Matemáticas Puras 1

Una cuadrática es una expresión de la forma $ax^2 + bx + c$, donde $a \neq 0$. Las letras $a$, $b$ y $c$ son los coeficientes (números fijos). Gran parte de esta sección trata sobre resolver la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.

Completar el cuadrado

Completar el cuadrado significa escribir la cuadrática en la forma

Esta forma es útil: muestra el vértice (punto de inflexión) de la curva en $(-p,\ q)$ y ofrece un método rápido para resolver la ecuación.

Ejemplo resuelto. Escribe $9x^2 - 36x + 8$ en la forma $p(x + q)^2 + r$.

Saca el factor $9$ de los dos primeros términos, luego completa el cuadrado dentro:

Así que $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

El discriminante

El discriminante de $ax^2 + bx + c$ es

Indica cuántas raíces reales (soluciones reales) tiene la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$:

Discriminante	Raíces
$b^2 - 4ac > 0$	dos raíces reales distintas
$b^2 - 4ac = 0$	una raíz real repetida
$b^2 - 4ac < 0$	no hay raíces reales

Ejemplo resuelto. Encuentra los valores de la constante $k$ para los cuales $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tenga dos raíces reales distintas.

Aquí $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para tener dos raíces reales distintas necesitas $b^2 - 4ac > 0$:

Factoriza: $(k - 4)(k - 16) > 0$, por lo tanto $k < 4$ o $k > 16$. También necesitas $a \neq 0$, así que $k \neq 0$.

Ecuaciones e inecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrática, factorice, complete el cuadrado o use la fórmula

Para resolver una desigualdad cuadrática como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encuentre las dos raíces y decida qué lado de cada raíz hace que la afirmación sea verdadera. Un boceto de la parábola ayuda: una curva que se abre hacia arriba con dos raíces distintas está por encima del eje $x$ (positiva) fuera de las raíces y por debajo (negativa) entre ellas.

Ejercicio resuelto de desigualdades. Resuelva $-x^2+4x-3\geq0$. Multiplicar por $-1$ invierte la desigualdad:

Los factores tienen signos opuestos entre las raíces, así que $1\leq x\leq3$. Se permite la igualdad en ambos extremos. Evaluar $x=2$ en la expresión original da $-1$, lo cual satisface la desigualdad; un punto exterior, como $x=0$, da $3$, lo cual no. No seleccione automáticamente los intervalos exteriores cuando el coeficiente principal original es negativo.

Para un coeficiente principal negativo, la constante al completar el cuadrado es un máximo: $-2x^2+12x-11=-2(x-3)^2+7$ tiene un máximo de $7$ en $x=3$. Completar el cuadrado sigue funcionando; el cambio de signo altera la interpretación.

Ecuaciones simultáneas

Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas donde una es lineal y otra cuadrática, use sustitución: despeje una variable en la ecuación lineal y sustitúyala en la cuadrática. Esto genera una única ecuación cuadrática para resolver.

Sustitución resuelta. Resuelva $x+2y=7$ y $x^2+4y^2=25$. La ecuación lineal da $x=7-2y$, por lo tanto

La factorización da $(2y-3)(y-2)=0$, de donde $y=\tfrac32$ o $2$. Recupere los valores correspondientes de $x$: las soluciones son $(4,\tfrac32)$ y $(3,2)$. Cada par proporciona $x+2y=7$ y $x^2+4y^2=25$. Mantenga la asociación al presentar las respuestas.

Al buscar intersecciones, forme primero la ecuación común. Para $y=x^2-2x+3$ y $y=x+k$, la ecuación de intersección es $x^2-3x+3-k=0$ y su discriminante es $4k-3$. No tiene intersección real para $k<\tfrac34$, una intersección repetida para $k=\tfrac34$, y dos para $k>\tfrac34$. El punto límite es $(\tfrac32,\tfrac94)$.

Ecuaciones que son cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones son cuadráticas en alguna función de $x$. Por ejemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ es cuadrática en $x^2$: haga $u = x^2$, resuelva $u^2 - 5u + 4 = 0$, luego vuelva a $x$. Usará esta idea nuevamente en trigonometría.

Aquí $(u-1)(u-4)=0$, por lo tanto $x^2=1$ o $4$ y $x=\pm1,\pm2$. Siempre vuelva de la sustitución a la variable original.

Sustitución con raíz cuadrada resuelta. Para $6x+\sqrt{x}-1=0$, haga $v=\sqrt{x}\geq0$. Entonces

Solo $v=\tfrac13$ es admisible; $v=-\tfrac12$ no puede ser una raíz cuadrada. Así $x=v^2=\tfrac19$, que satisface la ecuación original. Elevar al cuadrado un valor negativo rechazado no es un método válido para recuperar otra solución.

Uso de raíces dadas para hallar constantes

Una raíz es una entrada que produce cero. Sustituya cada raíz declarada en el polinomio original para obtener condiciones simultáneas, o expanda su forma de raíz y compare coeficientes. Si las raíces son $\alpha$ y $\beta$, entonces

Ejemplo resuelto. Suponga que $px^2+6x-8$ tiene raíces $2m$ y $-4m$, con $p,m\ne0$. Expandir $p(x-2m)(x+4m)$ da $px^2+2pmx-8pm^2$. Por consiguiente $pm=3$ y $pm^2=1$, resultando en $m=\tfrac13$ y $p=9$. Ambas raíces reales $\tfrac23$ y $-\tfrac43$ satisfacen $9x^2+6x-8=0$. No asuma que un parámetro es positivo a menos que la pregunta indique esa condición.

