Этот раздаточный материал охватывает Тема 1: Чистая математика 1. Это алгебраическая и дифференциально-интегральная основа курса. Каждый раздел ## соответствует одной подтеме учебной программы.
Чистая математика 1
A-Level Математика · Тема 1
28:42
Чистая математика 1
Посмотрите на большой висячий мост. Его огромные кабели имеют не случайную форму — они провисают идеальной параболой, кривой, которую можно описать одним уравнением. Эти…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
1.1
Квадратные уравнения
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| выполнять процесс выделения полного квадрата для квадратичного многочлена $ax^2 + bx + c$ и использовать формулу полного квадрата | например, для нахождения вершины графика функции $y = ax^2 + bx + c$ или для построения эскиза графика |
| находить дискриминант квадратичного многочлена $ax^2 + bx + c$ и использовать дискриминант | например, для определения количества действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Знание термина «повторный корень» включено. |
| решать квадратные уравнения и квадратные неравенства с одной переменной | Методами разложения на множители, выделения полного квадрата и использования формулы. |
| решать методом подстановки пару систем уравнений, одно из которых линейное, а другое квадратное | например, $x + y + 1 = 0$ и $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ и $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| распознавать и решать уравнения относительно $x$, которые являются квадратными относительно некоторой функции от $x$. | например, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Источник: Программа Cambridge International
Квадратное выражение имеет вид $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Буквы $a$, $b$, $c$ являются коэффициентами (фиксированными числами). Большая часть этого раздела посвящена решению уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Выделение полного квадрата
Чтобы выделить полный квадрат, нужно записать квадратный трехчлен в виде
$$a(x + p)^2 + q.$$
Эта форма полезна: она показывает вершину (точку поворота) кривой в точке $(-p,\ q)$, а также предоставляет быстрый способ решения уравнения.
Разбор примера. Представьте $9x^2 - 36x + 8$ в виде $p(x + q)^2 + r$.
Вынесите множитель $9$ из первых двух слагаемых, затем выделите полный квадрат внутри скобок:
$$\begin{aligned}
9x^2 - 36x + 8 &= 9\left(x^2 - 4x\right) + 8 \\
&= 9\left((x - 2)^2 - 4\right) + 8 \\
&= 9(x - 2)^2 - 36 + 8 = 9(x - 2)^2 - 28.
\end{aligned}$$
Таким образом, вершина находится в точках $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.
Дискриминант
Дискриминант выражения $ax^2 + bx + c$ равен
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
Он показывает количество действительных корней (действительных решений) для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
| Дискриминант | Корни |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | два различных действительных корня |
| $b^2 - 4ac = 0$ | один повторяющийся действительный корень |
| $b^2 - 4ac < 0$ | нет действительных корней |
Разбор примера. Найдите значения константы $k$, при которых выражение $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ имеет два различных действительных корня.
Здесь $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Для получения двух различных вещественных корней необходимо, чтобы $b^2 - 4ac > 0$:
$$(k + 8)^2 - 4(3k)(3) > 0 \;\Rightarrow\; k^2 + 16k + 64 - 36k > 0 \;\Rightarrow\; k^2 - 20k + 64 > 0.$$
Разложить на множители: $(k - 4)(k - 16) > 0$, следовательно, $k < 4$ или $k > 16$. Также необходимо, чтобы $a \neq 0$, значит, $k \neq 0$.
Квадратные уравнения и неравенства
Чтобы решить квадратное уравнение, разложите его на множители, выделите полный квадрат или используйте формулу
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
Чтобы решить квадратное неравенство, например $(k - 4)(k - 16) > 0$, найдите два корня, а затем определите, какая сторона от каждого корня делает верным данное утверждение. Эскиз параболы помогает: кривая находится выше оси $x$ (положительная) вне корней и ниже неё (отрицательная) между ними.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Чтобы решить систему из двух уравнений, где одно линейное, а другое квадратное, используйте метод подстановки: выразите одну переменную из линейного уравнения и подставьте её в квадратное. Это приведет к одному квадратному уравнению, которое нужно решить.
Уравнения, скрыто являющиеся квадратными
Некоторые уравнения являются квадратными относительно некоторой функции от $x$. Например, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ является квадратным по отношению к $x^2$: положите $u = x^2$, решите $u^2 - 5u + 4 = 0$, затем вернитесь к $x$. Вы будете использовать эту идею снова в тригонометрии.
