A-Level Mathematics · A-Level Математика · Topic 5 · Тема 5
11:38
Теория вероятностей и статистика 1
Бросьте один кубик, и результат непредсказуем. Но бросьте его тысячи раз или измерьте рост тысяч людей, и произойдет нечто удивительное…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 5: Probability & Statistics 概率统计 1. It is about describing data, counting choices, and working out the chance of events.
Этот раздаточный материал охватывает тему 5: Вероятность и статистика. 1. Он посвящен описанию данных, подсчету вариантов выбора и вычислению вероятности событий.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • select a suitable way of presenting raw statistical data, and discuss advantages and/or disadvantages that particular representations may have | |
| • draw and interpret stem-and-leaf diagrams, box-and-whisker plots, histograms and cumulative frequency graphs | Including back-to-back stem-and-leaf diagrams. |
| • understand and use different measures of central tendency (mean, median, mode) and variation (range, interquartile range, standard deviation) | e.g. in comparing and contrasting sets of data. |
| • use a cumulative frequency graph | e.g. to estimate medians, quartiles, percentiles, the proportion of a distribution above (or below) a given value, or between two values. |
| • calculate and use the mean and standard deviation of a set of data (including grouped data) either from the data itself or from given totals $\Sigma x$ and $\Sigma x^2$, or coded totals $\Sigma(x - a)$ and $\Sigma(x - a)^2$, and use such totals in solving problems which may involve up to two data sets. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • выбрать подходящий способ представления исходных статистических данных и обсудить преимущества и/или недостатки конкретных способов представления | |
| строить и интерпретировать диаграммы «ствол-лист», коробчатые диаграммы с усиками, гистограммы и графики накопленной частоты | Включая диаграммы «ствол-лист» с обратной стороны. |
| понимать и использовать различные меры центрального тренда (среднее, медиана, мода) и вариабельности (размах, межквартильный размах, стандартное отклонение) | Например, при сравнении и сопоставлении наборов данных. |
| • использовать график накопленной частоты | напр., для оценки медианы, квартилей, перцентиля, доли распределения выше (или ниже) заданного значения или между двумя значениями. |
| • вычислять и использовать среднее арифметическое и стандартное отклонение набора данных (включая сгруппированные данные), как непосредственно из самих данных, так и по заданным суммам $\Sigma x$ и $\Sigma x^2$, или кодированным суммам $\Sigma(x - a)$ и $\Sigma(x - a)^2$, и применять эти суммы при решении задач, которые могут включать до двух наборов данных. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Choose a diagram that suits the data. You should be able to draw and read:
A measure of central tendency 集中趋势 is a single "middle" value:
A measure of variation 离散程度 shows how spread out the data is:
You often work from the totals $\sum x$ and $\sum x^2$. The square of the standard deviation is the variance 方差.
Worked example. For $10$ values, $\sum x = 50$ and $\sum x^2 = 300$. Find the mean and standard deviation.
Coding 编码 makes big numbers easier. Replace each value by $t=x-a$ for a convenient assumed mean 假定平均数 $a$. Then $\bar{x}=a+\bar{t}$, while the standard deviation is unchanged (shifting every value does not spread the data). So from the coded totals $\sum(x-a)$ and $\sum(x-a)^2$ you get $\bar x$ and $\sigma$ directly, and two data sets can be compared through their coded totals.
Выберите диаграмму, подходящую для ваших данных. Вы должны уметь рисовать и читать:
Мера центральности — это одно «среднее» значение:
Мера вариабельности показывает, насколько рассеяны данные:
Часто вы работаете с суммами $\sum x$ и $\sum x^2$. Квадрат стандартного отклонения называется дисперсией.
Разобранный пример. Для $10$ значений, $\sum x = 50$ и $\sum x^2 = 300$. Найдите среднее арифметическое и стандартное отклонение.
Кодирование облегчает работу с большими числами. Замените каждое значение на $t=x-a$ для удобного предположительного среднего $a$. Тогда $\bar{x}=a+\bar{t}$, а стандартное отклонение остается неизменным (сдвиг всех значений не влияет на разброс данных). Таким образом, из закодированных сумм $\sum(x-a)$ и $\sum(x-a)^2$ вы получаете $\bar x$ и $\sigma$ напрямую, а два набора данных можно сравнить через их закодированные суммы.
