sección trata sobre resolver la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
Completar el cuadrado
Completar el cuadrado 配方 significa escribir la cuadrática en la forma
$$a(x + p)^2 + q.$$
Esta forma es útil: muestra el vértice 顶点 (punto de giro) de la curva en $(-p,\ q)$, y proporciona una forma rápida de resolver la ecuación.
Ejemplo resuelto. Escribe $9x^2 - 36x + 8$ en la forma $p(x + q)^2 + r$.
Saca el factor $9$ de los dos primeros términos, luego completa el cuadrado dentro:
$$\begin{aligned}
9x^2 - 36x + 8 &= 9\left(x^2 - 4x\right) + 8 \\
&= 9\left((x - 2)^2 - 4\right) + 8 \\
&= 9(x - 2)^2 - 36 + 8 = 9(x - 2)^2 - 28.
\end{aligned}$$
Así que $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.
El discriminante
El discriminante 判别式 de $ax^2 + bx + c$ es
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
Te indica cuántas raíces reales 实根 (soluciones reales) tiene la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$:
| Discriminante | Raíces |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | dos raíces reales distintas 相异 |
| $b^2 - 4ac = 0$ | una raíz real repetida |
| $b^2 - 4ac < 0$ | no hay raíces reales |
Ejemplo resuelto. Encuentra los valores de la constante $k$ para los cuales $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tenga dos raíces reales distintas.
Aquí $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para tener dos raíces reales distintas necesitas $b^2 - 4ac > 0$:
$$(k + 8)^2 - 4(3k)(3) > 0 \;\Rightarrow\; k^2 + 16k + 64 - 36k > 0 \;\Rightarrow\; k^2 - 20k + 64 > 0.$$
Factoriza: $(k - 4)(k - 16) > 0$, por lo tanto $k < 4$ o $k > 16$. También necesitas $a \neq 0$, así que $k \neq 0$.
Ecuaciones e inecuaciones cuadráticas
Para resolver una ecuación cuadrática 二次方程, factoriza, completa el cuadrado, o usa la fórmula
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
Para resolver una inecuación cuadrática 二次不等式 como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encuentra las dos raíces, luego decide qué lado de cada raíz hace que la afirmación sea verdadera. Un bosquejo de la parábola 抛物线 ayuda: la curva está por encima del eje $x$ (positiva) fuera de las raíces y por debajo (negativa) entre ellas.
Ecuaciones simultáneas
Para resolver un par de ecuaciones simultáneas 联立方程 donde una es lineal y la otra cuadrática, usa sustitución 代入: reorganiza la ecuación lineal para una letra, luego sustituye eso en la cuadrática. Esto da una sola cuadrática para resolver.
Ecuaciones que son cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones son cuadráticas en alguna función de $x$. Por ejemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ es cuadrática en $x^2$: haga $u = x^2$, resuelva $u^2 - 5u + 4 = 0$, luego vuelva a $x$. Usará esta idea nuevamente en trigonometría.
Explorar
La forma de una cuadrática
y = ax² + bx + c
Arrastra a, b y c. Observa cómo se mueven el vértice, la línea de simetría y las raíces (donde corta al eje x) a medida que cambian los coeficientes.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次式 | èr cì shì |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | 配方 | pèi fāng |
| vertex/ˈvɜːteks/ | 顶点 | dǐng diǎn |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| real roots/rɪəl ruːts/ | 实根 | shí gēn |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | 相异 | xiāng yì |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | 二次方程 | èr cì fāng chéng |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | 二次不等式 | èr cì bù děng shì |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 联立方程 | lián lì fāng chéng |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代入 | dài rù |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| one-one/wʌn wʌn/ | 一一对应 | yī yī duì yìng |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 复合 | fù hé |
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
1.2
Funciones
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender los términos función, dominio, imagen (o conjunto de valores), función inyectiva (uno a uno), función inversa y composición de funciones | |
| identificar la imagen (conjunto de valores) de una función dada en casos simples, y hallar la composición de dos funciones dadas | p. ej., imagen de $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ para $x \geqslant 1$ e imagen de $g : x \mapsto x^2 + 1$ para $x \in \mathbb{R}$. Incluyendo la condición de que una función compuesta $gf$ solo puede formarse cuando la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$. |
| determinar si una función dada es inyectiva (uno a uno) o no, y hallar la inversa de una función inyectiva en casos simples | p. ej., encontrar la inversa de $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ para $x < -\frac{3}{2}$. |
| ilustrar gráficamente la relación entre una función inyectiva (uno a uno) y su inversa | Los bocetos deben incluir una indicación de la recta reflejante $y = x$. |
| comprender y aplicar las transformaciones de la gráfica de $y = f(x)$ dadas por $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ y combinaciones sencillas de estas. | Incluyendo el uso de los términos ‘traslación’, ‘reflexión’ y ‘estiramiento’ para describir transformaciones. Las preguntas pueden implicar funciones algebraicas o trigonométricas, u otras gráficas con características dadas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una función 函数 es una regla que asigna cada entrada a exactamente una salida. Escríbala como $f(x)$. La composición de funciones 复合函数 $fg(x)$ significa aplicar primero $g$ y luego aplicar $f$ al resultado.
- El dominio 定义域 es el conjunto de entradas permitidas $x$.
- El rango 值域 es el conjunto de salidas que la función produce realmente.
Una función es uno-a-uno 一一对应 si las entradas diferentes siempre producen salidas diferentes. (Ninguna salida se repite.) Solo una función uno-a-uno tiene una función inversa 反函数 $f^{-1}$, que invierte la regla.
La composición 复合 de dos funciones significa hacer una después de la otra. $fg(x)$ significa "haga primero $g$, luego $f$": $fg(x) = f(g(x))$. La función compuesta $fg$ existe solo cuando el rango de $g$ está contenido dentro del dominio de $f$.
Encontrar una inversa
Para encontrar $f^{-1}$: escriba $y = f(x)$, despeje $x$, luego intercambie las letras.
Ejemplo resuelto. La función $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encuentre $f^{-1}(x)$.
Escriba $y = (x + 3)^2 - 12$ y resuelva para $x$:
$$(x + 3)^2 = y + 12 \;\Rightarrow\; x + 3 = \sqrt{y + 12} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y + 12} - 3.$$
Toma la raíz cuadrada positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Así que
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 12} - 3.$$
Gráficas de inversas y transformaciones
La gráfica de $y = f^{-1}(x)$ es la reflexión 反射 de $y = f(x)$ respecto a la recta $y = x$.
Deberías conocer estas transformaciones 变换 de $y = f(x)$:
| Nueva ecuación | Efecto en la gráfica |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | traslación 平移 hacia arriba en $a$ |
| $y = f(x + a)$ | traslación hacia la izquierda en $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | estiramiento 伸缩 en la dirección $y$, factor de escala $a$ |
| $y = f(ax)$ | estiramiento en la dirección $x$, factor de escala $\tfrac{1}{a}$ |
Cuando se combinan dos transformaciones, el orden puede importar. Enuncie cada una completamente (tipo, dirección y cantidad).
Explorar
Explorar una función
y = ax³ + bx² + cx + d
Una función convierte cada entrada en exactamente una salida — arrastra los coeficientes y observa dónde la curva sube y baja.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | 变换 | biàn huàn |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平移 | píng yí |
| stretch/stretʃ/ | 伸缩 | shēn suō |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | 坐标几何 | zuò biāo jǐ hé |
1.3
Geometría analítica
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| encontrar la ecuación de una recta dados datos suficientes | p. ej., dados dos puntos, o un punto y la pendiente. |
| interpretar y utilizar cualquiera de las formas $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ para resolver problemas | Incluyendo cálculos de distancias, pendientes, puntos medios, puntos de intersección y uso de la relación entre las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares. |
| comprender que la ecuación $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ representa una circunferencia con centro $(a, b)$ y radio $r$ | Incluyendo el uso de la forma desarrollada $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| usar métodos algebraicos para resolver problemas con rectas y circunferencias | Incluyendo el uso de propiedades geométricas elementales de las circunferencias, p. ej., tangente perpendicular al radio, ángulo en una semicircunferencia, simetría. La derivación implícita no está incluida. |
| comprender la relación entre una gráfica y su ecuación algebraica asociada, y usar la relación entre los puntos de intersección de gráficas y las soluciones de ecuaciones. | p. ej., para determinar el conjunto de valores de $k$ para los cuales la recta $y = x + k$ intersecta, toca o no se encuentra con una curva cuadrática. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Geometría analítica 坐标几何 estudia líneas y círculos mediante sus ecuaciones.
