Координатная геометрия
| English | Русский |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | наклона (градиента) |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | середина |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | перпендикулярный бисектор |
| tangent/ˈtændʒənt/ | касательную |
Математика определения местоположения
- Спутники GPS определяют ваше местоположение с точностью до нескольких метров, используя аналитическую геометрию.
- Любая карта, любой чертеж, любая компьютерная графика опираются на одни и те же основные идеи: прямые, окружности и расстояния между точками.
Прямые линии
- Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Уравнения прямой: $y = mx + c$ (вид с угловым коэффициентом и свободным членом), или $y - y_1 = m(x - x_1)$ (вид с угловым коэффициентом и точкой).
- Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты; перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, произведение которых равно $-1$.
Решенный пример. Прямая, проходящая через точки $(2, 3)$ и $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Уравнение: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Ловушка перпендикулярного углового коэффициента. Если у прямой угловой коэффициент равен $2$, то угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $-\dfrac{1}{2}$, а не $-2$. Нужно перевернуть дробь и изменить знак.
Прямая линия
y = ax + b
Угловой коэффициент a наклоняет линию; отрезок b смещает её вверх и вниз.
Чему равен угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (2, 3) и (6, 11)?
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
У прямой угловой коэффициент равен 2. Чему равен угловой коэффициент прямой, перпендикулярной ей?
Произведения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равны −1, значит угловой коэффициент равен −1/2 = −0.5.
Середины и параллельные прямые
- Середина отрезка $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ равна $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- Перпендикулярный биссектрис проходит через середину под перпендикулярным угловым коэффициентом.
Какое координата x у середины отрезка между точками (2, 3) и (8, 7)?
Середина x = (2 + 8)/2 = 5.
Окружности
- Окружность с центром в $(a, b)$ и радиусом $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- Раскрытая форма (например, $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → выделите полный квадрат по $x$ и $y$, чтобы найти центр и радиус.
Уравнение $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ описывает окружность с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $5$.
Каков радиус окружности (x − 3)² + (y + 2)² = 25?
r² = 25, значит r = 5; центр находится в точке (3, −2).
Окружность x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 имеет центр:
Выделите полные квадраты: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Центр находится в точке (3, −5).
Касательные к окружностям
- Касательная касается окружности один раз и перпендикулярна радиусу в этой точке.
- Этот факт о прямом угле решает большинство задач на окружность: найдите угловой коэффициент радиуса, тогда угловой коэффициент касательной равен $-\dfrac{1}{m}$.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.
Это свойство прямого угла решает большинство задач об окружности.
Вы поняли
- угловой коэффициент $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; перпендикулярные угловые коэффициенты в произведении дают $-1$
- окружность: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, центр $(a,b)$, радиус $r$
- касательная перпендикулярна радиусу в точке касания
- середина в $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$