Дифференцирование
| English | Русский |
|---|---|
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | дифференцированию |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | правило степени |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | цепное правило |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | стационарная точка |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | вторую производную |
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | оптимизация |
Скорость изменения
- Как быстро ракета ускоряется в точный момент исчерпания топлива? Насколько крут подъем горки при самой высокой точке?
- Дифференцирование отвечает на эти вопросы — оно находит мгновенную скорость изменения в любой точке кривой.
Правило степени и правило сложной функции
- Дифференцирование находит градиент кривой в каждой точке — производную $f'(x)$ или $\dfrac{dy}{dx}$.
- Правило степени: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (для любого рационального $n$).
- Правило сложной функции для функции внутри функции: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
Производная $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ дает градиент в любой точке: при $x = 2$ градиент составляет $4$.
Разобранный пример. $y = (3x+1)^4$. Пусть $u = 3x+1$, тогда $y = u^4$. Правило сложной функции: $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$.
Наклон касательной в точке
угловой коэффициент = dy/dx = f ′(x)
Переместите точку вдоль кривой — угловой коэффициент касательной И ЕСТЬ производная f ′(x) в этой точке.
Если y = x³, то dy/dx = 3x². Каков угловой коэффициент при x = 2?
dy/dx = 3x² = 3 × 2² = 3 × 4 = 12.
Если y = (2x + 1)³, то dy/dx = 6(2x + 1)². Чему равно dy/dx при x = 1?
При x = 1: dy/dx = 6(2(1) + 1)² = 6(3)² = 6 × 9 = 54.
Стационарные точки
- Стационарная точка — это место, где $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (касательная горизонтальна).
- Проверка с помощью второй производной:
- $f''(x) > 0$ → минимум,
- $f''(x) < 0$ → максимум.
- Также: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → функция возрастает; $< 0$ → функция убывает.
Не забудьте правило сложной функции. При дифференцировании $(ax+b)^n$ необходимо умножить на производную внутренней части: $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^n = an(ax+b)^{n-1}$, а не просто на $n(ax+b)^{n-1}$.
В точке максимума или минимума градиент dy/dx равен нулю
Кривая y = x² − 6x + 5 имеет стационарную точку. При каком значении x?
dy/dx = 2x − 6 = 0 дает x = 3.
В стационарной точке, если вторая производная f″(x) > 0, точка является:
f″ > 0 означает, что кривая выпукла вниз — это минимум; f″ < 0 дает максимум.
Если dy/dx > 0 для всех x на интервале, функция возрастает на этом интервале.
Положительная производная означает, что функция растет — она возрастает.
Для y = x³ − 6x² + 9x + 2 вторая производная при x = 3 равна:
d²y/dx² = 6x − 12. При x = 3: 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0, значит, это минимум.
Разобранный пример — поиск стационарных точек
- $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
- Стационарные точки находятся при $x = 1$ и $x = 3$.
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: в точке $x=1$ находится $f'' = -6 < 0$ (максимум); в точке $x=3$ находится $f'' = 6 > 0$ (минимум).
Применение дифференцирования
- Оптимизация: найти максимальную прибыль или минимальные затраты, приравняв $\dfrac{dy}{dx} = 0$ к нулю.
- Скорости изменения: скорость — это производная перемещения; ускорение — производная скорости.
- Эскиз кривой: стационарные точки и знак $\dfrac{dy}{dx}$ раскрывают форму графика.
- Производная также дает градиент нормалей (перпендикулярных касательной).
Вы поняли
- правило степени: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$; правило сложной функции для вложенных функций
- стационарная точка: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- тест второй производной: $f'' > 0$ означает минимум, $f'' < 0$ означает максимум
- функция возрастает, когда $\dfrac{dy}{dx} > 0$; убывает, когда $\dfrac{dy}{dx} < 0$