Una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Escríbala como $f(x)$. La composición de funciones $fg(x)$ significa aplicar $g$ primero, luego aplicar $f$ al resultado.

• El dominio es el conjunto de entradas permitidas $x$.
• El rango es el conjunto de salidas que la función produce realmente.

Una función es inyectiva si entradas diferentes siempre producen salidas diferentes. (Ninguna salida se repite.) Solo una función inyectiva tiene una función inversa $f^{-1}$, que invierte la regla.

La composición de dos funciones implica realizar una tras otra. $fg(x)$ significa "hacer $g$ primero, luego $f$": $fg(x) = f(g(x))$. La función compuesta $fg$ existe solo si el rango de $g$ está contenido en el dominio de $f$.

Esta condición aplica a todo el dominio declarado de la función interna. Si $f(x)=\sqrt x$ para $x\geq0$ y $g(x)=x-3$ para todos los reales $x$, $fg(x)=\sqrt{x-3}$ no está definida en todo ese dominio interno. Una nueva restricción $x\geq3$ hace válida la fórmula allí; declare explícitamente ese cambio.

Para encontrar un rango, verifique si se alcanza un límite. Para $x\geq1$, el rango de $1/x$ es $0<y\leq1$; cero se aproxima pero nunca se alcanza. Un cuadrático restringido también necesita su dominio real: $(x-1)^2+2$ para $x\geq3$ tiene rango $y\geq6$, ya que se excluye la entrada del vértice.

Condición de extremo abierto. Sea $F(x)=1/(x-2)$ para $x>2$ y $G(x)=3x+2$ para $x>a$. El rango de $G$ es $(3a+2,\infty)$. Yace completamente en el dominio de $F$ cuando $3a+2\geq2$, por lo tanto $a\geq0$. La igualdad está permitida porque el extremo inferior de ese rango no se alcanza. Para $a<0$, la entrada admisible $0$ produce la salida prohibida $G(0)=2$.

Encontrar una inversa

Para encontrar $f^{-1}$: escriba $y = f(x)$, despeje $x$, luego intercambie las letras.

Ejemplo resuelto. La función $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encuentre $f^{-1}(x)$.

Escriba $y = (x + 3)^2 - 12$ y resuelva para $x$:

Toma la raíz cuadrada positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Así que The original range is $[-3,\infty)$, attained from original inputs $x\geq0$. Therefore the inverse has domain $x\geq-3$ and range $f^{-1}(x)\geq0$. Merely requiring the radical to be real would give the larger, incorrect inverse domain $x\geq-12$.

Una restricción diferente puede requerir la rama negativa de la raíz cuadrada. Para $h(x)=(x+1)^2-5$ con $x\leq-1$, resuelva $y+5=(x+1)^2$ usando $x+1\leq0$:

Su rango es $h^{-1}(x)\leq-1$. El extremo $(-1,-5)$ se refleja en $(-5,-1)$ y el punto $(-3,-1)$ se refleja en $(-1,-3)$. Una respuesta de tipo $\pm$ no definiría una función inversa uno a uno. La inversa también es diferente del recíproco $1/h(x)$.

Para invertir un compuesto de funciones compatibles uno a uno, invierta su orden: $(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$. Alternativamente, forme primero la regla compuesta y luego invértala con la restricción de dominio original.

Por ejemplo, $f(x)=(x-1)^2+2$ para $x\leq1$ y $g(x)=5-x$ dan como resultado $H(x)=gf(x)=3-(x-1)^2$, con rango $H(x)\leq3$. Resolver $y=3-(x-1)^2$ usando $x-1\leq0$ da como resultado $H^{-1}(x)=1-\sqrt{3-x}$ para $x\leq3$, con rango $H^{-1}(x)\leq1$. Composicionar e luego invertir mantiene visible toda la condición de rama.

Gráficas de inversas y transformaciones

La gráfica de $y = f^{-1}(x)$ es la reflejo de $y = f(x)$ respecto a la recta $y = x$.

Debes conocer estas transformaciones de $y = f(x)$: En las descripciones de estiramiento a continuación tome $a>0$. Los multiplicadores negativos también requieren una reflexión: $-f(x)$ se refleja en el eje $x$ y $f(-x)$ se refleja en el eje $y$.

Nueva ecuación	Efecto en la gráfica
$y = f(x) + a$	traslación hacia arriba en $a$
$y = f(x + a)$	traslación hacia la izquierda en $a$
$y = a\,f(x)$	estiramiento en dirección $y$, factor de escala $a$
$y = f(ax)$	estiramiento en la dirección $x$, factor de escala $\tfrac{1}{a}$

Cuando se combinan dos transformaciones, el orden puede importar. Enuncie cada una completamente (tipo, dirección y cantidad).

Para $g(x)=2f(x+3)-1$, use dos transformaciones: estire verticalmente por un factor de $2$, luego traduzca por $(-3,-1)$ (izquierda $3$ y abajo $1$ juntos). Un punto $(4,5)$ se convierte en $(4,10)$, luego en $(1,9)$. Invertir esas mismas operaciones da como resultado $2(f(x+3)-1)=2f(x+3)-2$, una gráfica diferente. Si se requieren dos transformaciones, combine los desplazamientos horizontal y vertical en una sola traslación. Para un multiplicador horizontal $f(ax)$, un punto $(s,t)$ se mueve a $(s/a,t)$; el factor de escala es recíproco, no $a$.

La geometría analítica conecta posiciones, distancias e intersecciones con el álgebra. Una línea recta puede cruzar una frontera circular dos veces, tocarla una vez o no tocarla. Resuelva sus ecuaciones juntas para distinguir estos casos exactamente.

