A-Level Mathematics · A-Level Математика · Topic 2 · Тема 2
12:32
Чистая математика 2
В две тысячи одиннадцатом землетрясение у берегов Японии составило девять баллов по шкале Рихтера. Более слабое землетрясение могло бы составить шесть. Разница всего в три балла — однако первое…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 2: Pure Mathematics 纯数学 2. It adds the modulus and polynomial algebra, logarithms 对数 and the exponential function 指数函数, more trigonometry, and new ways to differentiate and integrate.
Эти материалы охватывают Раздел 2: Чистая математика 2. Здесь добавлены модуль и многочлены, логарифмы и показательная функция, дополнительная тригонометрия, а также новые методы дифференцирования и интегрирования.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the meaning of $|x|$, sketch the graph of $y = |ax + b|$ and use relations such as $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ and $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ when solving equations and inequalities | Graphs of $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ for non-linear functions $f$ are not included. e.g. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| divide a polynomial, of degree not exceeding 4, by a linear or quadratic polynomial, and identify the quotient and remainder (which may be zero) | |
| use the factor theorem and the remainder theorem. | e.g. to find factors and remainders, solve polynomial equations or evaluate unknown coefficients. Including factors of the form $(ax + b)$ in which the coefficient of $x$ is not unity, and including calculation of remainders. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| Понимать смысл $|x|$, строить график функции $y = |ax + b|$ и использовать соотношения, такие как $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ и $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$, при решении уравнений и неравенств | Графики $y = |f(x)|$ и $y = f(|x|)$ для нелинейных функций $f$ не включены. Например, $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| делить многочлен степени не выше 4 на линейный или квадратный многочлен и определять частное и остаток (которые могут быть равны нулю) | |
| использовать теорему о корнях и теорему об остатке. | Например, для нахождения множителей и остатков, решения многочленных уравнений или вычисления неизвестных коэффициентов. Включая множители вида $(ax + b)$, в которых коэффициент при $x$ не равен единице, а также вычисление остатков. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The modulus 绝对值 $|x|$ is the size of a number with its sign removed, so $|x| \geqslant 0$ always. The graph of $y = |ax + b|$ is a "V" shape that bounces off the $x$-axis. Two useful rules for solving equations and inequalities are
Worked example. Solve $|3x + 8| < 9$.
Using the second rule with the inequality written as $-9 < 3x + 8 < 9$:
A polynomial 多项式 is a sum of powers of $x$, such as $2x^4 + 3x^2 - 5$. Its degree 次数 is the highest power. When you divide one polynomial by another you get a quotient 商 and a remainder 余数.
Worked example. The polynomial $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ has factor $(x + 2)$. Find $k$.
By the factor theorem $p(-2) = 0$:
Модуль $|x|$ — это число без учёта его знака, поэтому $|x| \geqslant 0$ всегда положительно. График функции $y = |ax + b|$ имеет форму «V», отражаясь от оси $x$. Два полезных правила для решения уравнений и неравенств:
Разобранный пример. Решите уравнение $|3x + 8| < 9$.
Используя второе правило с неравенством в виде $-9 < 3x + 8 < 9$:
Многочлен — это сумма степеней $x$, например $2x^4 + 3x^2 - 5$. Его степень равна наибольшей из показателей степени. При делении одного многочлена на другой получаются частное и остаток.
Разобранный пример. Многочлен $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ имеет делитель $(x + 2)$. Найдите $k$.
Согласно теореме о делителе для $p(-2) = 0$:
y = a|x − b| + c
The modulus makes a V-shape. Move its vertex with b and c; change how steep the arms are with a. · Модуль создает форму буквы V. Перемещайте ее вершину с помощью b и c; меняйте крутизну ветвей с помощью a.
| English | Русский |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Чистая математика (Pure Mathematics) |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | логарифмы |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | показательная функция |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | модуль |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | полиномом |
| degree/dɪˈɡriː/ | степени |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | частное |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | остаток |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | теорема о остатке |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | теорема о делителе |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | показатели степени |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | свойства логарифмов |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | натуральный логарифм |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | линейная форма |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship between logarithms and indices, and use the laws of logarithms (excluding change of base) | |
| understand the definition and properties of $e^x$ and $\ln x$, including their relationship as inverse functions and their graphs | Including knowledge of the graph of $y = e^{kx}$ for both positive and negative values of $k$. |
| use logarithms to solve equations and inequalities in which the unknown appears in indices | e.g. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| use logarithms to transform a given relationship to linear form, and hence determine unknown constants by considering the gradient and/or intercept. | e.g. $y = kx^n$ gives $\ln y = \ln k + n \ln x$ which is linear in $\ln x$ and $\ln y$ $y = k(a^x)$ gives $\ln y = \ln k + x \ln a$ which is linear in $x$ and $\ln y$. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать связь между логарифмами и показателями и использовать законы логарифмов (за исключением смены основания) | |
| понимать определение и свойства $e^x$ и $\ln x$, включая их связь как обратных функций и их графики | Включая знание графика $y = e^{kx}$ как для положительных, так и для отрицательных значений $k$. |
| использовать логарифмы для решения уравнений и неравенств, в которых неизвестное встречается в показателях | Например, $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| использовать логарифмы для преобразования заданной зависимости к линейному виду и, следовательно, определять неизвестные константы, рассматривая наклон и/или пересечение с осью. | например, $y = kx^n$ приводит к $\ln y = \ln k + n \ln x$, которое является линейным относительно $\ln x$ и $\ln y$. $y = k(a^x)$ приводит к $\ln y = \ln k + x \ln a$, которое является линейным относительно $x$ и $\ln y$. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A logarithm answers the question "what power?". If $a^x = y$ then $x = \log_a y$. Logarithms and indices 指数 (powers) are reverse ideas. The laws of logarithms 对数定律 are
The exponential function $e^x$ and the natural logarithm 自然对数 $\ln x$ are inverse functions, so $\ln(e^x) = x$ and $e^{\ln x} = x$. When the unknown is in the power, take logs of both sides.
