Тригонометрия
| English | Русский |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | тригонометрический |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | асимптоты |
| identities/aɪˈdentɪtiz/ | тождества |
Математика циклов
- Приливы, звуковые волны, переменный ток, орбиты планет — всё это описывается тригонометрическими функциями.
- Волны синуса и косинуса являются строительными блоками периодического движения. Освойте их, и вы сможете моделировать любое повторяющееся явление.
Графики sin, cos и tan
- $\sin$ и $\cos$ колеблются между $-1$ и $1$ и повторяются каждые $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).
- $\tan$ повторяется каждые $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) и имеет вертикальные асимптоты при $90^\circ$ и $270^\circ$.
Единичная окружность: координата $\cos\theta$ — это $x$-координата, координата $\sin\theta$ — это $y$-координата. Поскольку $x^2 + y^2 = 1$, мы получаем $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$.
Единичная окружность
(cos θ, sin θ)
Вращайте угол θ вокруг окружности: горизонтальный катет равен cos θ, а вертикальный катет равен sin θ.
Точные значения
- Выучите их без калькулятора:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | не определено |
Прием запоминания. Значения синуса следуют паттерну $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ для $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$. Косинус идет в обратном порядке.
Колесо обозрения: точка на ободе движется вверх и вниз, как синусоида
Графики синуса и косинуса
Перетаскивайте амплитуду, период и сдвиги y = a·sin(bx + c) + d и наблюдайте, как меняется кривая относительно базовой волны.
Чему равно точное значение sin 30°?
sin 30° = 1/2 = 0.5.
Чему равно значение tan 45°?
tan 45° = 1.
Каково точное значение cos 60°?
cos 60° = 1/2 = 0.5.
Основные тождества
- Два фундаментальных тождества: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ и $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$.
- Они позволяют преобразовывать функции между собой и упрощать выражения.
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$, а не $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$. Тождество относится к сумме квадратов, а не к квадрату суммы. Это частая ошибка на экзаменах.
Волны sin и cos колеблются между -1 и 1; tan разрывается при 90 и 270 градусах
Для любого угла θ чему равен sin²θ + cos²θ?
Это тождество: sin²θ + cos²θ ≡ 1.
Какое тождество верно?
tan θ ≡ sin θ / cos θ; и sin²θ + cos²θ ≡ 1.
Решение тригонометрических уравнений
- Чтобы решить тригонометрическое уравнение: сведите его к одной функции (часто квадратному относительно $\sin$ или $\cos$), затем найдите все решения в заданном интервале.
- Используйте симметрию графика: если $\sin\theta = k$ имеет решение $\theta = \alpha$, то $\theta = 180^\circ - \alpha$ также является решением.
- Решайте тригонометрические уравнения; используйте обратные функции $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (обратные тригонометрические соотношения), которые дают главные значения.
Если sin θ = 0.5 и 0° ≤ θ ≤ 360°, то θ = 30° — единственное решение.
Уравнение sin θ = 0.5 также имеет решение θ = 180° − 30° = 150° в заданном диапазоне.
Вы поняли
- $\sin, \cos$ остаются в $[-1, 1]$, повторяются каждые $360^\circ$; знайте точные значения $30/45/60$
- тождества: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- решить, сведя к одной тригонометрической функции, затем найдя все решения на интервале