Differential equations · Ecuaciones diferenciales
| English | Español |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | desintegración |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | ecuación diferencial |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tasa de cambio |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condición inicial |
| separable/ˈsepərəbl/ | separable |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integración |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solución particular |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solución general |
The equation that predicts the future
- How fast does a population grow? How quickly does a radioactive substance decay 衰减? How does a cup of coffee cool?
- All these questions lead to differential equations 微分方程 — equations that link a quantity to its rate of change 变化率. Solving them predicts the future.
La ecuación que predice el futuro
- ¿Cómo crece una población? ¿Qué tan rápido se descompone una sustancia radiactiva? ¿Cómo se enfría una taza de café?
- Todas estas preguntas conducen a las ecuaciones diferenciales — ecuaciones que relacionan una cantidad con su tasa de cambio. Resolverlas permite predecir el futuro.
What is a differential equation?
- A differential equation links a quantity to its rate of change.
- Example: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ says the rate of growth is proportional to the current value — exponential growth.
Real-world example. Newton's law of cooling: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. The rate of cooling is proportional to how much hotter the object is than its surroundings.
The constant gives a family of curves; an initial condition 初始条件 picks out one
¿Qué es una ecuación diferencial?
- Una ecuación diferencial relaciona una cantidad con su tasa de cambio.
- Ejemplo: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ indica que la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual — crecimiento exponencial.
Ejemplo del mundo real. Ley de enfriamiento de Newton: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. La tasa de enfriamiento es proporcional a cuánto más caliente está el objeto que su entorno.
La constante da lugar a una familia de curvas; una condición inicial selecciona una de ellas
The slope field · El campo de pendientes
dy/dx = a y
A differential equation gives the slope · pendiente everywhere — the solution is the curve that follows those slopes from y₀. · Una ecuación diferencial proporciona la pendiente en todos los puntos — la solución es la curva que sigue esas pendientes desde y₀.
A differential equation links a quantity to its rate of change. · Una ecuación diferencial relaciona una cantidad con su tasa de cambio.
That is the defining feature: the equation involves both y and dy/dx (or higher derivatives). · Esa es la característica definitoria: la ecuación involucra tanto y como dy/dx (o derivadas superiores).
Separable 可分离变量 equations
- For a separable first-order equation: put all $y$ terms on one side, all $x$ terms on the other, then integrate both sides.
- Example: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
Don't forget the constant of integration 积分常数. When you integrate both sides, add $+C$ to one side. This constant determines which particular solution 特解 you get.
Ecuaciones separables
- Para una ecuación diferencial de primer orden separable: coloca todos los términos $y$ en un lado, todos los términos $x$ en el otro, e integra ambos lados.
- Ejemplo: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
No olvides la constante de integración. Al integrar ambos lados, añade $+C$ a uno de ellos. Esta constante determina qué solución particular obtienes.
To solve a separable first-order differential equation, you: · Para resolver una ecuación diferencial separable de primer orden, usted:
Separate the variables, then integrate each side. · Separa las variables, luego integra cada lado.
General vs particular solutions
- The general solution 通解 contains a constant (a whole family of curves).
- An initial condition (a known value) fixes the constant → the particular solution.
Solución general vs. solución particular
- La solución general contiene una constante (una familia entera de curvas).
- Una condición inicial (un valor conocido) fija la constante → la solución particular.
An initial condition is used to: · Una condición inicial se utiliza para:
A known value fixes the arbitrary constant, turning the general solution into the particular one. · Un valor conocido fija la constante arbitraria, convirtiendo la solución general en la particular.
The general solution of a differential equation contains an arbitrary constant. · La solución general de una ecuación diferencial contiene una constante arbitraria.
Integrating introduces a constant, so the general solution is a whole family of curves. · Al integrar aparece una constante, por lo que la solución general es una familia completa de curvas.
Worked example
- Solve $\dfrac{dy}{dx} = xy$ with $y = 1$ at $x = 0$.
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Apply $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- So $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Differential equations are solved algebraically — the solution process (separation of variables, integration) is the key content, not a diagram.
- Solve a first order differential equation to model real-life rates of change.
Ejemplo resuelto
- Resuelve $\dfrac{dy}{dx} = xy$ con $y = 1$ cuando $x = 0$.
- Separa variables: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integra: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Aplica $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- Por lo tanto, $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Las ecuaciones diferenciales se resuelven algebraicamente; el proceso de solución (separación de variables, integración) es el contenido clave, no un diagrama.
- Resuelve una ecuación diferencial de primer orden para modelar tasas de cambio de la vida real.
Solve dy/dx = xy with y(0) = 1. At x = 2, y = e^(x²/2). Find y (2 dp). · Resuelve dy/dx = xy con y(0) = 1. En x = 2, y = e^(x²/2). Encuentra y (2 dp).
y = e^(x²/2). At x = 2: y = e² ≈ 7.39. · y = e^(x²/2). En x = 2: y = e² ≈ 7.39.
If ln y = x²/2 + C and y(0) = 1, what is C? · Si ln y = x²/2 + C y y(0) = 1, ¿cuál es C?
ln 1 = 0 + C, so C = 0. · ln 1 = 0 + C, entonces C = 0.
You've got it
- solve a separable equation by splitting variables and integrating both sides
- the general solution has a constant; an initial condition gives the particular solution
- a differential equation links a quantity to its rate of change
Ya lo dominas
- resuelve una ecuación separable separando variables e integrando ambos lados
- la solución general tiene una constante; una condición inicial proporciona la solución particular
- una ecuación diferencial relaciona una cantidad con su tasa de cambio