Исследовать
Форма квадратичной функции
y = ax² + bx + c
Перетащите a, b и c. Наблюдайте за движением вершины, оси симметрии и корней (точек пересечения с осью x) при изменении коэффициентов.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Чистая математика (Pure Mathematics) |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | квадратичной |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | выделение полного квадрата |
| vertex/ˈvɜːteks/ | вершина |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | дискриминант |
| real roots/rɪəl ruːts/ | действительные корни |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | различные |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | квадратное уравнение |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | квадратное неравенство |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | система уравнений |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замещение |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | функцией |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | композиция функций |
| domain/dəˈmeɪn/ | области определения |
| range/reɪndʒ/ | область значений |
| one-one/wʌn wʌn/ | однозначное отображение |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | обратная функция |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | композиция |
| parabola/pəˈræbələ/ | параболу |
1.2
Функции
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать термины функция, область определения, множество значений, взаимооднозначная функция, обратная функция и композиция функций | |
| определять множество значений данной функции в простых случаях и находить композицию двух заданных функций | например, множество значений функции $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ при $x \geqslant 1$ и множество значений функции $g : x \mapsto x^2 + 1$ при $x \in \mathbb{R}$. Включается условие, что композиция функций $gf$ может быть образована только тогда, когда множество значений функции $f$ содержится в области определения функции $g$. |
| определять, является ли данная функция взаимооднозначной, и находить обратную функцию для взаимооднозначной функции в простых случаях | например, нахождение обратной функции для $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ при $x < -\frac{3}{2}$. |
| иллюстрировать графически соотношение между взаимооднозначной функцией и её обратной функцией | На эскизах должно быть указано направление линии отражения $y = x$. |
| понимать и использовать преобразования графика функции $y = f(x)$, задаваемые выражениями $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ и простыми комбинациями этих преобразований. | Включая использование терминов «сдвиг», «отражение» и «растяжение» при описании преобразований. Задания могут касаться алгебраических или тригонометрических функций, либо других графиков с заданными характеристиками. |
Источник: Программа Cambridge International
Функция — это правило, которое каждому входному значению ставит в соответствие ровно одно выходное. Запишите её как $f(x)$. Композиция функций $fg(x)$ означает сначала применить $g$, а затем применить $f$ к результату.
- Область определения — это множество допустимых входных значений $x$.
- Область значений — это множество выходных значений, которые функция действительно принимает.
Функция является однозначной, если различные входные значения всегда дают различные выходные (ни одно значение не повторяется). Только у однозначной функции существует обратная функция $f^{-1}$, которая обратит исходное правило.
Композиция двух функций означает выполнение одной после другой. $fg(x)$ означает «сначала выполните $g$, затем $f$»: $fg(x) = f(g(x))$. Композитная функция $fg$ существует только тогда, когда область значений $g$ содержится в области определения $f$.
Нахождение обратной функции
Чтобы найти $f^{-1}$: запишите $y = f(x)$, выразите $x$ как главную переменную, затем поменяйте местами буквы.
Разобранный пример. Функция $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ определена для $x \geqslant 0$. Найдите $f^{-1}(x)$.
Запишите $y = (x + 3)^2 - 12$ и решите относительно $x$:
$$(x + 3)^2 = y + 12 \;\Rightarrow\; x + 3 = \sqrt{y + 12} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y + 12} - 3.$$
Вы берёте положительный корень, потому что $x \geqslant 0$ означает $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Следовательно,
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 12} - 3.$$
Графики обратных функций и преобразования
График $y = f^{-1}(x)$ является отражением графика $y = f(x)$ относительно прямой $y = x$.
Вы должны знать эти преобразования графика $y = f(x)$:
| Новое уравнение | Влияние на график |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | параллельный перенос вверх на $a$ |
| $y = f(x + a)$ | параллельный перенос влево на $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | растяжение вдоль оси $y$, коэффициент масштабирования $a$ |
| $y = f(ax)$ | растяжение вдоль оси $x$, коэффициент масштабирования $\tfrac{1}{a}$ |
При сочетании двух преобразований порядок может иметь значение. Указывайте каждое полностью (тип, направление и величина).
