A-Level Matemáticas

Una cuadrática 二次式 es una expresión de la forma $ax^2 + bx + c$, donde $a \neq 0$. Las letras $a$, $b$, $c$ son los coeficientes 系数 (los números fijos). Gran parte de esta sección trata sobre resolver la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.

Completar el cuadrado

Completar el cuadrado 配方 significa escribir la cuadrática en la forma

Esta forma es útil: muestra el vértice 顶点 (punto de giro) de la curva en $(-p,\ q)$, y proporciona una forma rápida de resolver la ecuación.

Ejemplo resuelto. Escribe $9x^2 - 36x + 8$ en la forma $p(x + q)^2 + r$.

Saca el factor $9$ de los dos primeros términos, luego completa el cuadrado dentro:

Así que $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

El discriminante

El discriminante 判别式 de $ax^2 + bx + c$ es

Te indica cuántas raíces reales 实根 (soluciones reales) tiene la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$:

Discriminante	Raíces
$b^2 - 4ac > 0$	dos raíces reales distintas 相异
$b^2 - 4ac = 0$	una raíz real repetida
$b^2 - 4ac < 0$	no hay raíces reales

Ejemplo resuelto. Encuentra los valores de la constante $k$ para los cuales $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tenga dos raíces reales distintas.

Aquí $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para tener dos raíces reales distintas necesitas $b^2 - 4ac > 0$:

Factoriza: $(k - 4)(k - 16) > 0$, por lo tanto $k < 4$ o $k > 16$. También necesitas $a \neq 0$, así que $k \neq 0$.

Ecuaciones e inecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrática 二次方程, factoriza, completa el cuadrado, o usa la fórmula

Para resolver una inecuación cuadrática 二次不等式 como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encuentra las dos raíces, luego decide qué lado de cada raíz hace que la afirmación sea verdadera. Un bosquejo de la parábola 抛物线 ayuda: la curva está por encima del eje $x$ (positiva) fuera de las raíces y por debajo (negativa) entre ellas.

Ecuaciones simultáneas

Para resolver un par de ecuaciones simultáneas 联立方程 donde una es lineal y la otra cuadrática, usa sustitución 代入: reorganiza la ecuación lineal para una letra, luego sustituye eso en la cuadrática. Esto da una sola cuadrática para resolver.

Ecuaciones que son cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones son cuadráticas en alguna función de $x$. Por ejemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ es cuadrática en $x^2$: haga $u = x^2$, resuelva $u^2 - 5u + 4 = 0$, luego vuelva a $x$. Usará esta idea nuevamente en trigonometría.

Una función 函数 es una regla que asigna cada entrada a exactamente una salida. Escríbala como $f(x)$. La composición de funciones 复合函数 $fg(x)$ significa aplicar primero $g$ y luego aplicar $f$ al resultado.

• El dominio 定义域 es el conjunto de entradas permitidas $x$.
• El rango 值域 es el conjunto de salidas que la función produce realmente.

Una función es uno-a-uno 一一对应 si las entradas diferentes siempre producen salidas diferentes. (Ninguna salida se repite.) Solo una función uno-a-uno tiene una función inversa 反函数 $f^{-1}$, que invierte la regla.

La composición 复合 de dos funciones significa hacer una después de la otra. $fg(x)$ significa "haga primero $g$, luego $f$": $fg(x) = f(g(x))$. La función compuesta $fg$ existe solo cuando el rango de $g$ está contenido dentro del dominio de $f$.

Encontrar una inversa

Para encontrar $f^{-1}$: escriba $y = f(x)$, despeje $x$, luego intercambie las letras.

Ejemplo resuelto. La función $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encuentre $f^{-1}(x)$.

Escriba $y = (x + 3)^2 - 12$ y resuelva para $x$:

Toma la raíz cuadrada positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Así que

Gráficas de inversas y transformaciones

La gráfica de $y = f^{-1}(x)$ es la reflexión 反射 de $y = f(x)$ respecto a la recta $y = x$.

Deberías conocer estas transformaciones 变换 de $y = f(x)$:

Nueva ecuación	Efecto en la gráfica
$y = f(x) + a$	traslación 平移 hacia arriba en $a$
$y = f(x + a)$	traslación hacia la izquierda en $a$
$y = a\,f(x)$	estiramiento 伸缩 en la dirección $y$, factor de escala $a$
$y = f(ax)$	estiramiento en la dirección $x$, factor de escala $\tfrac{1}{a}$

Cuando se combinan dos transformaciones, el orden puede importar. Enuncie cada una completamente (tipo, dirección y cantidad).

Geometría analítica 坐标几何 estudia líneas y círculos mediante sus ecuaciones.

Rectas

La pendiente 斜率 (inclinación) de la recta que une $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es

Puede escribir la ecuación de una recta 直线方程 en cualquiera de estas formas: Dos rectas son paralelas 平行 cuando sus pendientes son iguales, y perpendiculares 垂直 (en ángulo recto) cuando el producto de sus pendientes es $-1$.