Worked example. Solve $4^x < 0.05$.
Linear form 线性形式: a relationship like $y = Ax^n$ becomes a straight line if you take logs: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Plotting $\ln y$ against $\ln x$ gives a line with gradient $n$ and intercept $\ln A$, so you can find the unknown constants.
Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень?». Если $a^x = y$, то $x = \log_a y$. Логарифмы и показатели (степени) — взаимно обратные понятия. Законы логарифмов следующие:
Показательная функция $e^x$ и натуральный логарифм $\ln x$ являются обратными функциями, поэтому $\ln(e^x) = x$ и $e^{\ln x} = x$. Когда неизвестное находится в показателе степени, возьмите логарифм от обеих частей.
Разобранный пример. Решите уравнение $4^x < 0.05$.
Линейная форма: зависимость вида $y = Ax^n$ становится прямой линией после логарифмирования: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Построение графика зависимости $\ln y$ от $\ln x$ дает прямую с угловым коэффициентом $n$ и пересечением с осью $\ln A$, что позволяет найти неизвестные константы.
y = a·bˣ
Change the base b: when b > 1 the curve grows, when 0 < b < 1 it decays — and it always passes through (0, a). · Измените основание b: когда b > 1 кривая растет, когда 0 < b < 1 она убывает — и она всегда проходит через точку (0, a).
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship of the secant, cosecant and cotangent functions to cosine, sine and tangent, and use properties and graphs of all six trigonometric functions for angles of any magnitude | |
| use trigonometrical identities for the simplification and exact evaluation of expressions, and in the course of solving equations, and select an identity or identities appropriate to the context, showing familiarity in particular with the use of: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ and $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – the expansions of $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ and $\tan(A \pm B)$ – the formulae for $\sin 2A$, $\cos 2A$ and $\tan 2A$ – the expression of $a \sin \theta + b \cos \theta$ in the forms $R \sin(\theta \pm \alpha)$ and $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | e.g. simplifying $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. e.g. solving $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
There are three more functions, each the reciprocal of one you know: the secant 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, the cosecant 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, and the cotangent 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
You must know these trigonometric identities 三角恒等式 and choose the right one for each problem:
Worked example. Solve $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Replace $\tan^2\theta$ with $\sec^2\theta - 1$ to get one function:
Есть еще три функции, являющиеся обратными к известным вам: секанс $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, косеканс $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ и котангенс $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
Вы должны знать эти тригонометрические тождества и выбирать правильное для каждой задачи:
Разобранное решение. Решите $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ относительно $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Замените $\tan^2\theta$ на $\sec^2\theta - 1$, чтобы получить одну функцию:
Drag the angle to see how $\sin$, $\cos$ and $\tan$ relate — the key to solving trig equations. · Перетащите угол, чтобы увидеть, как связаны между собой $\sin$, $\cos$ и $\tan$ — ключ к решению тригонометрических уравнений.
| English | Русский |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | секающую |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | косеканс |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | котангенс |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | тригонометрические тождества |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | суммарный угол |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | двойной угол |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | формула R |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | правило произведения |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | правило частного |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | параметрические уравнения |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | неявно |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the derivatives of $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, together with constant multiples, sums, differences and composites | |
| differentiate products and quotients | e.g. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| find and use the first derivative of a function which is defined parametrically or implicitly. | e.g. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. e.g. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Including use in problems involving tangents and normals. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать производные от $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, вместе с постоянными множителями, суммами, разностями и композициями | |
| дифференцировать произведения и дроби | например, $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| находить и использовать первую производную функции, заданной параметрически или неявно. | например, $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. например, $x^2 + y^2 = xy + 7$. Включая применение в задачах, связанных с касательными и нормлями. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Learn these standard derivatives:
For a product or a quotient of two functions, use:
When a curve is given by parametric equations 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, the gradient is $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. When $y$ is defined implicitly 隐式 (not made the subject), differentiate every term with respect to $x$, using the chain rule on the $y$ terms, then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
Worked example. Given $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, find $\dfrac{dy}{dx}$.
