Интеграция
| English | Русский |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | интеграция |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | постоянная интегрирования |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | определенный интеграл |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | объем тела вращения |
Площадь под кривой
- Сколько топлива расходует ракета, если ее тяга изменяется во времени? Какова площадь извилистого поля?
- Интегрирование отвечает на эти вопросы — оно находит полную накопленную величину по заданной скорости изменения.
Неопределённый интеграл
- Интегрирование — это операция, обратная дифференцированию:
- $+\,C$ является постоянной интегрирования — найдите её из известной точки.
Разобранный пример. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. Если кривая проходит через $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$, следовательно $C = 4$ и $y = x^3 + 4$.
Определённый интеграл измеряет заштрихованную область между кривой и осью x
Площадь под кривой
площадь = ∫ f(x) dx
Перетащите пределы a и b — заштрихованная площадь между кривой и осью x является определенным интегралом.
Почему неопределенный интеграл включает "+ C"?
Производная константы равна 0, поэтому исходная функция могла иметь любую константу — следовательно, добавляется + C.
Если dy/dx = 4x и кривая проходит через точку (1, 7), чему равно C в уравнении y = 2x² + C?
y = 2x² + C. В точке (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5.
Определённые интегралы
- Определённый интеграл даёт числовое значение: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- Площадь под кривой от $p$ до $q$ равна $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (для двух кривых вычисляется как верхняя минус нижняя).
Определённый интеграл $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. Заштрихованная площадь составляет $9$ квадратных единиц.
Площадь ниже оси x считается отрицательной. Если кривая опускается ниже оси, интеграл даёт отрицательное значение. Чтобы найти общую площадь, разбейте область на части по корням и возьмите модуль каждой из них.
Вычислите определенный интеграл от 2x от 0 до 3 (∫₀³ 2x dx).
∫2x dx = x², поэтому [x²]₀³ = 9 − 0 = 9.
Вычислите ∫₀² 3x² dx.
∫3x² dx = x³, поэтому [x³]₀² = 8 − 0 = 8.
Если кривая расположена ниже оси x, определенный интеграл дает отрицательное значение.
Площадь под осью x вносит отрицательный вклад в интеграл. Возьмите модуль, чтобы найти фактическую площадь.
Объём тела вращения
- Объём тела вращения вокруг оси $x$: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- Представьте его как стопку бесконечно тонких дисков радиусом $y$ и толщиной $dx$.
Вращение области под кривой вокруг оси x порождает тело, которое складывается из тонких дисков
Объем тела вращения y = x вокруг оси x от 0 до 2 равен π∫₀² x² dx. Найдите значение (без π).
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.67.
Разобранный пример
- Найдите площадь под $y = x^2$ от $x = 0$ до $x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- Несобственный интеграл имеет бесконечный предел или неограниченную подынтегральную функцию.
Вы поняли
- интегрирование обратное дифференцированию; помните про $+\,C$
- определённый интеграл $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = площадь под кривой
- объём тела вращения вокруг оси $x$ $= \pi\int y^2\,dx$
- площадь ниже оси отрицательна — разделите на части и берите модули для общей площади