Elija y verifique una ecuación de línea

Para dos puntos con diferentes coordenadas $x$, la pendiente es

Las formas útiles de una ecuación de una línea recta son

Por ejemplo, a través de $(2,3)$ y $(6,11)$ la pendiente es $2$. La misma línea es $y-3=2(x-2)$, $y=2x-1$, o $2x-y-1=0$. Sustituya cada punto dado para verificar. En $2x-3y+6=0$, reordenando se obtiene $y=\tfrac23x+2$, por lo que la pendiente es $2/3$, no $2$.

Líneas paralelas distintas no verticales tienen pendientes iguales. Para líneas perpendiculares con pendientes finitas, $m_1m_2=-1$. Las líneas horizontales $y=h$ tienen pendiente cero; las líneas verticales $x=k$ tienen pendiente indefinida. Son perpendiculares, pero la regla del producto no se puede usar para una línea vertical. A través de $(4,-2)$, las líneas horizontal y vertical son $y=-2$ y $x=4$.

Distancias, puntos medios y mediatrices

Pitágoras da la distancia entre dos puntos:

El punto medio es

Una mediatriz pasa por este punto medio en ángulo recto respecto al segmento. Cada punto sobre ella está a igual distancia de los dos extremos.

Ejercicio resuelto. Para $P(-1,2)$ y $Q(5,6)$, $PQ=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$ y $M=(2,4)$. La pendiente del segmento es $2/3$, por lo que la pendiente de la bisectriz es $-3/2$. Su ecuación es

El punto medio solo no es una ecuación, y una perpendicular a través de un extremo no es una bisectriz. Si $PQ$ es horizontal, su bisectriz es la línea vertical a través de $M$; no tome el recíproco de cero.

Lea un círculo en dos formas

Un círculo con centro $(a,b)$ y radio positivo $r$ tiene ecuación

Una ecuación expandida necesita completar ambos cuadrados:

El centro es $(3,-5)$ y el radio $\sqrt{61}$. En general, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ da como centro $(-g,-f)$ y $r^2=g^2+f^2-c$. Compruebe que $r^2>0$ para un círculo real de radio positivo. Si es negativo no hay puntos reales; si es cero solo hay un punto. Sustituya un punto propuesto en la ecuación para verificarlo.

Use un diámetro, un semicírculo o simetría

Ejemplo resuelto. Los puntos $P(1,1)$ y $Q(7,11)$ son los extremos de un diámetro. Su punto medio es $(4,6)$ y su semilargo es

El círculo es $(x-4)^2+(y-6)^2=34$. El punto medio de una cuerda general no necesariamente es el centro: importa la condición de diámetro.

El ángulo formado en cualquier otro punto de este círculo por líneas hacia $P$ y $Q$ es $90^\circ$: es un ángulo inscrito en un semicírculo. Para una cuerda que no sea diámetro, la línea desde el centro hasta su punto medio es perpendicular a la cuerda y constituye un eje de simetría. Use esto para recuperar un punto de intersección reflejado o una coordenada faltante.

Por ejemplo, $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ tiene extremos de diámetro $A(0,0)$ y $B(4,2)$. El punto $D(4,0)$ se encuentra sobre él y $\angle ADB=90^\circ$. La cuerda $AD$ tiene punto medio $(2,0)$, por lo que su mediatriz $x=2$ pasa por el centro y refleja $A$ sobre $D$.

Tangentes: puntos de contacto conocidos y desconocidos

Una tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.

Para el círculo centrado en $(2,1)$ anterior, el radio hacia $B(4,2)$ tiene pendiente $1/2$. La tangente tiene pendiente $-2$, así que $y-2=-2(x-4)$, o bien $2x+y=10$. Use $B$ en esta ecuación, no el centro. En la parte superior e inferior las tangentes son horizontales, $y=1\pm\sqrt5$; en la izquierda y derecha son verticales, $x=2\pm\sqrt5$.

Ejemplo resuelto: puntos de contacto desconocidos. Encuentre ambos puntos en este círculo donde la pendiente de la tangente es $-2$. La pendiente del radio debe ser $1/2$, y la línea del radio que pasa por el centro es $y-1=\tfrac12(x-2)$. Introduzca $u=x-2$ y sustituya:

Los puntos de contacto son $(4,2)$ y $(0,0)$, con ecuaciones de tangente $2x+y=10$ y $2x+y=0$. Una dirección de tangente dada normalmente produce dos puntos de contacto opuestos. Mantenga raíces exactas cuando las soluciones no sean enteros. La geometría del radio y la sustitución son suficientes; aquí no se requiere derivación de círculos.

Intersecciones y límites de parámetros

Sustituya una recta en un círculo para obtener una cuadrática, resuelva para una coordenada y recupere la otra. En $(x-2)^2+(y-1)^2=5$, la recta $y=0$ da $(x-2)^2=4$, por lo tanto los puntos $(0,0)$ y $(4,0)$.

Para la familia $y=k$, el mismo círculo proporciona

Hay dos puntos cuando $1-\sqrt5<k<1+\sqrt5$, un punto de tangencia en cada límite, y ningún punto fuera de ese intervalo. En cada límite $x=2$. Para una recta inclinada general, el discriminante de la cuadrática resultante es positivo, cero o negativo en los mismos tres casos. Una raíz repetida equivale a un punto.

Para una recta y una curva cuadrática, iguale las dos expresiones para $y$. Para $y=x^2$ y $y=2x+k$:

Así hay dos intersecciones para $k>-1$, una para $k=-1$ en $(1,1)$, y ninguna para $k<-1$. Demuestre la condición algebraica; un boceto solo no prueba un límite exacto. Algunas familias tienen discriminante positivo para todo parámetro real, por lo que siempre se intersectan dos veces. Verifique por separado si un parámetro podría hacer que el coeficiente cuadrático sea cero.