Círculos

El círculo 圆 con centro 圆心 $(a, b)$ y radio 半径 $r$ tiene ecuación

Una forma desarrollada como $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ representa el mismo círculo: complete el cuadrado en $x$ y en $y$ para encontrar el centro y el radio.

Una tangente 切线 a un círculo lo toca en un solo punto y es perpendicular al radio en ese punto. Este hecho del ángulo recto resuelve la mayoría de los problemas sobre círculos.

Ejemplo resuelto. Los puntos $P(1, 1)$ y $Q(7, 11)$ son los extremos de un diámetro 直径 de un círculo. Encuentre la ecuación del círculo.

El centro es el punto medio de $PQ$:

El radio es la mitad de la longitud de $PQ$: Por lo tanto, el círculo es $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.

Radianes

Un radián 弧度 es otra manera de medir ángulos. Un radián es el ángulo en el centro de un círculo que subtiende un arco 弧 cuya longitud es igual al radio. El vínculo entre radianes y grados 度 es

Así que para cambiar grados a radianes, multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$; para cambiar radianes a grados, multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$.

Longitud de arco y área de sector

Para un sector 扇形 con radio $r$ y ángulo $\theta$ en radianes:

Una cuerda 弦 divide el sector en un triángulo y un segmento 弓形. El área del segmento es el área del sector menos el área del triángulo:

Ejemplo resuelto. Un sector tiene su centro en $O$ y el ángulo en $O$ es $\tfrac{2}{3}\pi$ radianes. Demuestre que el área del segmento recortado por la cuerda es aproximadamente $0.614 r^2$.

Gráficas y valores exactos

Debes conocer la forma de las gráficas de las funciones seno 正弦, coseno 余弦 y tangente 正切 (escritas $\sin$, $\cos$, $\tan$). Las gráficas del seno y el coseno oscilan entre $-1$ y $1$ y se repiten cada $360^\circ$ ($2\pi$). Aprende estos valores exactos:

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$\tfrac12$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac12$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

Las notaciones $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ significan el ángulo inverso (el valor principal 主值).

Identidades

Una identidad 恒等式 es verdadera para todo valor del ángulo. Las dos que debes conocer son

Úsalas para reescribir una ecuación de modo que contenga solo una función trigonométrica.

Resolución de ecuaciones trigonométricas

Para resolver una ecuación trigonométrica 三角方程, primero redúcela a una sola función y luego encuentra todas las soluciones en el intervalo dado.

Ejemplo resuelto. Resuelve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Multiplicando por $\sin\theta$ se elimina la fracción. Esto produce una ecuación cuadrática en $\sin\theta$:

Por lo tanto, $\sin\theta = \tfrac23$ o $\sin\theta = -\tfrac12$.

• $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ o $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
• $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ o $\theta = -150^\circ$.

Las cuatro soluciones son $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.

La expansión binomial

Para un entero positivo $n$, la expansión binomial es

donde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ es un coeficiente binomial.

Ejemplo resuelto. Encuentre los primeros tres términos, en potencias crecientes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Progresiones aritméticas y geométricas

Una progresión es una lista de términos que siguen una regla.

• Una progresión aritmética (PA) suma una diferencia común fija $d$ en cada paso. El $n$mo término es $u_n = a + (n - 1)d$, y la suma de los primeros $n$ términos es $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Una progresión geométrica (PG) multiplica por una razón común fija $r$ en cada paso. El $n$mo término es $u_n = ar^{\,n-1}$, y $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Una PG es convergente — converge (se asienta en un límite) — cuando $|r| < 1$. Entonces tiene una suma al infinito

Ejemplo resuelto. El tercer término de una PG es $18$ y la suma de los primeros tres términos es $26$. La razón común es negativa. Encuentre la suma al infinito.

De $ar^2 = 18$ se obtiene $a = \dfrac{18}{r^2}$. Sustituyendo esto en $a(1 + r + r^2) = 26$:

La razón es negativa, así que $r = -\tfrac34$ y $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Entonces

Diferenciación encuentra la pendiente de una curva en cada punto. La pendiente es el límite de las pendientes de cuerdas cada vez más cortas, llamado derivada.

Las reglas

Escribe la derivada como $f'(x)$ o $\dfrac{dy}{dx}$. La regla básica es

Deriva sumas término a término, y usa la regla de la cadena 链式法则 para una función dentro de otra: Derivar nuevamente da la segunda derivada 二阶导数 $f''(x)$ o $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Usando la derivada

• Tangente y normal. La pendiente de la curva en un punto es la pendiente de la tangente allí. La normal 法线 es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente es $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
• Creciente o decreciente. La función es una función creciente 增函数 donde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, y una función decreciente 减函数 donde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Tasa de cambio. Una derivada es una tasa de cambio 变化率. Las tasas relacionadas usan la regla de la cadena, p. ej., $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Puntos estacionarios

Un punto estacionario 驻点 es donde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Prueba su naturaleza con la segunda derivada: $f''(x) > 0$ da un punto mínimo 极小值点, y $f''(x) < 0$ da un punto máximo 极大值点. Cuando $f''(x) = 0$ la prueba es inconclusa: el punto puede ser un punto de inflexión 拐点, donde la curva cambia de concavidad (la forma en que se curva) – verifica el signo de $\dfrac{dy}{dx}$ justo antes y después para decidir.

Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ tiene un punto máximo en $x = a$. Encuentra $a$.

Entonces $a = 4$.

La integración 积分 es lo opuesto a la derivación. Invertir la regla de la potencia da

El $+\,C$ es la constante de integración 积分常数. Si conoces un punto en la curva, sustitúyelo para encontrar $C$.

Integrales definidas y área

Una integral definida 定积分 tiene límites y da un número:

El área de la región 区域 entre una curva y el eje $x$, desde $x = p$ hasta $x = q$, es $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Para el área entre dos curvas, integra (curva superior $-$ curva inferior).

Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ corta nuevamente al eje $x$ en $x = 16$. Encuentre el área entre la curva y el eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$.

Una integral impropia (广义积分) tiene un límite infinito o un extremo donde el integrando no está definido; evalúela como un límite. Por ejemplo,

y $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, que es finita a pesar de que el integrando tiende a infinito en $x=0$.

Volumen de revolución

Cuando una región gira completamente alrededor de un eje, genera un sólido. El volumen de revolución (旋转体体积) respecto al eje $x$ es

y respecto al eje $y$ es $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por ejemplo, la región bajo $y = \sqrt{x}$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$, girada alrededor del eje $x$, tiene volumen $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

• Muestre cada línea de álgebra: los puntos del método se pierden al omitir pasos; use el discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar el número de raíces reales.
• Trabaje en radianes para medidas circulares (arco $= r\theta$, área de sector $= \frac{1}{2}r^2\theta$) y para el cálculo de funciones trigonométricas.
• Para la derivación, iguale $\frac{dy}{dx} = 0$ para encontrar puntos estacionarios y utilice la segunda derivada para clasificarlos.
• Para la integración, añada $+ c$ a una integral indefinida y use límites para calcular áreas; un área debajo del eje produce una integral negativa.

El módulo

El módulo 绝对值 $|x|$ es el valor numérico de un número sin su signo, por lo que $|x| \geqslant 0$ siempre. La gráfica de $y = |ax + b|$ tiene forma de "V" y rebotando en el eje $x$. Dos reglas útiles para resolver ecuaciones e inecuaciones son

Ejemplo resuelto. Resuelva $|3x + 8| < 9$.

Usando la segunda regla con la inecuación escrita como $-9 < 3x + 8 < 9$:

División de polinomios y los teoremas del factor y del resto

Un polinomio 多项式 es una suma de potencias de $x$, como $2x^4 + 3x^2 - 5$. Su grado 次数 es la potencia más alta. Al dividir un polinomio entre otro se obtiene un cociente 商 y un resto 余数.

• Teorema del resto 余数定理: el resto al dividir $p(x)$ entre $(x - a)$ es $p(a)$.
• Teorema del factor 因式定理: $(x - a)$ es un factor de $p(x)$ si y solo si $p(a) = 0$.

Ejemplo resuelto. El polinomio $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ tiene el factor $(x + 2)$. Encontrar $k$.

Por el teorema del factor, $p(-2) = 0$:

Un logaritmo responde a la pregunta "¿qué potencia?". Si $a^x = y$ entonces $x = \log_a y$. Los logaritmos y los índices 指数 (potencias) son ideas inversas. Las leyes de los logaritmos 对数定律 son

La función exponencial $e^x$ y el logaritmo natural 自然对数 $\ln x$ son funciones inversas, por lo que $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$. Cuando la incógnita está en el exponente, toma logaritmos en ambos lados.

Ejemplo resuelto. Resuelva $4^x < 0.05$.

Forma lineal 线性形式: una relación como $y = Ax^n$ se convierte en una línea recta si tomas logaritmos: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Al graficar $\ln y$ contra $\ln x$ se obtiene una línea con pendiente $n$ e intersección $\ln A$, por lo que puedes encontrar las constantes desconocidas.

Hay tres funciones más, cada una recíproca de una que ya conoces: la secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ y la cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.

Debes conocer estas identidades trigonométricas 三角恒等式 y elegir la correcta para cada problema:

También usas las fórmulas de ángulo compuesto 复合角 para $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, las fórmulas de ángulo doble 二倍角 y la fórmula R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, donde $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Sustituye $\tan^2\theta$ por $\sec^2\theta - 1$ para obtener una sola función:

Así, $\sec\theta = \tfrac52$ o $\sec\theta = -4$, lo que da $\cos\theta = \tfrac25$ o $\cos\theta = -\tfrac14$. Las soluciones son $\theta = \pm 66.4^\circ$ y $\theta = \pm 104.5^\circ$.

Aprende estas derivadas estándar:

Para un producto o un cociente de dos funciones, usa:

• la regla del producto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$;
• la regla del cociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Cuando una curva viene dada por ecuaciones paramétricas 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, la pendiente es $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Cuando $y$ está definida implícitamente 隐式 (no despejada), diferencia cada término respecto a $x$, usando la regla de la cadena en los términos de $y$, luego resuelve para $\dfrac{dy}{dx}$.