Rectas
La pendiente 斜率 (inclinación) de la recta que une $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$
Puede escribir la ecuación de una recta 直线方程 en cualquiera de estas formas:
$$y = mx + c, \qquad y - y_1 = m(x - x_1), \qquad ax + by + c = 0.$$
Dos rectas son paralelas 平行 cuando sus pendientes son iguales, y perpendiculares 垂直 (en ángulo recto) cuando el producto de sus pendientes es $-1$.
Círculos
El círculo 圆 con centro 圆心 $(a, b)$ y radio 半径 $r$ tiene ecuación
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$
Una forma desarrollada como $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ representa el mismo círculo: complete el cuadrado en $x$ y en $y$ para encontrar el centro y el radio.
Una tangente 切线 a un círculo lo toca en un solo punto y es perpendicular al radio en ese punto. Este hecho del ángulo recto resuelve la mayoría de los problemas sobre círculos.
Ejemplo resuelto. Los puntos $P(1, 1)$ y $Q(7, 11)$ son los extremos de un diámetro 直径 de un círculo. Encuentre la ecuación del círculo.
El centro es el punto medio de $PQ$:
$$\left(\frac{1 + 7}{2},\ \frac{1 + 11}{2}\right) = (4, 6).$$
El radio es la mitad de la longitud de $PQ$:
$$r = \tfrac12\sqrt{(7 - 1)^2 + (11 - 1)^2} = \tfrac12\sqrt{36 + 100} = \tfrac12\sqrt{136} = \sqrt{34}.$$
Por lo tanto, el círculo es $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.
Explorar
La recta
y = ax + b
La pendiente a inclina la recta; el intercepto b la desplaza verticalmente.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| centre/ˈsentə/ | 圆心 | yuán xīn |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| tangent/ˈtændʒənt/ | 切线 | qiè xiàn |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
1.4
Medida circular
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la definición de un radián, y utilizar la relación entre radianes y grados | |
| usar las fórmulas $s = r\theta$ y $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ para resolver problemas relacionados con la longitud de arco y el área de un sector de un círculo. | Incluye el cálculo de longitudes y ángulos en triángulos, así como áreas de triángulos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Radianes
Un radián 弧度 es otra manera de medir ángulos. Un radián es el ángulo en el centro de un círculo que subtiende un arco 弧 cuya longitud es igual al radio. El vínculo entre radianes y grados 度 es
$$\pi \text{ radians} = 180^\circ.$$
Así que para cambiar grados a radianes, multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$; para cambiar radianes a grados, multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$.
Longitud de arco y área de sector
Para un sector 扇形 con radio $r$ y ángulo $\theta$ en radianes:
$$\text{arc length} = s = r\theta, \qquad \text{sector area} = A = \tfrac12 r^2 \theta.$$
Una cuerda 弦 divide el sector en un triángulo y un segmento 弓形. El área del segmento es el área del sector menos el área del triángulo:
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2 \theta - \tfrac12 r^2 \sin\theta = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta).$$
Ejemplo resuelto. Un sector tiene su centro en $O$ y el ángulo en $O$ es $\tfrac{2}{3}\pi$ radianes. Demuestre que el área del segmento recortado por la cuerda es aproximadamente $0.614 r^2$.
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2\left(\tfrac{2}{3}\pi - \sin\tfrac{2}{3}\pi\right) = \tfrac12 r^2(2.0944 - 0.8660) = \tfrac12 r^2(1.2284) \approx 0.614 r^2.$$
Explorar
Radianes, arcos y sectores
Cambia el ángulo (en radianes) y el radio. Observa cómo se actualizan la longitud de arco $s = r\theta$ y el área del sector $\tfrac12 r^2\theta$.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | 弧度 | hú dù |
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | 度 | dù |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| chord/kɔːd/ | 弦 | xián |
| segment/ˈseɡmənt/ | 弓形 | gōng xíng |
1.5
Trigonometría
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| esbozar y utilizar gráficas de las funciones seno, coseno y tangente (para ángulos de cualquier magnitud, utilizando tanto grados como radianes) | Incluyendo p. ej. $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| utilizar los valores exactos del seno, coseno y tangente de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ y ángulos relacionados | p. ej. $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| utilizar las notaciones $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ para denotar los valores principales de las relaciones trigonométricas inversas | No se requiere conocimiento especializado de estas funciones, pero sí se espera que comprendan su naturaleza como ejemplos de funciones inversas. |
| utilizar las identidades $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ y $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | p. ej. en la demostración de identidades, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones. |
| encontrar todas las soluciones de ecuaciones trigonométricas simples dentro de un intervalo especificado (las formas generales de solución no están incluidas). | p. ej. resolver $3 \sin 2x + 1 = 0$ para $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ para $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Gráficas y valores exactos
Debes conocer la forma de las gráficas de las funciones seno 正弦, coseno 余弦 y tangente 正切 (escritas $\sin$, $\cos$, $\tan$). Las gráficas del seno y el coseno oscilan entre $-1$ y $1$ y se repiten cada $360^\circ$ ($2\pi$). Aprende estos valores exactos:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Las notaciones $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ significan el ángulo inverso (el valor principal 主值).
