Круговые меры
| English | Русский |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | радианах |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | длину дуги |
| sector area/ˈsektə ˈeərɪə/ | площадь сектора |
| segment/ˈseɡmənt/ | сегмент |
Почему радианы?
- Инженеры измеряют углы в градусах. Математики предпочитают радианы — и для веских причин.
- Радиан — это естественная единица: это угол, вырезающий дугу, равную радиусу.
- С радианами формулы для длины дуги и площади сектора становятся прекрасно простыми.
Что такое радиан?
- Радиан — это угол, вырезающий дугу, равную радиусу.
- Связь: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- градусы → радианы: умножьте на $\dfrac{\pi}{180}$; радианы → градусы: умножьте на $\dfrac{180}{\pi}$.
Общие переводы. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ рад; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ рад; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ рад; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ рад.
Сколько градусов составляют π радиан?
По определению, π радиан = 180°.
60° в радианах — это:
60° × π/180 = 60π/180 = π/3.
Длина дуги и площадь сектора
- Для сектора с радиусом $r$ и углом $\theta$ в радианах:
- длина дуги $s = r\theta$,
- площадь сектора $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
Элегантность радиан: длина дуги $= r\theta$ и площадь сектора $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. Не нужны громоздкие дроби со $\dfrac{\theta}{360}$.
Только радианы. Формулы $s = r\theta$ и $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ работают только когда $\theta$ находится в радианах. Если ваш угол задан в градусах, сначала переведите его.
Сектор
s = rθ · A = ½r²θ
Перетаскивайте угол θ (в радианах) и радиус r — длина дуги и площадь сектора изменятся автоматически.
Сектор имеет радиус 5 и угол 2 радиана. Чему равна длина дуги (s = rθ)?
s = rθ = 5 × 2 = 10.
Сектор имеет радиус 4 и угол 0.5 радиана. Чему равна его площадь (A = ½r²θ)?
A = ½ × 4² × 0.5 = ½ × 16 × 0.5 = 4.
Формула s = rθ работает, когда θ измеряется в градусах.
s = rθ работает только тогда, когда θ выражен в радианах. Сначала переведите градусы в радианы.
Площадь сегмента
- Сегмент — это область между хордой и дугой.
- Площадь сегмента = сектор − треугольник = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- Площадь треугольника равна $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (используя формулу площади через синус).
Касательная касается окружности один раз и перпендикулярна радиусу в этой точке
Сегмент имеет r = 6 и θ = π/3 радиана. Площадь сегмента вычисляется по формуле ½r²(θ − sin θ). Найдите её (с точностью до 2 знаков после запятой).
½ × 36 × (π/3 − sin(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26.
Разобранный пример
- Сектор: $r = 5$, $\theta = 2$ рад.
- Длина дуги $= 5 \times 2 = 10$.
- Площадь сектора $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- Площадь сегмента $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
Вы поняли
- $\pi$ радиан = $= 180^\circ$; переводится через $\times\dfrac{\pi}{180}$ или $\times\dfrac{180}{\pi}$
- длина дуги $s = r\theta$; площадь сектора $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ в радианах)
- сегмент в $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$