Исследовать
Исследовать функцию
y = ax³ + bx² + cx + d
Функция преобразует каждый вход ровно в один выход — перетаскивайте коэффициенты и смотрите, где кривая возрастает и убывает.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| reflection/rɪˈflekʃn/ | отражения |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | преобразования |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | трансляция |
| stretch/stretʃ/ | растяжением |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | Координатная геометрия |
1.3
Координатная геометрия
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| находить уравнение прямой при наличии достаточной информации | например, заданы две точки, или одна точка и угловой коэффициент. |
| интерпретировать и использовать любую из форм записи $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ при решении задач | Включая вычисление расстояний, угловых коэффициентов, середины отрезка, точек пересечения и использование соотношения между угловыми коэффициентами параллельных и перпендикулярных прямых. |
| понимать, что уравнение $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ представляет собой окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$ | Включая использование развёрнутой формы записи $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| использовать алгебраические методы для решения задач, связанных с прямыми и окружностями | Включая использование элементарных геометрических свойств окружности, например: касательная перпендикулярна радиусу, угол в полуокружности, симметрия. Неполное дифференцирование не включено. |
| понимать связь между графиком и связанным с ним алгебраическим уравнением, а также использовать связь между точками пересечения графиков и решениями уравнений. | Например, для определения множества значений параметра $k$, при которых прямая $y = x + k$ пересекает, касается или не пересекает квадратичную кривую. |
Источник: Программа Cambridge International
Координатная геометрия изучает прямые линии и окружности с помощью их уравнений.
Прямые линии
Угловой коэффициент (крутизна) прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, равен
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$
Уравнение прямой линии можно записать в любой из следующих форм:
$$y = mx + c, \qquad y - y_1 = m(x - x_1), \qquad ax + by + c = 0.$$
Две прямые параллельны, когда их угловые коэффициенты равны, и перпендикулярны (под прямым углом), когда произведение их угловых коэффициентов равно $-1$.
Окружности
Окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$ имеет уравнение
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$
Раскрытая форма вида $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ представляет ту же окружность: выделите полный квадрат в выражениях для $x$ и для $y$, чтобы найти центр и радиус.
Касательная к окружности касается её в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Этот факт о прямом угле решает большинство задач об окружностях.
Разобранный пример. Точки $P(1, 1)$ и $Q(7, 11)$ являются концами диаметра окружности. Найдите уравнение этой окружности.
Центр находится в середине отрезка $PQ$:
$$\left(\frac{1 + 7}{2},\ \frac{1 + 11}{2}\right) = (4, 6).$$
Радиус равен половине длины отрезка $PQ$:
$$r = \tfrac12\sqrt{(7 - 1)^2 + (11 - 1)^2} = \tfrac12\sqrt{36 + 100} = \tfrac12\sqrt{136} = \sqrt{34}.$$
Следовательно, уравнение окружности выглядит так: $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.
Исследовать
Прямая линия
y = ax + b
Угловой коэффициент a наклоняет линию; отрезок b смещает её вверх и вниз.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | окружность |
| centre/ˈsentə/ | центре |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | радиусу |
| tangent/ˈtændʒənt/ | касательную |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | диаметру |
1.4
Круговые меры
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать определение радиана и использовать соотношение между радианами и градусами | |
| использовать формулы $s = r\theta$ и $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ при решении задач, связанных с длиной дуги и площадью сектора круга. | Включая вычисление длин и углов в треугольниках, а также площадей треугольников. |
Источник: Программа Cambridge International
Радианы
Радиан — это ещё один способ измерения углов. Один радиан — это центральный угол окружности, стягивающий дугу, длина которой равна радиусу. Связь между радианами и градусами выражается формулой
$$\pi \text{ radians} = 180^\circ.$$
Таким образом, чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на $\dfrac{\pi}{180}$; чтобы перевести радианы в градусы, умножьте на $\dfrac{180}{\pi}$.
Длина дуги и площадь сектора
Для сектора с радиусом $r$ и центральным углом $\theta$ (в радианах):
$$\text{arc length} = s = r\theta, \qquad \text{sector area} = A = \tfrac12 r^2 \theta.$$
Хорда делит сектор на треугольник и круговой сегмент. Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника:
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2 \theta - \tfrac12 r^2 \sin\theta = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta).$$
Разобранный пример. Сектор имеет центр в точке $O$, а угол при вершине $O$ равен $\tfrac{2}{3}\pi$ радианам. Докажите, что площадь сегмента, отсекаемого хордой, составляет приблизительно $0.614 r^2$.