Construir un círculo a partir de distancias axiales

Un círculo completamente en el primer cuadrante tiene centro $(a,b)$ y radio $r$. Sus distancias mínimas al eje $y$ y al eje $x$ son $a-r$ y $b-r$, respectivamente.

Ejemplo resuelto. La distancia al eje $y$ es $1$, la distancia al eje $x$ es $3$, y la distancia desde el origen hasta el centro es $\sqrt{34}$. Entonces el centro está en $(r+1,r+3)$, por lo tanto

Rechace el radio negativo. Por lo tanto $r=2$, centro $(3,5)$, y ecuación $(x-3)^2+(y-5)^2=4$. El punto más alejado del origen yace a lo largo del rayo desde el origen hacia el centro: su radio tiene pendiente $5/3$, por lo que su pendiente tangente es $-3/5$.

Comprobación independiente. Para otro círculo, las distancias mínimas a los ejes $x$ y $y$ son $6$ y $2$ respectivamente, y su centro está a $4\sqrt5$ del origen. Encuentre el radio, el centro, la ecuación del círculo y la pendiente de la tangente en su punto más alejado del origen. Establezca primero las coordenadas del centro antes de calcular.

Verifique después de intentar: Si el centro es $(r+2,r+6)$, entonces $(r+2)^2+(r+6)^2=80$. Así, $(r+10)(r-2)=0$, $r=2$, el centro es $(4,8)$ y la ecuación es $(x-4)^2+(y-8)^2=4$. La dirección del radio tiene pendiente $2$, por lo que la pendiente de la tangente es $-1/2$.

Un límite curvo puede contener un arco y varios bordes rectos. Identifique cada pieza antes de calcular. Un sector, un triángulo y un segmento circular tienen áreas y perímetros diferentes.

Definir un radián y convertir ángulos

Un radián es el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio. Dado que $\theta=s/r$, una vuelta completa equivale a $(2\pi r)/r=2\pi$ radianes. Por lo tanto

Multiplique los grados por $\pi/180$ para obtener radianes, o multiplique los radianes por $180/\pi$ para obtener grados. Por ejemplo, $150^\circ=5\pi/6$ radianes y $7\pi/4$ radianes equivalen a $315^\circ$. Los ángulos pueden exceder una vuelta: $450^\circ=5\pi/2$ radianes.

Fórmulas de sector, perímetro y problemas inversos

Para un sector con radio $r$ y ángulo $\theta$ en radianes,

Aquí $s$ es la longitud del arco y $A$ es el área del sector. El perímetro completo de un sector es $s+2r$. Distinga entre unidades lineales y cuadradas. Convierta un ángulo en grados antes de usar estas fórmulas, y use el modo calculadora de radianes para su seno o coseno.

Si se dan la longitud de arco y el área, elimine el ángulo: $A=rs/2$, por lo tanto $r=2A/s$ y luego $\theta=s/r$.

Ejemplo resuelto. Una longitud de arco de $8\text{ cm}$ y un área de sector de $24\text{ cm}^2$ dan como resultado $r=6\text{ cm}$, $\theta=4/3$ radianes y un perímetro completo de $20\text{ cm}$. El arco solo no constituye el perímetro.

Cuerdas y segmentos circulares menores

Para un ángulo central menor $0<\theta<\pi$, bisecte el triángulo isósceles formado por dos radios y su cuerda. Esto proporciona

El segmento circular se encuentra entre la cuerda y el arco. El segmento menor es igual al sector menor menos el triángulo:

Su perímetro es $r\theta+c$, no $r\theta+2r$.

Para $r=5\text{ cm}$ y $\theta=2$ radianes, la longitud del arco es $10\text{ cm}$, el área del sector es $25\text{ cm}^2$ y el área del segmento menor es $12.5(2-\sin2)\approx13.6\text{ cm}^2$. El perímetro del segmento menor es $10+10\sin1\approx18.4\text{ cm}$.

Segmentos mayores

El segmento mayor es el resto del círculo tras eliminar el segmento menor:

Su arco usa el ángulo $2\pi-\theta$, por lo que su perímetro es $r(2\pi-\theta)+c$.

Ejemplo resuelto. Radio $4\text{ cm}$ y cuerda $4\sqrt3\text{ cm}$ dan $\sin(\theta/2)=\sqrt3/2$. El ángulo menor es $2\pi/3$, el área del triángulo es $4\sqrt3$, y

La longitud del arco mayor es $16\pi/3\text{ cm}$. Sume la cuerda para obtener el perímetro de su segmento. La región mayor incluye el triángulo; no es solo el sector mayor.

Límites compuestos: nombre las piezas

Worked example. Let $OA=OB=10\text{ cm}$, $\angle AOB=1$ radian. Remove the sector of radius $4\text{ cm}$, centred at $O$, from triangle $OAB$. The remaining boundary contains two straight gaps of length $6$, the outer chord $AB=20\sin(1/2)$, and an inner arc of length $4$.

No hay arco circular exterior: $AB$ es recto. Si una región se encuentra entre dos arcos concéntricos de sectores, su área es la diferencia de áreas de sectores, pero su perímetro incluye ambos arcos y ambas brechas radiales. Para radios $9$ y $5$ y ángulo $1.4$ radianes, el área es $39.2$ unidades cuadradas y el perímetro es $27.6$ unidades. Restar áreas no significa restar longitudes.

