Differentiation (Pure 3) · Diferenciación (Pure 3)
| English | Español |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tangente inversa |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regla de la cadena |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | paramétrico |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regla del producto |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | derivación implícita |
The derivative 导数 that completes the circle
- You know the derivatives of $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$, and $\ln x$. Pure 3 adds one more: the inverse tangent 反正切.
- Together, these standard derivatives let you differentiate any combination of elementary functions.
La derivada que completa el círculo
- Conoces las derivadas de $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$ y $\ln x$. El Pure 3 añade una más: la tangente inversa 反正切.
- Juntas, estas derivadas estándar te permiten derivar cualquier combinación de funciones elementales.
Review of Pure 2 methods
- The methods are those of Pure 2: the product, quotient and chain rules 链式法则, with parametric 参数 and implicit curves.
- These are the workhorses of differentiation — master them and you can handle any problem.
Worked example. $y = x^2 e^{3x}$. Product rule 乘积法则 with $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z on an Argand diagram: modulus is the distance, argument the angle, conjugate the reflection
Repaso de métodos del Pure 2
- Los métodos son los del Pure 2: las reglas del producto, cociente y cadena 链式法则, con curvas paramétricas 参数 e implícitas.
- Son los pilares de la diferenciación — domínalas y podrás resolver cualquier problema.
Ejemplo resuelto. $y = x^2 e^{3x}$. Regla del producto 乘积法则 con $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z en un diagrama de Argand: el módulo es la distancia, el argumento el ángulo, el conjugado el reflejo
The gradient at a point · La pendiente en un punto
gradient = dy/dx · pendiente = dy/dx
Implicit or not, the derivative is still the slope of the tangent · tangente — slide the point to see it. · Implícita o no, la derivada sigue siendo la pendiente de la tangente; desliza el punto para verlo.
Pure 3 differentiation still uses the product, quotient and chain rules from Pure 2. · La diferenciación Pure 3 todavía utiliza las reglas del producto, cociente y cadena de Pure 2.
Those rules carry over; only the inverse-tangent derivative is new. · Esas reglas se mantienen; solo la derivada de la tangente inversa es nueva.
If y = x²e^(3x), then dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). At x = 0, dy/dx = ? · Si y = x²e^(3x), entonces dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). En x = 0, dy/dx = ?
At x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0. · En x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
The inverse tangent derivative
- One new standard derivative:
- This appears in integration (the reverse) and in related rates problems.
$\tan^{-1}x$ is NOT $\dfrac{1}{\tan x}$. The notation $\tan^{-1}x$ means the inverse function (arctan), not the reciprocal 倒数. The reciprocal is $\cot x$.
La derivada de la tangente inversa
- Una nueva derivada estándar:
- Aparece en integración (como proceso inverso) y en problemas de tasas relacionadas.
$\tan^{-1}x$ NO es $\dfrac{1}{\tan x}$. La notación $\tan^{-1}x$ significa la función inversa (arcotangente), no el recíproco 倒数. El recíproco es $\cot x$.
The derivative of tan⁻¹x is 1/(1+x²). What is its value at x = 1? · La derivada de tan⁻¹x es 1/(1+x²). ¿Cuál es su valor en x = 1?
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
What is the derivative of tan⁻¹x at x = 0? · ¿Cuál es la derivada de tan⁻¹x en x = 0?
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x means 1/tan x. · tan⁻¹x significa 1/tan x.
tan⁻¹x is the inverse function (arctan), not the reciprocal. The reciprocal is cot x. · tan⁻¹x es la función inversa (arcotangente), no el recíproco. El recíproco es cot x.
Implicit differentiation 隐函数微分 revisited
- For equations like $x^2 + y^2 = 25$, differentiate every term with respect to $x$.
- When you meet a $y$ term, apply the chain rule: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- Then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: Review lesson consolidating Pure 2 differentiation methods (product, quotient, chain rules) with one new derivative — no new visual concepts introduced.
Diferenciación implícita 隐函数微分 revisitada
- Para ecuaciones como $x^2 + y^2 = 25$, deriva cada término con respecto a $x$.
- Cuando encuentres un término con $y$, aplica la regla de la cadena: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- Luego despeja $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: Lección de repaso que consolida los métodos de diferenciación del Pure 2 (reglas del producto, cociente y cadena) con una nueva derivada — sin introducir nuevos conceptos visuales.
Worked example — implicit differentiation
- Find $\dfrac{dy}{dx}$ for $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- Differentiate: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Collect $\dfrac{dy}{dx}$ terms: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- Differentiate relations given implicitly or parametrically.
Ejemplo resuelto — diferenciación implícita
- Encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ para $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- Deriva: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Agrupa los términos con $\dfrac{dy}{dx}$: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- Deriva relaciones dadas de forma implícita o paramétrica.
When differentiating y² implicitly with respect to x, you get: · Al derivar y² implícitamente con respecto a x, obtienes:
By the chain rule: d/dx(y²) = 2y · dy/dx. · Por la regla de la cadena: d/dx(y²) = 2y · dy/dx.
You've got it
- reuse the product / quotient / chain rules from Pure 2
- the new derivative: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- still handle parametric and implicit curves the same way
Lo has logrado
- reutiliza las reglas del producto / cociente / cadena del Pure 2
- la nueva derivada: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- sigue manejando curvas paramétricas e implícitas de la misma manera