Vectors · Vectores
| English | Español |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vectorial |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | magnitud |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vector unitario |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | intersecar |
| skew/skjuː/ | sesgo |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | producto escalar |
Navigating in 3D
- GPS satellites track your position in three dimensions. Aircraft navigate using heading, pitch, and roll.
- Vectors 向量 are the mathematics of direction and magnitude 模长 in space — essential for physics, engineering, and computer graphics.
Navegación en 3D
- Los satélites GPS rastrean tu posición en tres dimensiones. Las aeronaves se navegan utilizando rumbo, cabeceo y balanceo.
- Los vectores son la matemática de la dirección y la magnitud en el espacio — esenciales para la física, la ingeniería y los gráficos por ordenador.
Vectors in 3D
- A vector has size and direction: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- Magnitude $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; a unit vector 单位向量 has magnitude 1.
Worked example. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Magnitude $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Unit vector $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
Forces like wind and water are vectors, with size and direction
Vectores en 3D
- Un vector tiene tamaño y dirección: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- Magnitud $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; un vector unitario tiene magnitud 1.
Ejemplo resuelto. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Magnitud $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Vector unitario $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
Fuerzas como el viento y el agua son vectores, con tamaño y dirección
What is the magnitude of the vector i + 2j + 2k? · ¿Cuál es la magnitud del vector i + 2j + 2k?
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
Vector equations of lines
- A line through point $\mathbf{a}$ in direction $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Lines may be parallel 平行 (same direction), intersect 相交 (share a point), or be skew 异面 (neither).
Skew lines don't intersect and aren't parallel. In 3D, two lines can miss each other entirely — they're not in the same plane. This is impossible in 2D.
Ecuaciones vectoriales de rectas
- Una recta que pasa por el punto $\mathbf{a}$ en dirección $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Las rectas pueden ser paralelas (misma dirección), secantes (comparten un punto) o ser alabeadas (ni paralelas ni secantes).
Las rectas alabeadas no se intersectan ni son paralelas. En 3D, dos rectas pueden no tocarse en absoluto — no están en el mismo plano. Esto es imposible en 2D.
The scalar product · El producto escalar
a · b = |a||b|cos θ
The · El dot product measures how much two vectors point the same way — it's zero · cero when they're perpendicular. · El producto punto mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección — es cero cuando son perpendiculares.
The vector equation of a line through point a in direction b is: · La ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto a en la dirección b es:
r = a + tb, where t is a scalar parameter. · r = a + tb, donde t es un parámetro escalar.
In 3D, two lines that don't intersect must be parallel. · En 3D, dos rectas que no se intersectan deben ser paralelas.
In 3D, lines can be skew — neither parallel nor intersecting. This is impossible in 2D. · En 3D, las rectas pueden ser alabeadas: ni paralelas ni que se intersectan. Esto es imposible en 2D.
The scalar (dot) product
- So $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ means the vectors are perpendicular 垂直.
- Use it to find the angle between two vectors: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
The scalar product 数量积 gives the angle: a·b = |a||b|cos θ, so cos θ = (a·b)/(|a||b|).
El producto escalar (producto punto)
- Por lo tanto, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que los vectores son perpendiculares.
- Úsalo para encontrar el ángulo entre dos vectores: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
El producto escalar da el ángulo: a·b = |a||b|cos θ, por lo que cos θ = (a·b)/(|a||b|).
Find the scalar product (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k). · Encuentre el producto escalar (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k).
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
If a·b = 0, the two vectors are perpendicular. · Si a·b = 0, los dos vectores son perpendiculares.
cos θ = 0 gives θ = 90°, so a zero dot product means the vectors are perpendicular. · cos θ = 0 da como resultado θ = 90°, por lo que un producto punto cero significa que los vectores son perpendiculares.
If a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, what is cos θ? · Si a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, ¿cuál es cos θ?
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5.
Worked example — angle between vectors
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. So $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are perpendicular ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: Vectors are inherently 3D and difficult to represent clearly in a 2D static diagram — the algebraic notation and worked examples convey the concepts effectively.
- Use position vectors and displacement vectors, and unit vectors; the ratio theorem divides a line in a given ratio.
Ejemplo resuelto — ángulo entre vectores
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. Por lo tanto, $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son perpendiculares ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: Los vectores son inherentemente 3D y difíciles de representar claramente en un diagrama estático 2D — la notación algebraica y los ejemplos resueltos transmiten los conceptos de manera efectiva.
- Usa vectores de posición y vectores de desplazamiento, y vectores unitarios; el teorema de la razón divide una recta en una proporción dada.
You've got it
- magnitude $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$; line: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- scalar product $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → perpendicular
Lo has logrado
- magnitud $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$; recta: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- producto escalar $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → perpendicular