Use dos condiciones para encontrar un círculo desconocido

Si un sector tiene área $8\theta\text{ cm}^2$, entonces $(1/2)r^2\theta=8\theta$. Dado que $\theta>0$, $r=4\text{ cm}$. Si el área del triángulo es $4\text{ cm}^2$, entonces $8\sin\theta=4$. La restricción $0<\theta<\pi/2$ selecciona $\theta=\pi/6$, dando como resultado el área del segmento menor $4\pi/3-4\text{ cm}^2$.

Si una parte posterior reemplaza la condición de área del sector, comience de nuevo. Una relación cuerda-radio puede determinar $\theta$ usando $c=2r\sin(\theta/2)$, luego el área del triángulo determina $r$. No conserve un radio o ángulo cuya condición original ya no aplique.

Diferentes círculos, diferentes radios y ángulos

El diagrama muestra un círculo con centro $O$ y radio $3$, que intersecta a un círculo con centro $C$ y radio $5$. Aquí $OC=4$ y $PQ$ es el diámetro del círculo pequeño, perpendicular a $OC$.

Sea $\phi=\angle PCQ=2\tan^{-1}(3/4)\approx1.287$ radianes. El triángulo $PCQ$ tiene área $\tfrac12(6)(4)=12$. El segmento menor del círculo grande tiene área $\tfrac{25}{2}\phi-12$. Réstelo del semicírculo izquierdo pequeño:

El perímetro usa dos piezas curvas. Las líneas $PQ$ y $OC$ son líneas de construcción dentro de la imagen, no bordes externos.

Una cuerda compartida puede dividir otra región de dos círculos en dos segmentos circulares. Dibuja el lado requerido de la cuerda para cada círculo. Calcula cada sector y triángulo con su propio radio y ángulo central antes de combinar sus áreas. Por ejemplo, dos círculos de radio $6$, con centros $6$ separados, se superponen en dos segmentos menores iguales. Los triángulos equiláteros dan a cada ángulo central $2\pi/3$. El área de superposición es $2(12\pi-9\sqrt3)=24\pi-18\sqrt3$ y su perímetro son los dos arcos menores, $8\pi$. La cuerda compartida es interna.

Verificación independiente. Reemplaza el radio pequeño por $4$, establece $OC=3$, y mantén el radio mayor $5$, con la misma geometría de diámetro perpendicular. Encuentra el área y perímetro de la luna creciente a tres cifras significativas.

Comprobación tras intentar: $\phi=2\tan^{-1}(4/3)$. El triángulo grande todavía tiene área $12$. Así, el área es de $=8\pi-\tfrac{25}{2}\phi+12\approx14.0$ unidades cuadradas y el perímetro de $=4\pi+5\phi\approx21.8$ unidades.

Un punto en una rueda giratoria sube y baja. Un modelo trigonométrico describe ese ciclo, pero su gráfica debe tener la escala de altura y el tiempo correctos. Un ángulo calculado puede omitir otra posición válida en el mismo intervalo.

Valores exactos y signos

En el círculo unitario, un punto tiene coordenadas $(\cos\theta,\sin\theta)$. Los signos siguen el cuadrante, incluyendo ángulos negativos y vueltas más allá de $360^\circ$. Las gráficas del seno y coseno tienen rango $[-1,1]$ y periodo $2\pi$ radianes o $360^\circ$. La función tangente se repite cada $\pi$ radianes o $180^\circ$ y no está definida donde $\cos\theta=0$.

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$1/2$	$1/\sqrt2$	$\sqrt3/2$
$\cos\theta$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt2$	$1/2$
$\tan\theta$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$

Use el ángulo de referencia, el ángulo agudo al eje $x$, para obtener la magnitud. Luego seleccione el signo. Por ejemplo, $\cos150^\circ=-\sqrt3/2$, $\sin(-\pi/6)=-1/2$ y $\sin(3\pi/4)=1/\sqrt2$. La notación $\sin^2\theta$ significa $(\sin\theta)^2$.

Gráficas transformadas

Para $y=d+a\sin(bx+c)$ o $d+a\cos(bx+c)$, con $a,b\ne0$, la línea media es $y=d$, la amplitud es $|a|$, y el periodo es $2\pi/|b|$ radianes o $360^\circ/|b|$. Encuentra puntos clave estableciendo el ángulo dentro de la función en valores familiares.

Para $y=2+3\cos2x$, el rango es $[-1,5]$ y el periodo es $\pi$. En $[0,2\pi]$, los máximos ocurren en $x=0,\pi,2\pi$ y los mínimos en $x=\pi/2,3\pi/2$. Hay dos ciclos completos.

Para $y=\tan(x+\pi/4)$, desplaza la gráfica base de la tangente a la izquierda en $\pi/4$. En $[-\pi,\pi]$, las asíntotas están en $x=-3\pi/4,\pi/4$, los ceros en $-\pi/4,3\pi/4$ y la intersección con el eje $y$ es $1$. Su periodo es $\pi$ y no tiene amplitud finita. Dibuja ramas crecientes separadas; nunca las juntes a través de una asíntota.

Valores principales y notación inversa

Las notaciones $\sin^{-1}u$, $\cos^{-1}u$ y $\tan^{-1}u$ devuelven un valor principal, un ángulo en el rango inverso especificado:

Inversa	Rango principal en radianes	En grados
Seno	$[-\pi/2,\pi/2]$	$[-90^\circ,90^\circ]$
Coseno	$[0,\pi]$	$[0^\circ,180^\circ]$
Tangente	$(-\pi/2,\pi/2)$	$(-90^\circ,90^\circ)$

El seno/coseno inverso requiere una entrada en $[-1,1]$; la tangente inversa acepta cualquier entrada real. El superíndice $-1$ significa inverso aquí, no recíproco. Por lo tanto $\sin^{-1}(\sin150^\circ)=30^\circ$, pero $\sin\theta=1/2$ tiene tanto $30^\circ$ como $150^\circ$ en $[0^\circ,360^\circ]$.

