| English | Русский |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | сходится |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | геометрическая прогрессия |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | биномиальное разложение |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | биномиальный коэффициент |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | арифметическая прогрессия |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | общая разность |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | геометрическая прогрессия |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | общий знаменатель |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | сумма бесконечного ряда |
Бесконечная сумма, которая сходится
- Прибавляй $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ бесконечно много раз. Итоговая сумма? Ровно $2$.
- Это геометрическая прогрессия со знаменателем $\dfrac{1}{2}$. Не все бесконечные суммы ведут себя так элегантно — но те, что сходятся, являются мощным инструментом в финансах, физике и вычислительной технике.
Биномиальное разложение
- Для положительного целого числа $n$:
- где $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ — это биномиальный коэффициент.
Разобранный пример. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. Коэффициенты $1, 4, 6, 4, 1$ соответствуют 4-му ряду треугольника Паскаля.
Чему равен биномиальный коэффициент C(5, 2) = 5! / (2! 3!)?
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
Арифметическая прогрессия (АП)
- В АП каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности $d$: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- $n$-й член: $u_n = a + (n-1)d$.
- Сумма первых $n$ членов: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
В арифметической прогрессии (AP) первый член a = 3, разность d = 4. Чему равен 5-й член?
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
В AP первый член a = 2, разность d = 3. Чему равна сумма первых 5 членов?
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
Геометрическая прогрессия (ГП)
- В ГП каждый следующий член получается умножением на постоянный знаменатель $r$: $a, ar, ar^2, \ldots$
- $n$-й член: $u_n = ar^{n-1}$.
- Сумма первых $n$ членов: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (для $r \neq 1$).
АП растет линейно (прибавляем $d$); ГП растет экспоненциально (умножаем на $r$). При $r > 1$ ГП в конечном итоге превосходит АП.
Построить последовательность
uₙ = a · rⁿ⁻¹
Каждый член умножается на r. При |r| < 1 члены убывают, а сумма до бесконечности сходится.
В GP первый член a = 2, знаменатель r = 3. Чему равен 4-й член?
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
Сумма до бесконечности
- ГП сходится, когда $|r| < 1$ — члены становятся всё меньше и меньше.
- Сумма до бесконечности: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ является обязательным условием. Если $|r| \geq 1$, члены не уменьшаются, и бесконечная сумма расходится (неограниченно возрастает). Формула $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ применима только тогда, когда ряд сходится.
- У арифметической прогрессии есть разность; у геометрической прогрессии — знаменатель. Сходящаяся геометрическая прогрессия ($|r|<1$) демонстрирует схождение к сумме до бесконечности.
В геометрической прогрессии (GP) первый член a = 8, знаменатель r = 0.5. Чему равна сумма до бесконечности?
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
Геометрический ряд со знаменателем r = 1.5 имеет конечную сумму до бесконечности.
Формула суммы до бесконечности применяется только при |r| < 1. При r = 1.5 ряд расходится.
Соотнесите каждую формулу с тем, что она вычисляет.
d обозначает арифметический ряд, r — геометрический — определение формулы является половиной экзаменационного вопроса.
Вы поняли
- биномиальное разложение: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- АП: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- ГП: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- если $|r|<1$, то сумма до бесконечности $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$