Ejemplo resuelto. Dado $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, hallar $\dfrac{dy}{dx}$.

Usa la regla del producto con $u = 6x$ y $v = \cos(x^2 + 1)$ (y la regla de la cadena para $v$):

La integración es derivación inversa — invierte cada nueva derivada; las integrales más difíciles pueden necesitar integración por sustitución 换元积分 (desarrollada en Matemáticas puras 3). Para una función lineal interna $(ax + b)$:

Para integrar una potencia de $\sin$ o $\cos$, primero usa una identidad para eliminar la potencia. Cuando no puedas integrar exactamente, la regla del trapecio 梯形法则 estima una integral definida:

Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.

Usa $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:

Muchas ecuaciones no se pueden resolver exactamente. Dos ideas te ayudan a encontrar una raíz 根 (una solución).

• Cambio de signo 变号: si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos (y la gráfica no tiene saltos entre ellos), hay una raíz entre $a$ y $b$.
• Iteración 迭代: reordena la ecuación en la forma $x = F(x)$, luego usa la fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Comienza con una primera aproximación $x_0$ y repite. Si los valores son convergentes se estabilizan y convergen 收敛 hacia una raíz. Continúa hasta que la respuesta esté estable según la precisión solicitada.

Ejemplo resuelto. Una raíz $\beta$ de una ecuación satisface $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, y $-1.4 < \beta < -1.0$. Usa la iteración $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ con $x_0 = -1.2$.

Los valores se estabilizan cerca de $-1.26$, por lo que $\beta = -1.26$ (3 s.f.).

• Usa las leyes de los logaritmos para resolver ecuaciones; recuerda que $\ln$ y $e^x$ son inversas.
• Para los métodos numéricos, muestra un cambio de signo para localizar una raíz, presenta la iteración claramente y da la respuesta con la precisión indicada.
• Aprende las reglas de la cadena, del producto y del cociente e identifica cuál necesita la función.
• Resuelve ecuaciones de módulo $|f(x)| = g(x)$ considerando tanto los casos positivos como negativos, y haz un boceto para verificar.

Dos nuevas herramientas se suman al álgebra de Pure 2.

Fracciones parciales

Una fracción única con un denominador factorizado puede dividirse en una suma de fracciones más simples. Esto se llama escribirlo en fracciones parciales 部分分式, y facilita la integración o expansión de una función racional 有理函数 (una fracción de polinomios). Ajusta la forma al denominador:

Primero verifica que el numerador sea de grado inferior al del denominador. Si no lo es ("pesado arriba"), divide el polinomio primero: la división da un cociente 商 más un resto 余数 sobre el denominador original, y solo divides esa fracción propia restante.

Una fracción con un denominador factorizado se divide en una suma de fracciones más simples.

Ejemplo resuelto. Expresa $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ en fracciones parciales.

Escribe $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, entonces $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Sustituye $x = 2$: $6 = 3B$, entonces $B = 2$. Sustituye $x = -1$: $3 = -3A$, entonces $A = -1$. Por tanto,

La expansión binomial para una potencia racional

La expansión binomial 二项展开式 también funciona cuando la potencia es una fracción o negativa, siempre que $|x| < 1$:

Por ejemplo, $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.

Los subtemas 3.2, 3.3 y 3.6 son las mismas habilidades que encontraste en Pure 2: las leyes de los logaritmos con $e^x$ y $\ln x$; las identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ y $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, las fórmulas de ángulo compuesto y doble, y la forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; y resolver una ecuación numéricamente mediante un cambio de signo 变号 y una fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Úsalas exactamente como antes.

Las tres nuevas funciones trigonométricas son los recíprocos 倒数 de las conocidas: la secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, y la cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Ayuda mnemotécnica: empareja la tercera letra — sec va con cosine.) Las dos identidades pitagóricas anteriores provienen directamente de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ entre $\cos^2\theta$ o $\sin^2\theta$. Para un método numérico, una iteración $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 a la raíz cuando los valores sucesivos se acercan entre sí.

Los métodos son los de Pure 2 (la regla del producto, cociente y cadena, con curvas paramétricas e implícitas). Se añade una derivada — la tangente inversa 反正切:

Ejemplo resuelto. Diferencia $y = \tan^{-1}(3x)$.

Usa la regla de la cadena con el resultado anterior: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$

Pure 3 añade varios métodos poderosos.

• Una nueva integral estándar: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
• Fracciones parciales: divide una función racional primero, luego integra cada parte como un logaritmo.
• El patrón $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: esto se integra como $k\ln|f(x)| + C$. Por ejemplo, $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
• Integración por partes 分部积分, usada para un producto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
• Integración por sustitución 换元积分: un cambio de variable dado convierte una integral difícil en una fácil.

Ejemplo resuelto. Encuentra $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.

Usa la integración por partes con $u = x$ y $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, entonces $\dfrac{du}{dx} = 1$ y $v = \sin x$:

Un vector 向量 tiene tanto magnitud como dirección. Escríbelo como una columna, o como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, o como $\overrightarrow{AB}$.