P(−k < Z < k)
Spread is measured in standard deviations — about 68% of data lies within 1 sd, 95% within 2. · Разброс измеряется в стандартных отклонениях — около 68% данных лежат в пределах 1 σ, 95% в пределах 2 σ.
| English | Русский |
|---|---|
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | стебель-лист диаграмма |
| back-to-back/bæk tə bæk/ | диаграмма «назад-назад» |
| box-and-whisker plot/bɒks ænd ˈwɪskə plɒt/ | ящик с усами (box-and-whisker plot) |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | гистограмма |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | накопительная частота |
| measure of central tendency/ˈmeʒə ɒv ˈsentrəl ˈtendənsi/ | мера центрального тренда |
| mean/miːn/ | среднее значение |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| mode/məʊd/ | модой |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | вариация |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the terms permutation and combination, and solve simple problems involving selections | |
| • solve problems about arrangements of objects in a line, including those involving – repetition (e.g. the number of ways of arranging the letters of the word ‘NEEDLESS’) – restriction (e.g. the number of ways several people can stand in a line if two particular people must, or must not, stand next to each other). | Questions may include cases such as people sitting in two (or more) rows. Questions about objects arranged in a circle will not be included. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • понимать термины перестановка и сочетание, а также решать простые задачи на выборку | |
| • решать задачи о расположении объектов в ряд, включая случаи – повторения (например, количество способов расставить буквы слова ‘NEEDLESS’) – ограничения (например, количество способов, которыми несколько человек могут встать в ряд, если два определенных человека должны или не должны стоять рядом). | Вопросы могут включать случаи, когда люди сидят в двух (или более) рядах. Вопросы о размещении объектов по кругу не будут включены. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A permutation 排列 is an arrangement where order matters; a combination 组合 is a selection where order does not matter. The numbers are
Worked example. How many different arrangements are there of the letters of the word NEEDLESS?
There are $8$ letters, with E repeated $3$ times and S repeated $2$ times:
Перестановка — это расположение, где порядок важен; сочетание — это выбор, где порядок не важен. Числа равны
Разобранный пример. Сколько различных перестановок существует в словах NEEDLESS?
В слове $8$ букв, E повторяется $3$ раз, а S повторяется $2$ раза:
Choose whether order matters in a counting problem. · Определите, имеет ли значение порядок в задаче на подсчет.
| English | Русский |
|---|---|
| range (of data)/reɪndʒ/ | размах (данных) |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | межквартильный размах |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | стандартное отклонение |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| Coding/ˈkəʊdɪŋ/ | Написание кода |
| assumed mean/əˈsjuːmd miːn/ | предполагаемое среднее значение |
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | перестановка |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | комбинации |
| mutually exclusive events/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv ɪˈvents/ | взаимоисключающие события |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | независимые события |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | условная вероятность |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | дискретная случайная величина |
| probability distribution table/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈteɪbl/ | таблица распределения вероятностей |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | математическое ожидание |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | биномиального распределения |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | геометрическое распределение |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| evaluate probabilities in simple cases by means of enumeration of equiprobable elementary events, or by calculation using permutations or combinations | e.g. the total score when two fair dice are thrown. e.g. drawing balls at random from a bag containing balls of different colours. |
| use addition and multiplication of probabilities, as appropriate, in simple cases | Explicit use of the general formula $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$ is not required. |
| understand the meaning of exclusive and independent events, including determination of whether events $A$ and $B$ are independent by comparing the values of $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| calculate and use conditional probabilities in simple cases. | e.g. situations that can be represented by a sample space of equiprobable elementary events, or a tree diagram. The use of $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ may be required in simple cases. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| оценивать вероятности в простых случаях путем перечисления равновероятных элементарных исходов или вычислением с использованием перестановок или сочетаний | напр., общая сумма при бросании двух честных игральных костей. напр., вытягивание шаров наугад из мешка, содержащего шары разных цветов. |
| использовать сложение и умножение вероятностей по мере необходимости в простых случаях | Явное использование общей формулы $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$ не требуется. |
| понимать значение взаимоисключающих и независимых событий, включая определение того, являются ли события $A$ и $B$ независимыми, сравнивая значения $\text{P}(A \cap B)$ и $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| вычислять и использовать условные вероятности в простых случаях. | напр., ситуации, которые можно представить с помощью пространства элементарных исходов равновероятных элементарных событий или дерева вероятностей. Использование формулы $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ может потребоваться в простых случаях. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Find a probability by counting equally likely outcomes, or by using permutations and combinations. Combine probabilities with these rules:
Two events are mutually exclusive events 互斥事件 if they cannot both happen, and independent events 独立事件 if one happening does not change the chance of the other. To test independence, check whether $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. A conditional probability 条件概率 is the chance of $A$ given that $B$ has happened: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Worked example. Events have $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ and $P(A \cap B) = 0.2$. Are $A$ and $B$ independent?