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2\left(\tfrac{2}{3}\pi - \sin\tfrac{2}{3}\pi\right) = \tfrac12 r^2(2.0944 - 0.8660) = \tfrac12 r^2(1.2284) \approx 0.614 r^2.$$
Исследовать
Радианы, дуги и секторы
Измените угол (в радианах) и радиус. Видите, как обновляются длина дуги $s = r\theta$ и площадь сектора $\tfrac12 r^2\theta$.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | радиан |
| arc/ɑːk/ | дуга |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | градусах |
| sector/ˈsektə/ | сектора |
| chord/kɔːd/ | хорда |
| segment/ˈseɡmənt/ | сегмент |
1.5
Тригонометрия
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| Строить эскизы и использовать графики функций синуса, косинуса и тангенса (для углов любого размера и используя либо градусы, либо радианы) | Включая, например, $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| использовать точные значения синуса, косинуса и тангенса для углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ и смежных с ними углов | Например, $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| использовать обозначения $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ для обозначения главных значений обратных тригонометрических соотношений | Специальные знания этих функций не требуются, но ожидается понимание их как примеров обратных функций. |
| использовать тождества $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ и $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | Например, при доказательстве тождеств, упрощении выражений и решении уравнений. |
| находить все решения простых тригонометрических уравнений, лежащие в заданном интервале (общие формы решений не включены). | Например, решить $3 \sin 2x + 1 = 0$ для $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ для $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Источник: Программа Cambridge International
Графики и точные значения
Вы должны знать вид графиков функций синуса, косинуса и тангенса (записываются как $\sin$, $\cos$, $\tan$). Графики синуса и косинуса колеблются между значениями $-1$ и $1$ и повторяются каждые $360^\circ$ ($2\pi$). Выучите следующие точные значения:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Обозначения $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ означают обратный угол (главное значение).
Тождества
Тождество верно для любого значения угла. Два тождества, которые нужно знать:
$$\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1.$$
Используйте их, чтобы преобразовать уравнение так, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию.
Решение тригонометрических уравнений
Чтобы решить тригонометрическое уравнение, сначала сведите его к одной функции, затем найдите все решения в заданном интервале.
Разобранное решение. Решите $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ относительно $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Умножьте обе части на $\sin\theta$, чтобы избавиться от дроби. Это приведет к квадратному уравнению относительно $\sin\theta$:
$$6\sin^2\theta - \sin\theta - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (3\sin\theta - 2)(2\sin\theta + 1) = 0.$$
Следовательно, $\sin\theta = \tfrac23$ или $\sin\theta = -\tfrac12$.
- $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ или $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
- $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ или $\theta = -150^\circ$.
Четыре решения: $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Исследовать
Графики синуса и косинуса
Перетаскивайте амплитуду, период и сдвиги y = a·sin(bx + c) + d и наблюдайте, как меняется кривая относительно базовой волны.
Исследовать
Синус и косинус на единичной окружности
Перетащите угол вокруг единичной окружности. Высота соответствует $\sin\theta$, горизонтальное расстояние — $\cos\theta$ — именно отсюда берутся графики.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| sine/saɪn/ | синусоида |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | косинус |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | функция тангенс |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | главное значение |
| identity/aɪˈdentɪti/ | идентичность |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | тригонометрическое уравнение |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | биномиальное разложение |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | биномиальный коэффициент |
| progression/prəˈɡreʃn/ | прогрессия |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | арифметическая прогрессия |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | общая разность |
| term/tɜːm/ | член (последовательности) |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | геометрическая прогрессия |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | общий знаменатель |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | сходится |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | сумма бесконечного ряда |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Дифференцирование |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | градиент кривой |
| limit/ˈlɪmɪt/ | предел |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | цепное правило |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | вторую производную |
| normal/ˈnɔːml/ | нормаль |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | возрастающая функция |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | убывающая функция |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | скорость изменения |
1.6
Ряды
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать разложение $(a + b)^n$, где $n$ — положительное целое число | Включая обозначения $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ и $n!$. Знание наибольшего члена и свойств коэффициентов не требуется. |
| распознавать арифметические и геометрические прогрессии | |
| использовать формулы для $n$-го члена и суммы первых $n$ членов для решения задач, связанных с арифметическими или геометрическими прогрессиями | Включая знание того, что числа $a$, $b$, $c$ «находятся в арифметической прогрессии», если $2b = a + c$ (или эквивалентно), и «находятся в геометрической прогрессии», если $b^2 = ac$ (или эквивалентно). Вопросы могут касаться более чем одной прогрессии. |
| использовать условие сходимости геометрической прогрессии и формулу для суммы до бесконечности сходящейся геометрической прогрессии. |
Источник: Программа Cambridge International
Биномиальное разложение
Для положительного целого числа $n$ биномиальное разложение имеет вид:
$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n,$$
где $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ — биномиальный коэффициент.