• La magnitud 模长 (longitud) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ es $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Un vector unitario 单位向量 tiene magnitud $1$; divide un vector por su magnitud para obtener uno.
• Un vector de posición 位置向量 indica la ubicación de un punto respecto al origen; un vector de desplazamiento 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ va de un punto a otro. Multiplicar por un escalar 标量 (un número simple) estira un vector.

Rectas y producto escalar

Una recta que pasa por el punto $\mathbf{a}$ en la dirección $\mathbf{b}$ tiene la ecuación vectorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Dos líneas pueden ser paralelas 平行, pueden intersecarse 相交 en un punto, o pueden ser rectas alabeadas 异面直线 (no paralelas y que nunca se encuentran).

El producto escalar 数量积 (producto punto) de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ es

donde $\theta$ es el ángulo entre ellos. Así, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que los vectores son perpendiculares.

Ejemplo resuelto. Encuentra el ángulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ y $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Así, $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, lo que da $\theta = 27.3^\circ$.

Una ecuación diferencial 微分方程 vincula una cantidad con su tasa de cambio. Para resolver una ecuación de primer orden cuyas variables son separables 可分离 variable, pon todos los términos de $y$ en un lado y todos los términos de $x$ en el otro, luego integra ambos lados. Esto da la solución general 通解, que contiene una constante. Una condición inicial 初始条件 (un valor conocido) fija la constante y da la solución particular 特解.

Ejemplo resuelto. Resuelve $\dfrac{dy}{dx} = xy$, sabiendo que $y = 1$ cuando $x = 0$.

Separa las variables e integra:

Usando $y = 1$ en $x = 0$ se obtiene $A = 1$, así que $y = e^{x^2/2}$.

Un número complejo 复数 tiene la forma $z = x + iy$, donde $i^2 = -1$. Aquí $x$ es la parte real 实部 y $y$ es la parte imaginaria 虚部. Esta $x + iy$ es la forma cartesiana 直角坐标形式. Dos números complejos son iguales solo cuando sus partes reales coinciden y sus partes imaginarias coinciden.

• El conjugado 共轭 de $z = x + iy$ es $z^* = x - iy$. Para un polinomio con coeficientes reales, las raíces no reales vienen en pares conjugados.
• El módulo 模 es $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (su distancia al origen) y el argumento 辐角 es el ángulo que forma el punto, medido desde el eje real positivo.
• Puedes graficar $z$ como un punto en un diagrama de Argand 阿干图 (el plano complejo).
• La forma polar 极坐标形式 es $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta$ es el argumento. Multiplicar multiplica los módulos y suma los argumentos.
• Los locus de puntos que satisfacen una condición sobre $z$ se dibujan en el diagrama de Argand — p. ej., $|z - a| = r$ es un círculo, $|z - a| = |z - b|$ una mediatriz, y $\arg(z - a) = \theta$ una semirrecta. Las raíces cuadradas de un número complejo provienen de resolver $w^2 = z$.

Para dividir, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo resuelto. Escribe $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ en la forma $x + iy$.

Una ecuación o desigualdad en $z$ describe un lugar geométrico 轨迹 (un camino o región) en el diagrama de Argand. Por ejemplo, $|z - a| = r$ es un círculo de radio $r$ centrado en $a$.

• Divide una función racional en fracciones parciales antes de integrar o expandir.
• Elige la técnica de integración correcta (sustitución, por partes o fracciones parciales) según la forma del integrando.
• Usa el producto escalar (punto) para el ángulo entre vectores y para probar perpendicularidad; escribe una línea como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
• Da los números complejos en la forma solicitada (cartesiana o módulo-argumento) y muéstralos en un diagrama de Argand.

Una fuerza 力 es un empuje o un tirón. Es un vector, por lo que tiene magnitud y dirección. Dado que es un vector, puede descomponer una fuerza en componentes 分量 (usualmente horizontal y vertical), y puede sumar varias fuerzas en una sola resultante 合力.

Una partícula está en equilibrio 平衡 cuando las fuerzas están equilibradas: la suma vectorial de las fuerzas es cero. En la práctica, esto significa que las componentes en cualquier dirección suman cero.

Fricción

Cuando dos superficies se tocan, la fuerza de contacto 接触力 entre ellas tiene dos partes: la reacción normal 法向反作用力 $R$, perpendicular a la superficie, y la fricción 摩擦力 $F$, paralela a la superficie, que se opone al deslizamiento. Una superficie "lisa" es un modelo sin fricción.

La fricción solo puede crecer hasta un máximo. En ese máximo, el cuerpo está en equilibrio límite 极限平衡, a punto de resbalar, y la fricción es fricción límite 最大静摩擦力. El máximo está determinado por el coeficiente de fricción 摩擦系数 $\mu$:

Por la tercera ley de Newton 牛顿第三定律, las dos superficies se empujan mutuamente con fuerzas iguales y opuestas.

Ejemplo resuelto. Un bloque de peso $20\text{ N}$ descansa sobre una mesa horizontal rugosa con coeficiente de fricción $\mu = 0.4$. Encuentre la mayor fuerza horizontal que se puede aplicar antes de que el bloque se deslice.