Para resolver $\tan^{-1}(2x-1)=-\pi/4$, toma la tangente: $2x-1=-1$, por lo que $x=0$. La salida inversa dada está dentro del rango principal.

Demuestra identidades con álgebra válida

Las dos identidades fundamentales son

Una identidad se cumple donde ambos lados están definidos. Establece las restricciones del denominador y comienza desde un lado en lugar de asumir la igualdad que debes demostrar. Por ejemplo, donde $\sin\theta\ne0$:

La condición también excluye $\cos\theta=-1$, por lo que el factor cancelado es distinto de cero. No confundas $\sin^2\theta+\cos^2\theta$ con $(\sin\theta+\cos\theta)^2$.

Una ecuación trigonométrica pide todos los ángulos en su intervalo indicado.

Reduce ecuaciones a una sola función trigonométrica

Ejemplo resuelto. Resuelva $2\cos^2\theta-\sin\theta-1=0$ en $[0,2\pi]$. Sustituya $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$:

Por lo tanto $\sin\theta=1/2$ o $-1$. La respuesta completa es $\theta=\pi/6,5\pi/6,3\pi/2$. El valor principal $-\pi/2$ no está en este intervalo, así que use $3\pi/2$ en su lugar. Rechace los valores de seno/coseno fuera de $[-1,1]$. Si se resuelve para $\sin^2\theta$, recupere ambos signos de la raíz cuadrada antes de encontrar los ángulos.

Cambia el intervalo interior

Para $\sin2x=1/2$ y $-\pi<x<\pi$, sea $u=2x$. Busca en todo el intervalo $-2\pi<u<2\pi$, no solo en una vuelta. Sus soluciones son $u=-11\pi/6,-7\pi/6,\pi/6,5\pi/6$. Dividir por $2$ da

Para un ángulo desplazado como $2x-\pi/6$, transforma primero ambos extremos del intervalo y luego convierte cada solución de ángulo interior de vuelta a $x$. Verifica los extremos abiertos/cerrados en la ecuación original.

Mantén los factores cero y excluye ángulos indefinidos

Dividir por una expresión trigonométrica puede hacer perder raíces. Escribe $\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$ como $\sin\theta(\cos\theta-1)=0$, conservando el caso $\sin\theta=0$.

Para una ecuación fraccionaria, establece primero la restricción del denominador. Por ejemplo, resuelve $6\sin\theta=1+2/\sin\theta$ para $-180^\circ<\theta<180^\circ$. Dado que $\sin\theta\ne0$, la multiplicación da

El valor $2/3$ da $41.8^\circ,138.2^\circ$ y $-1/2$ da $-150^\circ,-30^\circ$. Los cuatro son válidos en la ecuación original. Mantén la precisión de la calculadora hasta los ángulos finales.

Verificaciones independientes de gráfico y ecuación

Dibuja $y=1+\sin x$ y $y=x/2$ juntos para $0\le x\le2\pi$. Etiqueta los cinco puntos clave de la curva seno y cuenta las soluciones de $1+\sin x=x/2$.

Verifica después de intentar: la curva pasa por $(0,1),(\pi/2,2),(\pi,1),(3\pi/2,0),(2\pi,1)$. Hay una intersección, entre $\pi/2$ y $\pi$. Allí la curva desciende y la línea asciende. Antes de $\pi/2$ la curva es al menos $1$ y la línea está por debajo de $1$; después de $\pi$ la curva es a lo más $1$ y la línea está por encima de $1$.

También resuelve $\sin(2x-\pi/6)=-1/2$ en $[-\pi,\pi]$. El intervalo interior es $[-13\pi/6,11\pi/6]$, lo que da $x=-\pi,-\pi/3,0,2\pi/3,\pi$. Ambos extremos son válidos. Una lista correcta de propiedades no reemplaza un gráfico real, y un único valor inverso principal no reemplaza todas las soluciones de la ecuación.

La expansión binomial

Para un entero positivo $n$, la expansión binomial es

donde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ es un coeficiente binomial.

Ejemplo resuelto. Encuentre los primeros tres términos, en potencias crecientes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Progresiones aritméticas y geométricas

Una progresión (secuencia) es una lista de términos siguiendo una regla.

• Una progresión aritmética (PA) suma una diferencia común fija $d$ en cada paso. El $n$-ésimo término es $u_n = a + (n - 1)d$, y la suma de los primeros $n$ términos es $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Una progresión geométrica (PG) multiplica por una razón común fija $r$ en cada paso. El $n$mo término es $u_n = ar^{\,n-1}$, y $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Para un primer término distinto de cero, una serie geométrica es convergente: sus sumas parciales convergen (se estabilizan hacia un límite) exactamente cuando $|r| < 1$. Entonces tiene una suma al infinito

Ejemplo resuelto. El tercer término de una PG es $18$ y la suma de los primeros tres términos es $26$. La razón común es negativa. Encuentre la suma al infinito.

De $ar^2 = 18$ se obtiene $a = \dfrac{18}{r^2}$. Sustituyendo esto en $a(1 + r + r^2) = 26$:

La razón es negativa, así que $r = -\tfrac34$ y $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Entonces

Selecciona un término binomial o un coeficiente en un producto

El término numerado $k+1$ en $(a+b)^n$ es $\binom nk a^{n-k}b^k$, con $k=0,\ldots,n$ y $0!=1$. El exponente $n$ es aquí un entero positivo. Conserva el signo dentro de la segunda parte elevada a potencia.