Identidades
Una identidad 恒等式 es verdadera para todo valor del ángulo. Las dos que debes conocer son
$$\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1.$$
Úsalas para reescribir una ecuación de modo que contenga solo una función trigonométrica.
Resolución de ecuaciones trigonométricas
Para resolver una ecuación trigonométrica 三角方程, primero redúcela a una sola función y luego encuentra todas las soluciones en el intervalo dado.
Ejemplo resuelto. Resuelve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiplicando por $\sin\theta$ se elimina la fracción. Esto produce una ecuación cuadrática en $\sin\theta$:
$$6\sin^2\theta - \sin\theta - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (3\sin\theta - 2)(2\sin\theta + 1) = 0.$$
Por lo tanto, $\sin\theta = \tfrac23$ o $\sin\theta = -\tfrac12$.
- $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ o $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
- $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ o $\theta = -150^\circ$.
Las cuatro soluciones son $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Explorar
Gráficas de seno y coseno
Arrastra la amplitud, el periodo y los desplazamientos de y = a·sin(bx + c) + d y observa cómo cambia la curva respecto a la onda base.
Explorar
Seno y coseno en el círculo unitario
Arrastra el ángulo alrededor del círculo unitario. La altura es $\sin\theta$, la distancia horizontal es $\cos\theta$: de ahí vienen los gráficos.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | 正切 | zhèng qiē |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | 主值 | zhǔ zhí |
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 | héng děng shì |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二项式系数 | èr xiàng shì xì shù |
| progression/prəˈɡreʃn/ | 数列 | shù liè |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | 等差数列 | děng chā shù liè |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 公差 | gōng chāi |
1.6
Serie
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar la expansión de $(a + b)^n$, donde $n$ es un entero positivo | Incluye las notaciones $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ y $n!$. No se requiere conocimiento del término mayor ni de las propiedades de los coeficientes. |
| reconocer progresiones aritméticas y geométricas | |
| usar las fórmulas para el término $n$-ésimo y para la suma de los primeros $n$ términos para resolver problemas que involucren progresiones aritméticas o geométricas | Incluye el conocimiento de que los números $a$, $b$, $c$ están en progresión aritmética si $2b = a + c$ (o equivalente) y están en progresión geométrica si $b^2 = ac$ (o equivalente). Las preguntas pueden involucrar más de una progresión. |
| usar la condición de convergencia de una progresión geométrica, y la fórmula para la suma al infinito de una progresión geométrica convergente. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La expansión binomial
Para un entero positivo $n$, la expansión binomial es
$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n,$$
donde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ es un coeficiente binomial.
Ejemplo resuelto. Encuentre los primeros tres términos, en potencias crecientes de $x$, de $(2 - px)^5$.
$$(2 - px)^5 = 2^5 + \binom{5}{1}2^4(-px) + \binom{5}{2}2^3(-px)^2 + \cdots = 32 - 80px + 80p^2x^2 + \cdots$$
Progresiones aritméticas y geométricas
Una progresión es una lista de términos que siguen una regla.
- Una progresión aritmética (PA) suma una diferencia común fija $d$ en cada paso. El $n$mo término es $u_n = a + (n - 1)d$, y la suma de los primeros $n$ términos es $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
- Una progresión geométrica (PG) multiplica por una razón común fija $r$ en cada paso. El $n$mo término es $u_n = ar^{\,n-1}$, y $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.