La reacción normal del equilibrio equilibra el peso, así que $R = 20\text{ N}$. El bloque está a punto de resbalar cuando la fricción alcanza su máximo $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. En equilibrio, la fuerza aplicada es igual a la fricción, por lo que la mayor fuerza que puede resistir es $8\text{ N}$.

La distancia 距离 y la rapidez 速率 son escalares (solo magnitud). El desplazamiento 位移, la velocidad 速度 y la aceleración 加速度 son vectores (magnitud y dirección).

En un gráfico de velocidad-tiempo 速度时间图, el área bajo el gráfico es el desplazamiento y la pendiente es la aceleración (una aceleración negativa es una desaceleración 减速度). En un gráfico de desplazamiento-tiempo, la pendiente es la velocidad. De manera más general, diferencie con respecto al tiempo para pasar del desplazamiento a la velocidad y luego a la aceleración, e integre para volver atrás.

Para el movimiento con aceleración constante 匀加速, use estas fórmulas (las ecuaciones "suvat"):

Ejemplo resuelto. Un coche parte del reposo y acelera a $2.5\ \text{m s}^{-2}$ durante $4\ \text{s}$. Encuentre su rapidez y la distancia recorrida.

El momento lineal 动量 de un cuerpo es $\text{mass} \times \text{velocity}$. Es un vector. En una colisión directa de dos cuerpos, el momento total no cambia. Esto es la conservación del momento lineal 动量守恒:

Ejemplo resuelto. Un cuerpo de masa $2\ \text{kg}$ moviéndose a $3\ \text{m s}^{-1}$ choca contra un cuerpo estacionario de masa $1\ \text{kg}$, y se pegan juntos. Encuentre su velocidad común después.

Las leyes de Newton del movimiento 牛顿运动定律 conectan la fuerza y la aceleración. La clave es: fuerza resultante $=$ masa 质量 $\times$ aceleración,

El peso 重力 de un cuerpo es la fuerza de gravedad sobre él: $W = mg$. Las fuerzas en un problema pueden incluir peso, fricción, tensión 张力 en una cuerda, el empuje 推力 (push) en una barra, y la resistencia del aire 空气阻力.

Para el movimiento en un plano inclinado 斜面, divida cada fuerza en una parte a lo largo de la pendiente y una parte perpendicular a ella, luego aplique $F = ma$ a lo largo de la pendiente. Para partículas conectadas 连接质点 (unidas por una cuerda), aplique $F = ma$ a cada cuerpo, o al sistema completo.

Ejemplo resuelto. Un bloque de masa $12\ \text{kg}$ es jalado hacia arriba por un plano rugoso mediante una cuerda paralela a la pendiente. El plano forma un ángulo de $20^\circ$ con la horizontal, el coeficiente de fricción es $0.4$, y la aceleración es $2\ \text{m s}^{-2}$. Encuentre la tensión en la cuerda.

La reacción normal es $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, por lo que la fricción es $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. A lo largo de la pendiente, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:

El trabajo realizado 功 por una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento —la fuerza multiplicada por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza: $W = Fd\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el movimiento. El trabajo se mide en julios (J).

La energía viene en formas que puedes calcular:

• Energía cinética 动能 (energía de movimiento): $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
• Energía potencial gravitatoria 重力势能 (energía de altura): $\text{PE} = mgh$.

El trabajo realizado por las fuerzas externas es igual al cambio en la energía total. Cuando no actúa fricción, la energía total se mantiene constante —la conservación de la energía 能量守恒.

La potencia 功率 es la tasa de realizar trabajo. Para una fuerza que tira en la dirección del movimiento, $P = Fv$ (potencia $=$ fuerza $\times$ velocidad). La potencia se mide en vatios (W).

Ejemplo resuelto. El motor de un coche funciona a $12\ \text{kW}$ mientras el coche se mueve a $20\ \text{m s}^{-1}$ en una carretera nivelada. Encuentre la fuerza motriz.

• Dibuje un diagrama de fuerzas claro y descomponga en componentes perpendiculares; para el equilibrio, cada dirección suma cero.
• Use SUVAT solo para aceleración constante y mantenga una dirección positiva consistente.
• Aplique $F = ma$ en la dirección del movimiento, incluyendo la fricción ($F = \mu R$) sobre una superficie rugosa.
• Indique sus suposiciones (cuerda ligera e inextensible, polea lisa, partícula) — a menudo valen un punto.

Elija un diagrama que se adapte a los datos. Debe ser capaz de dibujar y leer:

• un diagrama de tallo y hojas (mantiene los valores originales y muestra la forma); dos conjuntos de datos se comparan con una versión de espalda con espalda —un tallo central compartido, las hojas de un conjunto aumentando hacia la izquierda y las del otro hacia la derecha, para poder comparar sus medianas y dispersiones de un vistazo;
• un diagrama de caja y bigotes (muestra el valor más bajo, los tres cuartiles y el valor más alto);
• un histograma (para datos agrupados, donde el área de cada barra representa la frecuencia);
• un gráfico de frecuencia acumulada (sumas progresivas, utilizado para estimar la mediana y los cuartiles).