Разобранный пример. Найдите первые три члена, упорядоченные по возрастанию степеней $x$, выражения $(2 - px)^5$.
$$(2 - px)^5 = 2^5 + \binom{5}{1}2^4(-px) + \binom{5}{2}2^3(-px)^2 + \cdots = 32 - 80px + 80p^2x^2 + \cdots$$
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Прогрессия (последовательность) — это список членов, следующих по определенному правилу.
- Арифметическая прогрессия (AP) на каждом шаге прибавляет фиксированную разность $d$. $n$-й член равен $u_n = a + (n - 1)d$, а сумма первых $n$ членов равна $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
- Геометрическая прогрессия (GP) на каждом шаге умножает на фиксированный знаменатель $r$. $n$-й член равен $u_n = ar^{\,n-1}$, а $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.
GP является сходящейся — она сходится (стремится к пределу) — когда $|r| < 1$. Тогда у нее есть сумма до бесконечности
$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}.$$
Разобранный пример. Третий член GP равен $18$, а сумма первых трех членов равна $26$. Знаменатель отрицателен. Найдите сумму до бесконечности.
Из $ar^2 = 18$ вы получаете $a = \dfrac{18}{r^2}$. Подставьте это в $a(1 + r + r^2) = 26$:
$$18(1 + r + r^2) = 26r^2 \;\Rightarrow\; 8r^2 - 18r - 18 = 0 \;\Rightarrow\; (4r + 3)(r - 3) = 0.$$
Знаменатель отрицателен, поэтому $r = -\tfrac34$ и $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Затем
$$S_\infty = \frac{32}{1 - (-\tfrac34)} = \frac{32}{\tfrac74} = \frac{128}{7}.$$
Исследовать
Арифметические и геометрические прогрессии
Переключайтесь между арифметической (прибавить d) и геометрической (умножить на r) прогрессиями и наблюдайте, как накапливаются члены и их сумма.
1.7
Дифференцирование
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать наклон кривой в точке как предел наклонов подходящей последовательности хорд, и использовать обозначения $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ и $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ для первой и второй производных | Ожидается лишь неформальное понимание идеи предела. Например, включает рассмотрение наклона хорды, соединяющей точки с координатами $x$ $2$ и $(2 + h)$ на кривой $y = x^3$. Формальное использование общего метода дифференцирования из первичных принципов не требуется. |
| использовать производную функции $x^n$ (для любого рационального $n$), а также постоянные множители, суммы и разности функций, а также составных функций с использованием правила дифференцирования сложной функции | например, найти $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, зная, что $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| применять дифференцирование к наклонам, касательным и нормалям, возрастанию и убыванию функций, а также к скоростям изменения | Включая связанные скорости изменения, например, зная скорость увеличения радиуса окружности, найти скорость увеличения площади для конкретного значения одной из переменных. |
| определять стационарные точки и устанавливать их характер, а также использовать информацию о стационарных точках при построении эскизов графиков. | Включая использование второй производной для определения максимумов и минимумов; в вопросах, где метод не указан, могут использоваться альтернативные методы. Знание точек перегиба не включено. |
Источник: Программа Cambridge International
Дифференцирование находит угловой коэффициент касательной в каждой точке. Угловой коэффициент — это предел угловых коэффициентов все более коротких хорд, называемый производной.
Правила
Запишите производную как $f'(x)$ или $\dfrac{dy}{dx}$. Основное правило гласит:
$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1} \quad \text{for any rational } n.$$
Дифференцируйте суммы по членам и используйте правило сложной функции для функции внутри функции:
$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
Повторное дифференцирование дает вторую производную $f''(x)$ или $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Применение производной
- Касательная и нормаль. Угловой коэффициент кривой в точке равен угловому коэффициенту касательной в этой точке. Нормаль перпендикулярна касательной, поэтому ее угловой коэффициент равен $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
- Возрастание или убывание. Функция является возрастающей функцией при $\dfrac{dy}{dx} > 0$ и убывающей функцией при $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
- Скорость изменения. Производная — это скорость изменения. Связанные скорости используют правило сложной функции, например, $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.
Стационарные точки
Стационарная точка — это место, где $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Определите ее характер с помощью второй производной: $f''(x) > 0$ указывает на точку минимума, а $f''(x) < 0$ — на точку максимума. Когда $f''(x) = 0$, тест не дает однозначного ответа: точка может быть точкой перегиба, где меняется выпуклость кривой (то, как она изгибается) — проверьте знак $\dfrac{dy}{dx}$ непосредственно до и после точки, чтобы определить.