Una PG es convergente — converge (se asienta en un límite) — cuando $|r| < 1$. Entonces tiene una suma al infinito
$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}.$$
Ejemplo resuelto. El tercer término de una PG es $18$ y la suma de los primeros tres términos es $26$. La razón común es negativa. Encuentre la suma al infinito.
De $ar^2 = 18$ se obtiene $a = \dfrac{18}{r^2}$. Sustituyendo esto en $a(1 + r + r^2) = 26$:
$$18(1 + r + r^2) = 26r^2 \;\Rightarrow\; 8r^2 - 18r - 18 = 0 \;\Rightarrow\; (4r + 3)(r - 3) = 0.$$
La razón es negativa, así que $r = -\tfrac34$ y $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Entonces
$$S_\infty = \frac{32}{1 - (-\tfrac34)} = \frac{32}{\tfrac74} = \frac{128}{7}.$$
Explorar
Secuencias aritméticas y geométricas
Alterna entre una secuencia aritmética (sumar d) y una geométrica (multiplicar por r) y observa cómo se construyen los términos y su suma.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 系数 | xì shù |
1.7
Diferenciación
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la pendiente de una curva en un punto como el límite de las pendientes de una secuencia adecuada de cuerdas, y utilizar las notaciones $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ y $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ para las primeras y segundas derivadas | Solo se espera una comprensión informal de la idea de límite. p. ej., incluye la consideración de la pendiente de la cuerda que une los puntos con coordenadas $x$ de $2$ y $(2 + h)$ en la curva $y = x^3$. No se requiere el uso formal del método general de diferenciación desde primeros principios. |
| usar la derivada de $x^n$ (para cualquier racional $n$), junto con multiplicadores constantes, sumas y restas de funciones, y de funciones compuestas utilizando la regla de la cadena | p. ej., encontrar $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, dado $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| aplicar la diferenciación a pendientes, tangentes y normales, funciones crecientes y decrecientes y tasas de cambio | Incluyendo tasas de cambio conectadas, p. ej., dado la tasa de aumento del radio de un círculo, encontrar la tasa de aumento del área para un valor específico de una de las variables. |
| localizar puntos estacionarios y determinar su naturaleza, y utilizar información sobre puntos estacionarios al esbozar gráficas. | Incluye el uso de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos; pueden usarse alternativas en preguntas donde no se especifica un método. El conocimiento de puntos de inflexión no está incluido. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Diferenciación encuentra la pendiente de una curva en cada punto. La pendiente es el límite de las pendientes de cuerdas cada vez más cortas, llamado derivada.
Las reglas
Escribe la derivada como $f'(x)$ o $\dfrac{dy}{dx}$. La regla básica es
$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1} \quad \text{for any rational } n.$$
Deriva sumas término a término, y usa la regla de la cadena 链式法则 para una función dentro de otra:
$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
Derivar nuevamente da la segunda derivada 二阶导数 $f''(x)$ o $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Usando la derivada
- Tangente y normal. La pendiente de la curva en un punto es la pendiente de la tangente allí. La normal 法线 es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente es $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
- Creciente o decreciente. La función es una función creciente 增函数 donde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, y una función decreciente 减函数 donde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
- Tasa de cambio. Una derivada es una tasa de cambio 变化率. Las tasas relacionadas usan la regla de la cadena, p. ej., $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.
Puntos estacionarios
Un punto estacionario 驻点 es donde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Prueba su naturaleza con la segunda derivada: $f''(x) > 0$ da un punto mínimo 极小值点, y $f''(x) < 0$ da un punto máximo 极大值点. Cuando $f''(x) = 0$ la prueba es inconclusa: el punto puede ser un punto de inflexión 拐点, donde la curva cambia de concavidad (la forma en que se curva) – verifica el signo de $\dfrac{dy}{dx}$ justo antes y después para decidir.
Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ tiene un punto máximo en $x = a$. Encuentra $a$.
$$\frac{dy}{dx} = 2x^{-1/2} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 2 \;\Rightarrow\; x = 4.$$
Entonces $a = 4$.