Use the product rule with $u = 6x$ and $v = \cos(x^2 + 1)$ (and the chain rule for $v$):
Выучите эти стандартные производные:
Для произведения или частного двух функций используйте:
Когда кривая задана параметрическими уравнениями $x = x(t)$, $y = y(t)$, угловой коэффициент равен $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Когда $y$ задано неявно (не выражено явно), продифференцируйте каждое слагаемое по переменной $x$, применяя правило сложной функции к членам со $y$, затем решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$.
Разобранный пример. Дано $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, найдите $\dfrac{dy}{dx}$.
Используйте правило произведения для $u = 6x$ и $v = \cos(x^2 + 1)$ (и правило сложной функции для $v$):
y = ax³ + bx² + cx + d
Move the point: the tangent line is the derivative at that x. Where the curve turns, the gradient is zero. · Перемещайте точку: касательная линия представляет производную в данной точке x. Там, где кривая меняет направление, наклон равен нулю.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • extend the idea of ‘reverse differentiation’ to include the integration of $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ and $\sec^2(ax + b)$ | Knowledge of the general method of integration by substitution is not required. |
| • use trigonometrical relationships in carrying out integration | e.g. use of double-angle formulae to integrate $\sin^2 x$ or $\cos^2(2x)$. |
| • understand and use the trapezium rule to estimate the value of a definite integral. | Including use of sketch graphs in simple cases to determine whether the trapezium rule gives an over-estimate or an under-estimate. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • расширить понятие «обратного дифференцирования» на интегрирование $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ и $\sec^2(ax + b)$ | Знание общего метода интегрирования заменой переменной не требуется. |
| • использовать тригонометрические соотношения при выполнении интегрирования | например, использование формул двойного угла для интегрирования $\sin^2 x$ или $\cos^2(2x)$. |
| • понимать и применять правило трапеции для оценки значения определенного интеграла. | Включая использование эскизных графиков в простых случаях для определения того, дает ли правило трапеции завышенную или заниженную оценку. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Integration is reverse differentiation — reverse each new derivative; harder integrals may need integration by substitution 换元积分 (developed in Pure 3). For a linear inside function $(ax + b)$:
Worked example. Find $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Use $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
Интегрирование — это обратное дифференцированию; берите обратную операцию для каждого нового производного; сложные интегралы могут потребовать замены переменной (изучается в Чистой математике 3). Для линейной внутренней функции $(ax + b)$:
Разобранный пример. Найдите $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Используйте $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
area = ∫ f(x) dx · площадь = ∫ f(x) dx
The integral still measures area — drag a and b to total the strip under the curve. · Интеграл всё ещё измеряет площадь — перетащите a и b, чтобы суммировать полосы под кривой.
| English | Русский |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | правило трапеций |
| root/ruːt/ | корнем |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • locate approximately a root of an equation, by means of graphical considerations and/or searching for a sign change | e.g. finding a pair of consecutive integers between which a root lies. |
| • understand the idea of, and use the notation for, a sequence of approximations which converges to a root of an equation | |
| • understand how a given simple iterative formula of the form $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ relates to the equation being solved, and use a given iteration, or an iteration based on a given rearrangement of an equation, to determine a root to a prescribed degree of accuracy. | Knowledge of the condition for convergence is not included, but an understanding that an iteration may fail to converge is expected. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • приблизительно найти корень уравнения, используя графические соображения и/или поиск смены знака | например, нахождение пары последовательных целых чисел, между которыми находится корень. |
| • понимать идею и использовать обозначение для последовательности приближений, сходящейся к корню уравнения | |
| • понимать, как данное простое итерационное соотношение вида $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ связано с решаемым уравнением, и использовать заданную итерацию или итерацию, основанную на данном преобразовании уравнения, чтобы определить корень с заданной степенью точности. | Знание условия сходимости не включено, но ожидается понимание того, что итерация может не сойтись. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Many equations cannot be solved exactly. Two ideas help you find a root 根 (a solution).
Worked example. A root $\beta$ of an equation satisfies $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, and $-1.4 < \beta < -1.0$. Use the iteration $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ with $x_0 = -1.2$.
Многие уравнения нельзя решить точно. Две идеи помогают найти корень (решение).
Разобранный пример. Корень $\beta$ уравнения удовлетворяет $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$ и $-1.4 < \beta < -1.0$. Используйте итерацию $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ с $x_0 = -1.2$.
y = ax³ + bx² + cx + d
A root is where the curve crosses zero. A sign change in f(x) traps a root between two x-values. · Корень — это точка, где кривая пересекает ноль. Изменение знака f(x) указывает на наличие корня между двумя значениями x.
| English | Русский |
|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | смена знака |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | итерации |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | итерационная формула |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | стремиться к пределу (сходиться) |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замена переменной в интеграле |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…