Promedios y dispersión

Una medida de tendencia central es un único valor "medio":

• la media $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (el promedio);
• la mediana (el valor medio cuando los datos están ordenados);
• la moda (el valor más frecuente).

Una medida de variación muestra qué tan dispersos están los datos:

• el rango (de datos) (más alto $-$ más bajo);
• el rango intercuartílico (cuartil superior $-$ cuartil inferior);
• la desviación estándar $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.

A menudo trabaja con los totales $\sum x$ y $\sum x^2$. El cuadrado de la desviación estándar es la varianza.

Ejemplo resuelto. Para $10$ valores, $\sum x = 50$ y $\sum x^2 = 300$. Encuentre la media y la desviación estándar.

El codificación facilita el manejo de números grandes. Reemplace cada valor por $t=x-a$ para una media supuesta conveniente $a$. Entonces $\bar{x}=a+\bar{t}$, mientras que la desviación estándar permanece invariable (desplazar todos los valores no dispersa los datos). Así, a partir de los totales codificados $\sum(x-a)$ y $\sum(x-a)^2$, obtiene $\bar x$ y $\sigma$ directamente, y puede comparar dos conjuntos de datos a través de sus totales codificados.

Una permutación es un arreglo donde el orden importa; una combinación es una selección donde el orden no importa. Los números son

Para organizar objetos en una línea cuando algunos se repiten, divida por el factorial de cada cuenta de repeticiones.

Ejemplo resuelto. ¿Cuántos arreglos diferentes hay de las letras de la palabra NEEDLESS?

Hay $8$ letras, con E repetido $3$ veces y S repetido $2$ veces:

Encuentre una probabilidad contando resultados igualmente probables, o usando permutaciones y combinaciones. Combine probabilidades con estas reglas:

• adición para "o": $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
• multiplicación para "y" cuando los eventos son independientes: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Dos eventos son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos, y eventos independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Para probar la independencia, verifique si $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Una probabilidad condicional es la probabilidad de $A$ dado que $B$ ha ocurrido: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Ejemplo resuelto. Los eventos tienen $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cap B) = 0.2$. ¿Son $A$ y $B$ independientes?

Prueba: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Los valores son iguales, por lo tanto $A$ y $B$ son independientes.

Una variable aleatoria discreta $X$ toma valores separados, cada uno con una probabilidad. Enlistéelos en una tabla de distribución de probabilidad; las probabilidades deben sumar $1$. Luego la esperanza (media) y la varianza son

Dos modelos especiales:

• la distribución binomial $X \sim B(n, p)$, para el número de éxitos en $n$ ensayos independientes: $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, con $E(X) = np$ y $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
• la distribución geométrica, para el ensayo en el que ocurre el primer éxito: $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, con $E(X) = \dfrac{1}{p}$.

Ejemplo resuelto. $X \sim B(10, 0.3)$. Encuentre $P(X = 2)$ y $E(X)$.

La distribución normal modela una variable aleatoria continua con una forma de campana simétrica. Escriba $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, donde $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar. Para usar las tablas, mediante la estandarización convierta a la variable $Z \sim N(0, 1)$:

Entonces $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, lo cual se lee de la tabla normal $\Phi$.

La distribución normal también es una buena aproximación a la binomial cuando $n$ es grande. Como reemplaza una variable discreta por una continua, aplique una corrección de continuidad (ajuste por $0.5$).

Ejemplo resuelto. Las bolsas de arroz tienen masa $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Dado que $P(X < 1.48) = 0.22$, encuentre $\mu$.

De la tabla, $P(Z < z) = 0.22$ da $z = -0.772$. Por lo tanto

• Decida si el orden importa: permutaciones ($^nP_r$) si importa, combinaciones ($^nC_r$) si no importa.
• Para una variable aleatoria discreta, verifique que las probabilidades sumen $1$ y use $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
• Para la distribución normal, estandice con $z = (x - \mu)/\sigma$, dibuje y sombre, luego lea la tabla.
• Aplique una corrección de continuidad al aproximar una variable discreta por la normal.

La distribución de Poisson 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ modela el número de eventos aleatorios en un intervalo fijo, cuando los eventos ocurren a una tasa promedio constante $\lambda$:

Para una variable de Poisson, tanto la media como la varianza son iguales a $\lambda$. La distribución de Poisson es una buena aproximación 近似 a la distribución binomial cuando $n$ es grande y $p$ es pequeña. La distribución normal (con corrección de continuidad) aproxima a la Poisson cuando $\lambda$ es grande.

Ejemplo resuelto. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Calcule $P(X = 2)$.

Cuando se cambia una variable según una regla lineal, la esperanza 期望 (media) y la varianza 方差 siguen estas reglas:

Para dos variables independientes $X$ e $Y$: Dos hechos útiles: si $X$ tiene una distribución normal 正态分布, entonces $aX + b$ también la tiene; y la suma de variables de Poisson independientes vuelve a ser Poisson.

