Complex numbers · Números complejos
| English | Español |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | número complejo |
| real part/rɪəl pɑːt/ | parte real |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | parte imaginaria |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | conjugado |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | módulo |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumento |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forma polar |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminante |
The number that doesn't exist
- What is $\sqrt{-1}$? For centuries, mathematicians said it doesn't exist. Then they discovered that pretending it does — calling it $i$ — unlocks solutions to equations that otherwise have none.
- Complex numbers 复数 extend the number line into a plane, and they're essential for electrical engineering, quantum mechanics, and signal processing.
El número que no existe
- ¿Qué es $\sqrt{-1}$? Durante siglos, los matemáticos dijeron que no existía. Luego descubrieron que fingir que sí existe —llamándolo $i$— desbloquea soluciones a ecuaciones que de otro modo no tendrían ninguna.
- Los números complejos 复数 extienden la recta numérica hacia un plano y son esenciales para la ingeniería eléctrica, la mecánica cuántica y el procesamiento de señales.
Complex numbers
- A complex number is $z = x + iy$, where $i^2 = -1$ — $x$ is the real part 实部, $y$ the imaginary part 虚部.
- The conjugate 共轭 $z^* = x - iy$. Real-coefficient polynomials have non-real roots in conjugate pairs.
- The modulus 绝对值 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; the argument 辐角 is the angle from the positive real axis.
Worked example. $z = 3 + 4i$. Modulus $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Conjugate $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, not $1$. When multiplying complex numbers, remember that $i^2 = -1$. For example, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
Self-similar patterns like Romanesco arise from iterating in the complex plane
Números complejos
- Un número complejo es $z = x + iy$, donde $i^2 = -1$; $x$ es la parte real 实部 e $y$ la parte imaginaria 虚部.
- El conjugado 共轭 es $z^* = x - iy$. Los polinomios con coeficientes reales tienen raíces no reales en pares conjugados.
- La módulo 绝对值 es $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; el argumento 辐角 es el ángulo respecto al eje real positivo.
Ejemplo resuelto. $z = 3 + 4i$. Módulo $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Conjugado $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, no $1$. Al multiplicar números complejos, recuerda que $i^2 = -1$. Por ejemplo, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
Patrones autosimilares como el romanesco surgen de iterar en el plano complejo
The Argand diagram · El diagrama de Argand
z = x + yi
Plot a complex number as a point: its distance from O is the modulus, its angle is the argument. · Representar un número complejo como un punto: su distancia a O es el módulo, su ángulo es el argumento.
What is the modulus of the complex number 3 + 4i? · ¿Cuál es el módulo del número complejo 3 + 4i?
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
The conjugate of z = 5 + 2i is: · El conjugado de z = 5 + 2i es:
The conjugate flips the sign of the imaginary part: z* = 5 − 2i. · El conjugado invierte el signo de la parte imaginaria: z* = 5 − 2i.
What is the value of i²? · ¿Cuál es el valor de i²?
By definition of the imaginary unit, i² = −1. · Por definición de la unidad imaginaria, i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. What is a (the real part)? · (2 + i)(3 + i) = a + bi. ¿Cuál es a (la parte real)?
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. Real part = 5. · (2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. Parte real = 5.
Argand diagram 阿干图 and polar form 极坐标形式
- Plot $z$ as a point on an Argand diagram (real axis horizontal, imaginary axis vertical).
On an Argand diagram, the modulus |z| is the distance from the origin and the argument is the angle θ.
- Polar form: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — multiplying multiplies moduli and adds arguments.
Diagrama de Argand 阿干图 y forma polar 极坐标形式
- Grafica $z$ como un punto en un diagrama de Argand (eje horizontal real, eje vertical imaginario).
En un diagrama de Argand, el módulo |z| es la distancia desde el origen y el argumento es el ángulo θ.
- Forma polar: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$; al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
Division using the conjugate
- To divide, multiply top and bottom by the conjugate of the bottom.
- Example: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
División usando el conjugado
- Para dividir, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
- Ejemplo: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
(3+i)/(1−i) = a + bi. What is b (the imaginary part)? · (3+i)/(1−i) = a + bi. ¿Cuál es b (la parte imaginaria)?
Multiply by (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. Imaginary part = 2. · Multiplicar por (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. Parte imaginaria = 2.
Solving equations with complex roots
- A quadratic with negative discriminant 判别式 has complex roots: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- Real-coefficient polynomials always have non-real roots in conjugate pairs: if $a + bi$ is a root, so is $a - bi$.
allow_no_figure: Complex number arithmetic and the Argand diagram are algebraic/geometric concepts that are effectively conveyed through notation and worked examples.
- Besides Cartesian and polar forms, find square roots of a complex number and sketch loci (e.g. $|z-a|=r$).
Resolución de ecuaciones con raíces complejas
- Una ecuación cuadrática con discriminante negativo 判别式 tiene raíces complejas: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- Los polinomios con coeficientes reales siempre tienen raíces no reales en pares conjugados: si $a + bi$ es una raíz, entonces $a - bi$ también lo es.
allow_no_figure: La aritmética de los números complejos y el diagrama de Argand son conceptos algebraicos/geométricos que se transmiten eficazmente mediante notación y ejemplos resueltos.
- Además de las formas cartesiana y polar, encuentra raíces cuadradas de un número complejo y dibuja loci (ej. $|z-a|=r$).
If a polynomial with real coefficients has root 2 + 3i, it must also have root 2 − 3i. · Si un polinomio con coeficientes reales tiene raíz 2 + 3i, también debe tener la raíz 2 − 3i.
Real-coefficient polynomials always have non-real roots in conjugate pairs. · Los polinomios con coeficientes reales siempre tienen raíces no reales en pares conjugados.
You've got it
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; conjugate $z^* = x - iy$; modulus $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- plot on the Argand diagram; polar form $z = re^{i\theta}$
- divide by multiplying top and bottom by the bottom's conjugate
Lo has logrado
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; conjugado $z^* = x - iy$; módulo $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- graficar en el diagrama de Argand; forma polar $z = re^{i\theta}$
- dividir multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador