IGCSE Mathematics · Mathematics IGCSE · Topic 5 · หัวข้อ 5
7:47
การวัดพื้นที่และปริมาตร
Piramide Great of Giza ยืนหยัดมานานสี่พันห้าร้อยปี มีหินภายในกี่หน่วย? ประมาณสองล้านห้าแสนลูกบาศก์เมตร — และหนึ่ง…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
ใบงานนี้ครอบคลุม Topic 5, Mensuration (การวัดความยาว พื้นที่ และปริมาตร). เนื้อหา Core และ Extended ที่นี่เกือบเหมือนกัน. ในการสอบ บางสูตรถูกให้ไว้ในรายการสูตร แต่คุณควรจำทั้งหมด
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ใช้หน่วยเมตริกของมวล ความยาว พื้นที่ ปริมาตร และความจุในสถานการณ์จริงและแปลงปริมาณเป็นหน่วยที่ใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง | หน่วยรวมถึง: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg การแปลงระหว่างหน่วยรวมถึง: • ระหว่างหน่วยพื้นที่ที่แตกต่างกัน เช่น $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • ระหว่างหน่วยปริมาตรและความจุ เช่น $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$ |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
เราใช้ ** metric units** สำหรับ มวล (g, kg), ความยาว (mm, cm, m, km), พื้นที่, ปริมาตร และ ความจุ (ml, litres — พื้นที่ภายในภาชนะ)
ในการแปลงหน่วย ระวังเรื่องกำลังสองและกำลังสาม:
ตัวอย่างวิธีทำ. แปลง $3\text{ m}^{2}$ เป็น $\text{cm}^{2}$
Choose the unit that matches the measurement scale. · เลือกหน่วยที่ตรงกับสเกลการวัด.
| English | ไทย |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | เมตริก |
| mass/mæs/ | มวล |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ทำการคำนวณเกี่ยวกับเส้นรอบรูปและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมขนาน และสี่เหลี่ยมคางหมู | ยกเว้นพื้นที่ของสามเหลี่ยม จะไม่ได้ให้สูตร |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ทำการคำนวณเกี่ยวกับเส้นรอบรูปและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า, สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมขนาน และสี่เหลี่ยมคางหมู. | ยกเว้นพื้นที่ของสามเหลี่ยม, สูตรจะไม่ถูกกำหนดให้. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
周长 คือระยะรอบทั้งหมดของรูปทรง พื้นที่ คือปริมาณพื้นที่แบนภายใน นี่คือ $b$ คือ ฐาน และ $h$ คือ ความสูง ที่ตั้งฉาก
| รูปทรง | พื้นที่ |
|---|---|
| สี่เหลี่ยมผืนผ้า | $\text{length} \times \text{width}$ |
| สามเหลี่ยม | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| สี่เหลี่ยมขนาน | $b \times h$ |
| สี่เหลี่ยมคางหมู | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นด้านคู่ขนานทั้งสองด้าน |
ตัวอย่างวิธีทำ. รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านขนานกัน $6\text{ cm}$ และ $10\text{ cm}$ และความสูง $4\text{ cm}$. จงหาพื้นที่ของมัน.
area = side^2 · พื้นที่ = ด้าน^2
Change side length and see why area grows quadratically. · เปลี่ยนความยาวด้านเพื่อดูว่าทำไมพื้นที่จึงเพิ่มขึ้นแบบกำลังสอง
| English | ไทย |
|---|---|
| length/leŋθ/ | ความยาว |
| area/ˈeərɪə/ | พื้นที่ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ทำการคำนวณเกี่ยวกับเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม | คำตอบอาจถูกถามด้วยรูป $\pi$ |
| 2 ทำการคำนวณเกี่ยวกับความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ส่วนตัดวงเป็นเศษส่วนของเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม โดยที่มุมส่วนตัดวงเป็นปัจจัยของ $360^\circ$ | สูตรให้ไว้ในรายการสูตร |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ทำการคำนวณเกี่ยวกับเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม. | คำตอบอาจขอให้อยู่ในรูปของ $\pi$. สูตรจะถูกกำหนดในรายการสูตร. |
| 2 ทำการคำนวณเกี่ยวกับความยาวส่วน弧และพื้นที่ส่วนวงกลมเป็นเศษส่วนของเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม. | รวมถึงส่วนวงกลมเล็กและส่วน弧ใหญ่. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
สำหรับ วงกลม ที่มี รัศมี $r$ (และมี เส้นผ่านศูนย์กลาง $d = 2r$):
เส้นรอบวง คือระยะรอบวงกลม
ตัวอย่างวิธีทำ. วงกลมมีรัศมี $7\text{ cm}$ จงหาเส้นรอบวงและพื้นที่ (คำตอบให้เหลือ $\pi$ ไว้ในรูป)
| English | ไทย |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | วงกลม |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | รัศมี |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | เส้นรอบวง |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ทำการคำนวณเกี่ยวกับเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม | คำตอบอาจถูกถามด้วยรูป $\pi$ |
| 2 ทำการคำนวณเกี่ยวกับความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ส่วนตัดวงเป็นเศษส่วนของเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม โดยที่มุมส่วนตัดวงเป็นปัจจัยของ $360^\circ$ | สูตรให้ไว้ในรายการสูตร |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ทำการคำนวณเกี่ยวกับเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม. | คำตอบอาจขอให้อยู่ในรูปของ $\pi$. สูตรจะถูกกำหนดในรายการสูตร. |
| 2 ทำการคำนวณเกี่ยวกับความยาวส่วน弧และพื้นที่ส่วนวงกลมเป็นเศษส่วนของเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม. | รวมถึงส่วนวงกลมเล็กและส่วน弧ใหญ่. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
ส่วนโค้ง เป็นส่วนของเส้นรอบวง ส่วนวงกลม คือ "ชิ้นพิซซ่า" ระหว่างรัศมีสองเส้น ถ้ามุมของส่วนวงกลมคือ $\theta$ ส่วนโค้งและส่วนวงกลมจะมีขนาดเป็นเศษส่วนนั้น $\dfrac{\theta}{360}$ ของวงกลมทั้งวง:
ชิ้นเล็กเรียกว่า ส่วนวงกลมเล็ก; ส่วนที่เหลือขนาดใหญ่เรียกว่า ส่วนวงกลมใหญ่
ตัวอย่างวิธีทำ. หา ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ของส่วนวงกลมที่มีมุม $90^{\circ}$ และรัศมี $8\text{ cm}$
เศษส่วนนี้คือ $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$ ดังนั้น
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · มุมหรือรัศมีที่ใหญ่ขึ้นจะทำให้เส้นโค้งยาวขึ้นและส่วนวงกลมมีขนาดใหญ่ขึ้น
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · เปลี่ยนมุมและรัศมีและอ่านค่า ความยาวส่วนโค้ง และ พื้นที่ส่วน-sector — เป็นเศษหนึ่งของวงกลมทั้งวง
| English | ไทย |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | ส่วนโค้ง |
| sector/ˈsektə/ | โซน |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | ภาควงกลมเล็ก |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | ภาควงกลมใหญ่ |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | ความยาวส่วนโค้ง |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ทำการคำนวณและแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของ: •平行六面体 •ทรง prism •ทรงกระบอก •ทรงกลม •ทรงกรวย •ทรงกรวย. | คำตอบอาจต้องแสดงในรูป $\pi$. สูตรที่ปรากฏในรายการสูตร: •พื้นที่ผิวโค้งของทรงกระบอก •พื้นที่ผิวโค้งของทรงกรวย •พื้นที่ผิวของทรงกลม •ปริมาตรของ prism •ปริมาตรของทรงกรวย •ปริมาตรของทรงกระบอก •ปริมาตรของทรงกรวย •ปริมาตรของทรงกลม. คำว่า prism หมายถึงรูปทรงสามมิติใดๆ ที่มีหน้าตัดสม่ำเสมอ เช่น ส่วนของทรงกระบอก (cylindrical sector). |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