Ejemplo resuelto. $X$ tiene media $5$ y varianza $4$. Calcule $E(3X - 1)$ y $\mathrm{Var}(3X - 1)$.

Una variable aleatoria continua 连续型随机变量 puede tomar cualquier valor en un rango. Sus probabilidades provienen de una función de densidad de probabilidad 概率密度函数 $f(x)$, con dos propiedades clave:

Una probabilidad es el área bajo $f$, y la media se encuentra por integración:

La función de distribución acumulativa 累积分布函数 es $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; la mediana 中位数 resuelve $F(m) = 0.5$, y otros percentiles 百分ílicores resuelven $F(x) = p$.

Ejemplo resuelto. Una variable continua tiene $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$ (y $0$ en otro caso). Calcule $E(X)$.

La varianza usa la misma idea, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Para la misma $f(x)=\tfrac12 x$ en $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, así que $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.

Una muestra 样本 es un grupo pequeño elegido de toda la población 总体. Una muestra aleatoria necesita aleatoriedad 随机性, para que cada miembro tenga una oportunidad justa de ser elegido.

Algunos métodos son insatisfactorios porque están sesgados 有偏: encuestar solo voluntarios o a las primeras 20 personas en llegar sobre-representan ciertos tipos de personas. Una muestra verdaderamente aleatoria usa números aleatorios: numere a cada miembro de la población, luego extraiga números (de una tabla o un generador) para decidir quién está en la muestra.

La media muestral $\bar{X}$ es en sí misma una variable aleatoria, con

Por el Teorema Central del Límite 中心极限定理, para una muestra grande $\bar{X}$ es aproximadamente normal, independientemente de la forma de la población.

De una muestra se pueden obtener estimadores insesgados 无偏估计 de la media y la varianza de la población. Un intervalo de confianza 置信区间 da un rango que probablemente contiene la media verdadera. Cuando la población es normal con $\sigma$ conocida (o la muestra es grande), un intervalo del $95\%$ es

También se puede encontrar un intervalo de confianza para una proporción poblacional 总体比例 a partir de una muestra grande.

Ejemplo resuelto. Una muestra de $n = 64$ tiene media $\bar{x} = 50$, procedente de una población con $\sigma = 8$. Calcule un intervalo de confianza del $95\%$ para la media de la población.

Una prueba de hipótesis 假设检验 usa datos muestrales para evaluar una afirmación. Establece dos enunciados: la hipótesis nula 原假设 $H_0$ (la afirmación que se pone a prueba, usualmente "sin cambio") y la hipótesis alternativa 备择假设 $H_1$ (lo que sospecha en su lugar). La prueba es unilateral 单尾 si $H_1$ apunta en una dirección (ej. $\mu > 50$) y bilateral 双尾 si permite ambas direcciones ($\mu \neq 50$).

Se fija un nivel de significancia 显著性水平 (usualmente $5\%$), se calcula un estadístico de prueba 检验统计量 a partir de los datos, y se observa si cae en la región de rechazo 拒绝域 (también llamada región crítica); si lo hace, se rechaza $H_0$, de lo contrario el estadístico está en la región de aceptación.

Son posibles dos errores: un error Tipo I 第一类 error es rechazar $H_0$ cuando en realidad es verdadero; un error Tipo II 第二类 error es aceptar $H_0$ cuando en realidad es falso. Se pueden encontrar sus probabilidades desde la región de rechazo: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – esto es igual al nivel de significancia – y $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ verdadero para un valor declarado$)$, calculado desde la distribución binomial, de Poisson o normal.

Ejemplo resuelto. Se afirma que una población tiene media $50$, con $\sigma = 8$. Una muestra de $n = 64$ da $\bar{x} = 52$. Pruebe al nivel del $5\%$ si la media ha cambiado.

$H_0\!: \mu = 50$ y $H_1\!: \mu \neq 50$ (bilateral). El estadístico de prueba es

El valor crítico al $5\%$ (bilateral) es $1.96$. Dado que $2 > 1.96$, se rechaza $H_0$: hay evidencia de que la media ha cambiado.

Ejemplo resuelto (una prueba binomial). Se afirma que una moneda es justa pero se sospecha que sale cara muy rara vez: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. En $n=30$ lanzamientos se obtienen $X=9$ caras. Bajo $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, por lo que la probabilidad unilateral de la cola es

Dado que $0.021<0.05$, se rechaza $H_0$: la moneda parece estar sesgada contra salir cara. (Para $n$ grande la binomial se aproxima con una normal; una prueba de Poisson funciona de la misma manera para eventos raros. Y aquí, si la regla es "rechazar cuando $X\leqslant 9$", entonces $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)

• Use la distribución de Poisson para eventos raros, aleatorios e independientes; su media es igual a su varianza ($= \lambda$).
• Al combinar variables aleatorias independientes, las varianzas se suman (nunca se restan).
• Para una prueba de hipótesis, plantee $H_0$ y $H_1$, el nivel de significancia, el estadístico de prueba y una conclusión en contexto.
• Para un intervalo de confianza, use el valor correcto de $z$ (o $t$) e interprete verbalmente.