Explorar
La pendiente en un punto
y = ax³ + bx² + cx + d
Desliza el punto a lo largo de la curva. La tangente muestra la pendiente $\frac{dy}{dx}$ allí: más pronunciada donde la curva se curva más.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | 直线方程 | zhí xiàn fāng chéng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分 | wēi fēn |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | 曲线斜率 | qū xiàn xié lǜ |
| limit/ˈlɪmɪt/ | 极限 | jí xiàn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 导数 | dǎo shù |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 链式法则 | liàn shì fǎ zé |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | 二阶导数 | èr jiē dǎo shù |
| normal/ˈnɔːml/ | 法线 | fǎ xiàn |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 增函数 | zēng hán shù |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 减函数 | jiǎn hán shù |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 变化率 | biàn huà lǜ |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 驻点 | zhù diǎn |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | 极小值点 | jí xiǎo zhí diǎn |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | 极大值点 | jí dà zhí diǎn |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | 拐点 | guǎi diǎn |
1.8
Integración
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la integración como el proceso inverso a la diferenciación, e integrar $(ax + b)^n$ (para cualquier racional $n$ excepto $-1$), junto con multiplicadores constantes, sumas y diferencias | ej. $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| resolver problemas que impliquen la evaluación de una constante de integración | ej. para encontrar la ecuación de la curva que pasa por $(1, -2)$ para la cual $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluar integrales definidas | Incluyendo casos simples de integrales 'impropias', tales como $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ y $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| usar la integración definida para encontrar: - el área de una región acotada por una curva y líneas paralelas a los ejes, o entre una curva y una línea, o entre dos curvas - un volumen de revolución respecto a uno de los ejes. | Un volumen de revolución puede implicar una región no acotada por el eje de rotación, ej. la región entre $y = 9 - x^2$ y $y = 5$ rotada alrededor del eje $x$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La integración 积分 es lo opuesto a la derivación. Invertir la regla de la potencia da
$$\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \quad (n \neq -1).$$
El $+\,C$ es la constante de integración 积分常数. Si conoces un punto en la curva, sustitúyelo para encontrar $C$.
Integrales definidas y área
Una integral definida 定积分 tiene límites y da un número:
$$\int_p^q f(x)\, dx = \big[F(x)\big]_p^q = F(q) - F(p).$$
El área de la región 区域 entre una curva y el eje $x$, desde $x = p$ hasta $x = q$, es $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Para el área entre dos curvas, integra (curva superior $-$ curva inferior).
Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ corta nuevamente al eje $x$ en $x = 16$. Encuentre el área entre la curva y el eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$.
$$\int_0^4 \left(4x^{1/2} - x\right) dx = \left[\frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{8}{3}(8) - \frac{16}{2} = \frac{64}{3} - 8 = \frac{40}{3}.$$
Una integral impropia (广义积分) tiene un límite infinito o un extremo donde el integrando no está definido; evalúela como un límite. Por ejemplo,
$$\int_1^{\infty}x^{-2}\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1,$$
y $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, que es finita a pesar de que el integrando tiende a infinito en $x=0$.
Volumen de revolución
Cuando una región gira completamente alrededor de un eje, genera un sólido. El volumen de revolución (旋转体体积) respecto al eje $x$ es
$$V = \pi \int_p^q y^2 \, dx,$$
y respecto al eje $y$ es $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por ejemplo, la región bajo $y = \sqrt{x}$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$, girada alrededor del eje $x$, tiene volumen $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.
Explorar
Área bajo una curva
y = ax³ + bx² + cx + d
Arrastra los límites. La integral definida es el área sombreada entre la curva y el eje x.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分 | jī fēn |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分常数 | jī fēn cháng shù |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定积分 | dìng jī fēn |
| region/ˈriːdʒn/ | 区域 | qū yù |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | 广义积分 | guǎng yì jī fēn |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转体体积 | xuán zhuǎn tǐ tǐ jī |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | 代数 | dài shù |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | 微积分 | wēi jī fēn |
1.8
Consejos para el examen
- Muestre cada línea de álgebra: los puntos del método se pierden al omitir pasos; use el discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar el número de raíces reales.
- Trabaje en radianes para medidas circulares (arco $= r\theta$, área de sector $= \frac{1}{2}r^2\theta$) y para el cálculo de funciones trigonométricas.
- Para la derivación, iguale $\frac{dy}{dx} = 0$ para encontrar puntos estacionarios y utilice la segunda derivada para clasificarlos.
- Para la integración, añada $+ c$ a una integral indefinida y use límites para calcular áreas; un área debajo del eje produce una integral negativa.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| term/tɜːm/ | 项 | xiàng |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | 等比数列 | děng bǐ shù liè |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 | gōng bǐ |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.