Логарифмические и показательные функции
| English | Русский |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | логарифм |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | свойства логарифмов |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | натуральный логарифм |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | линейная форма |
Число, растущее навсегда
- Банковский счет удваивается каждые 10 лет. Через 100 лет он увеличится в $2^{10} = 1024$ раз.
- Но что, если вам нужно узнать: «Через сколько лет он станет ровно в 500 раз больше исходного?» Это вопрос, на который могут ответить только логарифмы.
Что такое логарифм?
- Логарифм отвечает на вопрос «в какой степени?»: если $a^x = y$, то $x = \log_a y$.
- Пример: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
Разобранный пример. Решите $3^x = 81$. Поскольку $81 = 3^4$, мы получаем $x = \log_3 81 = 4$.
Сила землетрясения измеряется по логарифмической шкале Рихтера
Показательный рост
y = a·bˣ
Измените основание b: когда b > 1 кривая растет, когда 0 < b < 1 она убывает — и она всегда проходит через точку (0, a).
Вычислите log₂(8).
2³ = 8, поэтому log₂(8) = 3.
Решите 2ˣ = 8 относительно x.
2³ = 8, поэтому x = 3 (или x = log₂8 = 3).
Законы логарифмов
- Законы логарифмов:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
Логарифмы не распределяются над сложением. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. Законы применимы только к произведениям, частям и степеням — не к суммам.
Численность населения может расти экспоненциально при достаточном количестве ресурсов
Какое свойство логарифмов верно?
log(mn) = log m + log n; и log(m^k) = k log m.
log(a + b) = log a + log b.
Логарифмы не распределены над сложением. log(a + b) ≠ log a + log b.
e и ln
- $e^x$ и натуральный логарифм $\ln x$ являются взаимно обратными функциями: $\ln(e^x) = x$ и $e^{\ln x} = x$.
- Когда неизвестная находится в степени, прологарифмируйте обе части уравнения.
Функции $e^x$ и $\ln x$ являются обратными: их графики симметричны относительно прямой $y = x$.
Чему равно ln(e⁵)?
ln и e являются взаимно обратными функциями, поэтому ln(e⁵) = 5.
Линейный вид и моделирование
- Линейный вид: выражение $y = Ax^n$ преобразуется в $\ln y = \ln A + n\ln x$ — прямую линию с угловым коэффициентом $n$ и точкой пересечения с осью ординат $\ln A$.
- Это позволяет найти степенной закон по экспериментальным данным, построив график зависимости $\ln y$ от $\ln x$.
- Логарифмы и показатели (степени) являются взаимно обратными операциями.
Если y = 5x³, то ln y = ln 5 + n ln x. Чему равно n?
ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, поэтому n = 3 (показатель степени становится угловым коэффициентом).
Вы поняли
- Логарифм отвечает на вопрос "в какую степень?"; законы: $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ и $\ln x$ являются обратными; применяйте логарифмирование, когда неизвестная находится в показателе
- линейный вид: постройте график зависимости $\ln y$ от $\ln x$ → угловой коэффициент $n$, точка пересечения с осью ординат $\ln A$