Алгебра (модуль и многочлены)
| English | Русский |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | модуль |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | теорема о остатке |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | полиномом |
| degree/dɪˈɡriː/ | степени |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | теорема о делителе |
Модуль, спасающий мосты
- Инженерам, проектирующим несущие кабели, необходимо знать максимальное отклонение от идеальной формы — как вверх, так и вниз.
- Модуль (абсолютная величина) измеряет расстояние до нуля, игнорируя направление. Он встречается повсюду: оценки погрешностей, допуски и неравенства.
Функция модуля
- Модуль $|x|$ — это величина числа без знака ($|x| \geq 0$). Его график имеет форму буквы "V".
- Полезные правила:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
Функция модуля $y = |x - 2|$ создаёт V-образную форму: всё, что находится ниже оси, отражается вверх.
Разобранный пример. Решите $|2x - 3| = 7$. Либо $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$, либо $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. Решения: $x = 5$ или $x = -2$.
Модульная функция
y = a|x − b| + c
Модуль создает форму буквы V. Перемещайте ее вершину с помощью b и c; меняйте крутизну ветвей с помощью a.
Решите неравенство |x − 2| < 3. Решение: −1 < x < ? Какова верхняя граница?
|x − 2| < 3 означает 2 − 3 < x < 2 + 3, т.е. −1 < x < 5.
Решите уравнение |2x − 3| = 7. Какое из решений больше?
2x − 3 = 7 → x = 5; или 2x − 3 = −7 → x = −2. Большее значение: 5.
Теорема о множителе и теорема об остатке
- Полином — это сумма степеней $x$; его степень — это наибольшая из этих степеней.
- Теорема об остатке: остаток при делении $p(x) \div (x - a)$ на $p(a)$.
- Теорема о корнях: $(x - a)$ является множителем тогда и только тогда, когда $p(a) = 0$.
Не путайте две теоремы. Теорема об остатке дает остаток для любого делителя $(x - a)$. Теорема о корнях является частным случаем: когда остаток равен нулю, $(x - a)$ является множителем.
Взятие модуля «сгибает» отрицательную часть линии вверх, образуя V
По теореме о остатке, каков остаток при делении p(x) = x² + 3x + 2 на (x − 1)?
Остаток = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6.
(x − a) является множителем p(x) тогда и только тогда, когда:
Теорема о множителях: (x − a) является множителем тогда и только тогда, когда p(a) = 0.
Разобранный пример — теорема о делителе
- Докажите, что $(x - 2)$ является делителем $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. Поскольку $p(2) = 0$, $(x - 2)$ является делителем.
- Выполните деление: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
Противоположные знаки f(a) и f(b) указывают на наличие корня между a и b
Если p(3) = 0, то (x − 3) является множителем p(x).
По теореме о множителях, p(a) = 0 означает, что (x − a) является множителем.
Дано p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 и p(1) = 0. Разложите на множители: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c). Чему равно c?
Деление x³ − 6x² + 11x − 6 на (x − 1) дает x² − 5x + 6, поэтому c = 6.
Решение полиномиальных уравнений
- Используйте теорему о множителе для нахождения одного корня, затем выполните деление для снижения степени.
- Кубическое уравнение имеет не более 3 действительных корней; четвертой степени — не более 4.
- Нарисуйте эскиз графика для проверки: количество пересечений с осью $x$ совпадает с количеством вещественных корней.
- Дифференцируйте дробь с помощью правила частного.
Вы поняли
- $|x|$ убирает знак; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- остаток при делении $p(x) \div (x-a)$ на $p(a)$
- теорема о множителе: $(x-a)$ является множителем $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- найдите один корень, разделите, затем решите оставшееся квадратное уравнение