Разобранный пример. Кривая $y = 4x^{1/2} - x$ имеет точку максимума при $x = a$. Найдите $a$.
$$\frac{dy}{dx} = 2x^{-1/2} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 2 \;\Rightarrow\; x = 4.$$
Следовательно, $a = 4$.
Исследовать
Наклон касательной в точке
y = ax³ + bx² + cx + d
Проведите точку вдоль кривой. Касательная показывает наклон $\frac{dy}{dx}$ в этой точке — он круче там, где кривая сильнее изгибается.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | наклона (градиента) |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | уравнение прямой |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | стационарная точка |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | точка минимума |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | точка максимума |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | точка перегиба |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | Интеграция |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | постоянная интегрирования |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | определенный интеграл |
| region/ˈriːdʒn/ | регион |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | несобственный интеграл |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | объем тела вращения |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | алгебра |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | математический анализ |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | коэффициент |
1.8
Интегрирование
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать интегрирование как процесс, обратный дифференцированию, и интегрировать $(ax + b)^n$ (для любого рационального $n$, кроме $-1$), вместе с постоянными множителями, суммами и разностями | Например, $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| решать задачи, связанные с определением постоянной интегрирования | Например, чтобы найти уравнение кривой, проходящей через $(1, -2)$, для которой $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| вычислять определенные интегралы | Включая простые случаи «несобственных» интегралов, таких как $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ и $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| использовать определенное интегрирование для нахождения: - площади области, ограниченной кривой и прямыми, параллельными осям, или между кривой и прямой, или между двумя кривыми - объема тела вращения относительно одной из осей. | Объем тела вращения может включать область, не ограниченную осью вращения, например, область между $y = 9 - x^2$ и $y = 5$, вращаемую вокруг оси $x$. |
Источник: Программа Cambridge International
Интегрирование — это обратная операция дифференцированию. Обратное применение правила степени дает
$$\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \quad (n \neq -1).$$
$+\,C$ — это постоянная интегрирования. Если вы знаете одну точку на кривой, подставьте ее, чтобы найти $C$.
Определенные интегралы и площадь
Определенный интеграл имеет пределы и дает числовое значение:
$$\int_p^q f(x)\, dx = \big[F(x)\big]_p^q = F(q) - F(p).$$
Площадь области между кривой и осью $x$ от $x = p$ до $x = q$ равна $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Для площади между двумя кривыми интегрируйте (верхняя кривая $-$ нижняя кривая).
Разобранный пример. Кривая $y = 4x^{1/2} - x$ пересекает ось $x$ еще раз в точке $x = 16$. Найдите площадь между кривой и осью $x$ от $x = 0$ до $x = 4$.
$$\int_0^4 \left(4x^{1/2} - x\right) dx = \left[\frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{8}{3}(8) - \frac{16}{2} = \frac{64}{3} - 8 = \frac{40}{3}.$$
Несобственный интеграл имеет бесконечный предел интегрирования или границу, где подынтегральная функция не определена; вычисляется он как предел. Например,
$$\int_1^{\infty}x^{-2}\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1,$$
и $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, который конечен, хотя подынтегральная функция стремится к бесконечности при $x=0$.
Объём тела вращения
Когда область полностью вращается вокруг оси, она образует тело. Объём тела вращения относительно оси $x$ равен
$$V = \pi \int_p^q y^2 \, dx,$$
а относительно оси $y$ он составляет $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Например, область под кривой $y = \sqrt{x}$ от $x = 0$ до $x = 4$, вращённая вокруг оси $x$, имеет объём $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.
Исследовать
Площадь под кривой
y = ax³ + bx² + cx + d
Перетащите пределы. Определенный интеграл — это заштрихованная область между кривой и осью x.
1.8
Советы для экзамена
- Показывайте каждую строку алгебраических преобразований — баллы за метод теряются при пропуске шагов; используйте дискриминант $b^2 - 4ac$ для определения количества действительных корней.
- Работайте в радианах для тригонометрических величин (длина дуги $= r\theta$, площадь сектора $= \frac{1}{2}r^2\theta$) и для дифференцирования тригонометрических функций.
- Для дифференцирования приравняйте $\frac{dy}{dx} = 0$ нулю для нахождения стационарных точек и используйте вторую производную для их классификации.
- Для интегрирования добавьте $+ c$ к неопределённому интегралу и используйте пределы для вычисления площади; площадь ниже оси даёт отрицательное значение интеграла.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.