表面积 คือพื้นที่รวมของหน้าภายนอกทั้งหมด ปริมาตรคือพื้นที่ภายใน สำหรับวัตถุเหล่านี้ ($r$ = รัศมี, $h$ = สูง):
| วัตถุ | ปริมาตร | 表面积 |
|---|---|---|
| สี่เหลี่ยมลูกบาศก์ | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | บวกหน้าทั้งหก |
| ปริซึม | (หน้าตัด พื้นที่) $\times$ ความยาว | — |
| ทรงกระบอก | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (พื้นที่ผิวโค้ง) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| พีระมิด | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| กรวย | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (โค้ง) $+\, \pi r^{2}$, โดยที่ $l$ คือ ความสูงเฉียง |
| ทรงกลม | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
ตัวอย่างวิธีทำ. ทรงกระบอกมีรัศมี $5\text{ cm}$ และความสูง $10\text{ cm}$ จงหาปริมาตรและ表面积รวม (ในรูปของ $\pi$)
surface area grows with scale^2 · ผิวหน้าเพิ่มขึ้นตามสเกล^2
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · เปลี่ยนสเกลความยาวเพื่อดูว่าปริมาตรเพิ่มขึ้นเร็วกว่าผิวหน้าอย่างไร
| English | ไทย |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | ปริมาตร |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | รองรับ |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | เส้นรอบรูป |
| base/beɪs/ | ฐาน |
| height/haɪt/ | ส่วนสูง |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | พื้นที่ผิว |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก |
| prism/ˈprɪzəm/ | ปริซึม |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | หน้าตัด |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | ทรงกระบอก |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | พื้นที่ผิวโค้ง |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | พีระมิด |
| cone/kəʊn/ | กรวย |
| slant height/slænt haɪt/ | ความสูงเฉียง |
| sphere/sfɪə/ | ทรงกลม |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ทำการคำนวณและแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้นรอบรูปและพื้นที่ของ: •รูปทรงประกอบ •ส่วนประกอบของรูปทรง. | คำตอบอาจต้องแสดงในรูป $\pi$. |
| 2 ทำการคำนวณและแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของ: •รูปทรงประกอบสามมิติ •ส่วนประกอบของรูปทรงสามมิติ. | เช่น หาปริมาตรของครึ่งหนึ่งของทรงกลม. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ทำการคำนวณและแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้นรอบรูปและพื้นที่ของ: •รูปทรงประกอบ •ส่วนประกอบของรูปทรง. | คำตอบอาจต้องแสดงในรูป $\pi$. |
| 2 ทำการคำนวณและแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของ: •形体ประกอบ •ส่วนหนึ่งของ形体. | เช่น หาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวยตัดปลาย. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
รูปประกอบ เกิดจากการต่อหรือตัดรูปทรงพื้นฐาน แยกมันออกเป็นส่วนที่คุณรู้ แล้วบวกหรือลบ
สำหรับ "ส่วน" ของวงกลมหรือวัตถุ ให้ใช้เศษส่วนที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น ครึ่งทรงกลม (ครึ่งหนึ่งของทรงกลม) มีปริมาตร
กรวย truncated คือกรวยหรือพีระมิดที่ถูกตัดยอดออก; หาปริมาตร由其 subtracting จากกรวยเล็กด้านบนออกจากกรวยเต็ม
ตัวอย่างวิธีทำ. หาพื้นที่ของรูป composed from a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end
ครึ่งวงกลมมีรัศมี $2.5\text{ cm}$:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · แยกรูปผสมออกเป็นส่วนย่อยๆ แล้วนำมารวมใหม่
| English | ไทย |
|---|---|
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | สี่เหลี่ยมผืนผ้า |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | สามเหลี่ยม |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | รูปขนานด้าน |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | สี่เหลี่ยมคางหมู |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | เส้นผ่านศูนย์กลาง |
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | รูปผสม |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | ครึ่งทรงกลม |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | กรวย truncated |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
Past Papers · ข้อสอบย้อนหลัง
Loading subjects… · กำลังโหลดวิชา…