Ejemplo resuelto. En $(x^2+2/x)^6$, el término general es $\binom6k2^kx^{12-3k}$. El término independiente necesita $12-3k=0$, por lo tanto $k=4$ y la respuesta es $15\times16=240$.

Para el coeficiente de $x^2$ en $(1+3x)(2-x)^4$, solo dos emparejamientos contribuyen: la constante 1 por $24x^2$, y $3x$ por $-32x$. El coeficiente es $24-96=-72$. Cuando aparecen potencias negativas, liste todos los emparejamientos posibles antes de seleccionar los términos.

Encuentra una PA desconocida y selecciona sus términos

Si $u_3=13$ y $u_8=33$, entonces $a+2d=13$ y $a+7d=33$. La resta da $d=4$ y $a=5$. Por consiguiente, $u_{10}=41$ y $S_{10}=\frac{10}{2}(5+41)=230$.

Para $a=4,d=3$, los términos estrictamente entre 20 y 41 satisfacen $20<3n+1<41$. Sus posiciones van de 7 a 13: hay $13-7+1=7$ términos, desde 22 hasta 40. La suma es $\frac72(22+40)=217$, también $S_{13}-S_6$. Verifica si los extremos están incluidos en la pregunta.

Conecta progresiones y verifica convergencia

Tres términos consecutivos de AP $p,q,s$ satisfacen $2q=p+s$. Tres términos consecutivos de PG satisfacen $q^2=ps$. Si $p,q,s$ son términos de PG mientras que $p,q,-2s$ son términos de AP, sustituye $q=pr,s=pr^2$ en $2q=p-2s$. Para $p\ne0$, esto da $2r^2+2r-1=0$. Resuelve, luego aplica cualquier restricción de signo o convergencia.

Para una PG finita con $r=1$, use $S_n=na$; la fórmula de fracciones tiene un denominador cero. Para un primer término distinto de cero, una serie geométrica infinita tiene suma finita exactamente cuando $|r|<1$. Una razón negativa puede converger: los signos alternan y las sumas parciales se acercan a un límite desde ambos lados. Para $r=-1$ continúan oscilando en cambio.

Después de eliminar los primeros $n$ términos, la suma restante es

Worked example. A second term of $-12$ and infinite sum 16 give $ar=-12$ and $a=16(1-r)$. Thus $4r^2-4r-3=0$. Reject $r=3/2$ because it cannot converge, leaving $r=-1/2,a=24$. After three terms the remaining infinite sum is $24(-1/2)^3/(3/2)=-2$. A negative tail is valid: the finite total was above the limiting sum.

Diferenciación encuentra la pendiente de una curva en cada punto. La pendiente es el límite de las pendientes de cuerdas cada vez más cortas, llamado derivada.

Las reglas

Escribe la derivada como $f'(x)$ o $\dfrac{dy}{dx}$. La regla básica es

Diferencia sumas término a término, y usa la regla de la cadena para una función dentro de otra función: Diferenciar nuevamente da la segunda derivada $f''(x)$ o $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Usando la derivada

• Recta tangente y normal. El gradiente de la curva en un punto es el gradiente de la tangente allí. La normal es perpendicular a la tangente, por lo que su gradiente es $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$ cuando el gradiente de la tangente es distinto de cero. Una tangente horizontal tiene una normal vertical.
• Creciente o decreciente. La función es una función creciente donde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, y una función decreciente donde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Tasa de cambio. Una derivada es una tasa de cambio. Las tasas relacionadas usan la regla de la cadena, p. ej. $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Puntos estacionarios

Un punto estacionario es donde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Prueba su naturaleza con la segunda derivada: $f''(x) > 0$ da un punto mínimo, y $f''(x) < 0$ da un punto máximo. Cuando $f''(x) = 0$ la prueba es inconclusiva. Verifica el signo de la primera derivada en ambos lados: negativo a positivo demuestra un mínimo, y positivo a negativo demuestra un máximo. Por ejemplo, $y=x^4$ tiene un mínimo en cero a pesar de que ambas derivadas son cero allí.

Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ tiene un punto máximo en $x = a$. Encuentra $a$.

Entonces $a = 4$.

Cuerdas, potencias racionales y raíz anidada

Para $y=x^3$, la pendiente de la cuerda desde $x=2$ hasta $x=2+h$ es $[(2+h)^3-8]/h=12+6h+h^2$ para $h\ne0$. A medida que $h\to0$, esto tiende a 12, la pendiente de la tangente. Esta es una explicación informal de la derivada; no sustituya cero en el cociente original.

Para $x>0$, $f=3\sqrt x+2/x$ proporciona $f'=\frac32x^{-1/2}-2x^{-2}$ y $f''=-\frac34x^{-3/2}+4x^{-3}$. Para una función anidada $y=\sqrt{2x^3+5}$, use la regla de la cadena para obtener $dy/dx=3x^2/\sqrt{2x^3+5}$ donde el argumento de la raíz sea positivo.

Escriba la tangente y la normal

Encuentre el punto y también la pendiente. En $y=x^2$ en $(1,1)$, $dy/dx=2$, dando tangente $y-1=2(x-1)$ y normal $y-1=-\frac12(x-1)$. Si un punto $(p,q)$ tiene pendiente cero, su tangente es $y=q$ y su normal es $x=p$.

