Logarithms, trigonometry and numerical methods (Pure 3) · Logaritmos, trigonometría y métodos numéricos (Pura 3)
| English | Español |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritmo |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | ecuación exponencial |
| decay/dɪˈkeɪ/ | desintegración |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | linealizar |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | convergencia |
Building on what you know
- Pure 3 doesn't introduce entirely new ideas — it deepens and extends the skills from Pure 2.
- Logarithms 对数, trigonometry, and numerical methods return with harder problems and richer applications.
Construyendo sobre lo que ya sabes
- Pure 3 no introduce ideas completamente nuevas — profundiza y amplía las habilidades de Pure 2.
- Los logaritmos, la trigonometría y los métodos numéricos regresan con problemas más difíciles y aplicaciones más ricas.
Logarithms revisited
- The log laws with $e^x$ and $\ln x$ return in harder contexts: solving exponential equations 指数方程, modelling growth and decay 衰减, and linearising 线性化 data.
- Key skill: when the unknown is in the power, take logs of both sides.
Worked example. Solve $5e^{2x} = 30$. Divide: $e^{2x} = 6$. Take $\ln$: $2x = \ln 6$, so $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
A line r = a + t b: start at a, then slide by t lots of the direction b
Logaritmos repasados
- Las leyes de los logaritmos con $e^x$ y $\ln x$ vuelven en contextos más complejos: resolución de ecuaciones exponenciales, modelado de crecimiento y decrecimiento, y linealización de datos.
- Habilidad clave: cuando la incógnita está en el exponente, toma logaritmos en ambos lados.
Ejemplo resuelto. Resuelve $5e^{2x} = 30$. Divide: $e^{2x} = 6$. Toma $\ln$: $2x = \ln 6$, por lo tanto $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
Una recta r = a + t b: comienza en a, luego deslázate por t unidades en la dirección b
What is ln(e³)? · ¿Cuál es ln(e³)?
ln and e are inverses, so ln(e³) = 3. · ln y e son inversas, por lo tanto ln(e³) = 3.
Solve 5e^(2x) = 30 for x (2 dp). · Resuelve 5e^(2x) = 30 para x (2 decimales).
e^(2x) = 6, so 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90. · e^(2x) = 6, entonces 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
Trigonometry revisited
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- The compound- and double-angle formulae, and the $R$-form of $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- These identities are essential for integration and solving trig equations.
Don't mix up the identities. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (plus sign), not $1 - \tan^2\theta$. The sign comes from dividing $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ by $\cos^2\theta$.
Trigonometría repasada
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- Las fórmulas de ángulo compuesto y doble, y la forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- Estas identidades son esenciales para la integración y la resolución de ecuaciones trigonométricas.
No confundas las identidades. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (signo más), no $1 - \tan^2\theta$. El signo proviene de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ entre $\cos^2\theta$.
The unit circle · La circunferencia unitaria
(cos θ, sin θ)
The · El R-formula rewrites a sin θ + b cos θ as one wave — and it all lives on this circle. · La fórmula R reescribe a sin θ + b cos θ como una sola onda — y todo esto se representa en este círculo.
Using sec²θ ≡ 1 + tan²θ, if tan θ = 3, what is sec²θ? · Usando sec²θ ≡ 1 + tan²θ, si tan θ = 3, ¿cuál es sec²θ?
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
The correct identity is sec²θ ≡ 1 + tan²θ (plus, not minus). · La identidad correcta es sec²θ ≡ 1 + tan²θ (más, no menos).
Numerical methods revisited
- A sign change to trap a root, then an iterative formula $x_{n+1} = F(x_n)$.
- Convergence 收敛 requires $|F'(x)| < 1$ near the root.
allow_no_figure: Review lesson consolidating Pure 2 skills (logarithms, trigonometry, numerical methods) — no new visual concepts introduced.
Métodos numéricos repasados
- Un cambio de signo para acotar una raíz, seguido de una fórmula iterativa $x_{n+1} = F(x_n)$.
- La convergencia requiere que $|F'(x)| < 1$ cerca de la raíz.
allow_no_figure: Lección de repaso que consolida las habilidades de Pure 2 (logaritmos, trigonometría, métodos numéricos) — no se introducen nuevos conceptos visuales.
A numerical root is found by a sign change, then repeatedly applying: · Se encuentra una raíz numérica mediante un cambio de signo, luego aplicando repetidamente:
Iteration applies x_{n+1} = F(x_n) until the values converge to the root. · La iteración aplica x_{n+1} = F(x_n) hasta que los valores convergen hacia la raíz.
Worked example — R-formula application
- Express $3\sin\theta + 4\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- So $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- Maximum value is $5$ (when $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- Plotting $\ln y$ against $x$ gives a line whose gradient and intercept find the constants (using indices and inverse functions); know the reciprocal trig functions secant, cosecant, cotangent; and iteration $x_{n+1}=F(x_n)$ shows convergence to a root.
Ejemplo resuelto — Aplicación de la fórmula R
- Expresa $3\sin\theta + 4\cos\theta$ en la forma $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- Por lo tanto, $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- El valor máximo es $5$ (cuando $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- Al graficar $\ln y$ frente a $x$, se obtiene una recta cuya pendiente e intersección permiten hallar las constantes (usando índices y funciones inversas); conoce las funciones trigonométricas recíprocas secante, cosecante, cotangente; y la iteración $x_{n+1}=F(x_n)$ muestra la convergencia hacia una raíz.
For 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), what is R? · Para 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), ¿cuál es R?
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
You've got it
- 3.2 logs, 3.3 trig identities/angle formulae, 3.6 numerical methods = the Pure 2 skills
- use $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ and the R-formula as before
- find roots by a sign change then iteration $x_{n+1} = F(x_n)$
Lo has logrado
- 3.2 logaritmos, 3.3 identidades/fórmulas angulares trigonométricas, 3.6 métodos numéricos = las habilidades de Pure 2
- usa $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ y la fórmula R como antes
- encuentra raíces mediante un cambio de signo seguido de iteración $x_{n+1} = F(x_n)$