De puntos estacionarios a un bosquejo

Para $f=x^3-6x^2+9x+2$, $f'=3(x-1)(x-3)$, por lo tanto los puntos estacionarios tienen $x=1,3$. Sustituya en la función original: $(1,6)$ es un máximo porque $f''(1)=-6$; $(3,2)$ es un mínimo porque $f''(3)=6$. La derivada es positiva para $x<1$ y $x>3$, y negativa para $1<x<3$. Un bosquejo también necesita intersecciones y cualquier restricción del dominio.

Tasas relacionadas y optimización

Si $A=\pi r^2$, entonces $dA/dt=(dA/dr)(dr/dt)=2\pi r\,dr/dt$. En $r=5$ cm y $dr/dt=0.3$ cm/s, $dA/dt=3\pi$ cm²/s. Comience con una tasa negativa para una cantidad decreciente. Las derivadas con respecto a una longitud y con respecto al tiempo son tasas diferentes.

Para un rectángulo junto a un muro, 60 m de valla cubren dos anchos $x$ y un largo $y$. La restricción es $2x+y=60$. Por lo tanto $A=x(60-2x)$ con $0<x<30$. Resuelva $A'=60-4x=0$, dando $x=15,y=30$. Dado que $A''=-4<0$, el área máxima es $450$ m². Verifique el dominio físico y sus límites antes de aceptar un óptimo.

Integración es lo opuesto a la diferenciación. Invertir la regla de la potencia da

El $+\,C$ es la constante de integración. Si conoces un punto en la curva, sustitúyelo para encontrar $C$.

Integrales definidas y área

Un integral definido tiene límites y da un número:

Para $p<q$, una integral definida cuenta las contribuciones sobre el eje $x$ positivamente y las que están debajo negativamente. Es igual al área geométrica solo cuando la curva es no negativa en todo momento. Para el área total, divida en las raíces y sume las magnitudes de cada integral. Para el área entre dos curvas, integre (curva superior $-$ curva inferior), dividiendo siempre que cambie su orden. Invertir los límites invierte el signo de la integral.

Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ corta nuevamente al eje $x$ en $x = 16$. Encuentre el área entre la curva y el eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$.

Un integral impropio tiene un límite infinito o un extremo donde el integrando no está definido; evalúalo como un límite. Por ejemplo,

y $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\lim_{a\to0^+}\left[2x^{1/2}\right]_a^{1}=2$, que es finita a pesar de que el integrando tiende a infinito en $x=0$.

Volumen de revolución

Cuando una región gira completamente alrededor de un eje barre un sólido. El volumen de revolución sobre el eje $x$ es

y respecto al eje $y$ es $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por ejemplo, la región bajo $y = \sqrt{x}$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$, girada alrededor del eje $x$, tiene volumen $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

Una curva a partir de dos condiciones

If $y''=6x$ and $(1,4)$ is a stationary point, integrate once to $y'=3x^2+A$. The gradient is zero there, so $A=-3$. Integrate again to $y=x^3-3x+B$; using the point gives $B=6$. Two integrations need two separately determined constants. Check the result by differentiating.

Área total con signo y área geométrica

Para $y=x^2-1$ desde $x=-1$ hasta 2, la integral signada es cero. Divida en $x=1$: la contribución en $[-1,1]$ es $-4/3$, y la contribución en $[1,2]$ es $4/3$. El área geométrica es $4/3+4/3=8/3$ unidades cuadradas.

Una integral impropia es finita solo si su valor límite existe como número real. Por ejemplo, $\int_0^1x^{-2}dx=\lim_{a\to0^+}(1/a-1)$ no tiene un valor finito. El símbolo de infinito es un límite descrito por un límite, no un número para sustituir.

Un espacio entre curvas o una tangente y una curva

Las curvas $y=2x$ y $y=x^2$ se intersecan en $x=0,2$. La recta está por encima de la parábola entre ellas, por lo que el área encerrada es $\int_0^2(2x-x^2)dx=4/3$ unidades cuadradas. Si las curvas superior e inferior cambian de posición, divide la integral en esa intersección.

Para $y=2x-x^2$, la tangente en $(1,1)$ es $y=1$. En $0\le x\le1$, el área bajo la curva es $2/3$ y el rectángulo debajo de la tangente tiene área 1. El espacio es $1-2/3=1/3$. Encuentre la ecuación de una tangente y sus intersecciones relevantes antes de seleccionar los límites en una pregunta de área compuesta.

Rotación con un agujero y rotación sobre cualquiera de los ejes

Una región no necesita tocar el eje de rotación. Una rebanada entonces tiene radio exterior $R$ y radio interior $r$; su área transversal es $\pi(R^2-r^2)$, no $\pi(R-r)^2$.

Entre $y=4-x^2$ y $y=1$, las intersecciones ocurren en $x=\pm\sqrt3$. Rotar sobre el eje $x$ da como resultado

Sobre el eje $y$, usa rebanadas horizontales y expresa los radios en términos de $y$: $V=\pi\int(R(y)^2-r(y)^2)dy$. La región $0\le x\le\sqrt y$, $0\le y\le4$, produce $V=\pi\int_0^4y\,dy=8\pi$. Los límites deben ser valores $y$ al integrar con respecto a $y$. Incluye cualquier radio interior y especifica unidades cúbicas.

• Muestre cada línea de álgebra: los puntos del método se pierden al omitir pasos; use el discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar el número de raíces reales.
• Trabaja en radianes para medidas circulares (arco $= r\theta$, área del sector $= \frac{1}{2}r^2\theta$).
• Para la derivación, iguale $\frac{dy}{dx} = 0$ para encontrar puntos estacionarios y utilice la segunda derivada para clasificarlos.
• Para la integración, añada $+ c$ a una integral indefinida y use límites para calcular áreas; un área debajo del eje produce una integral negativa.