Test: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. The values are equal, so $A$ and $B$ are independent.
Найдите вероятность, подсчитав равновероятные исходы или используя перестановки и сочетания. Комбинируйте вероятности по этим правилам:
Два события называются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно, и независимыми, если наступление одного не изменяет вероятность другого. Чтобы проверить независимость, убедитесь, что $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Условная вероятность — это вероятность $A$ при условии, что произошло $B$: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Разобранный пример. У событий есть $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ и $P(A \cap B) = 0.2$. Являются ли $A$ и $B$ независимыми?
Проверка: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Значения равны, поэтому $A$ и $B$ являются независимыми.
Change the probabilities and read the tree. This is how P(A and B) and conditional probability fit together. · Измените вероятности и прочитайте дерево. Так P(A и B) и условная вероятность сочетаются вместе.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| draw up a probability distribution table relating to a given situation involving a discrete random variable $X$, and calculate $\text{E}(X)$ and $\text{Var}(X)$ | |
| use formulae for probabilities for the binomial and geometric distributions, and recognise practical situations where these distributions are suitable models | Including the notations $\text{B}(n, p)$ and $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ denotes the distribution in which $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ for $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| use formulae for the expectation and variance of the binomial distribution and for the expectation of the geometric distribution. | Proofs of formulae are not required. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| составлять таблицу распределения вероятностей, относящуюся к данной ситуации, связанной со случайной дискретной величиной $X$, и вычислять $\text{E}(X)$ и $\text{Var}(X)$ | |
| использовать формулы вероятностей для биномиального и геометрического распределений и распознавать практические ситуации, где эти распределения подходят в качестве моделей | Включая обозначения $\text{B}(n, p)$ и $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ обозначает распределение, в котором $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ для $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| использовать формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения и для математического ожидания геометрического распределения. | Доказательства формул не требуются. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A discrete random variable 离散型随机变量 $X$ takes separate values, each with a probability. List them in a probability distribution table 概率分布表; the probabilities must add to $1$. Then the expectation 期望 (mean) and variance are
Two special models:
Worked example. $X \sim B(10, 0.3)$. Find $P(X = 2)$ and $E(X)$.
Дискретная случайная величина $X$ принимает отдельные значения, каждое со своей вероятностью. Запишите их в таблицу распределения вероятностей; вероятности должны суммироваться до $1$. Затем математическое ожидание (среднее) и дисперсия равны
Два специальных модели:
Разобранный пример. $X \sim B(10, 0.3)$. Найдите $P(X = 2)$ и $E(X)$.
Change n and p for a binomial distribution and watch the bars — the probability of each number of successes. · Измените n и p для биномиального распределения и наблюдайте за столбцами — вероятностью каждого числа успехов.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the use of a normal distribution to model a continuous random variable, and use normal distribution tables | Sketches of normal curves to illustrate distributions or probabilities may be required. |
| solve problems concerning a variable $X$, where $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, including: – finding the value of $P(X > x_1)$, or a related probability, given the values of $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – finding a relationship between $x_1$, $\mu$ and $\sigma$ given the value of $P(X > x_1)$ or a related probability | For calculations involving standardisation, full details of the working should be shown. e.g. $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| recall conditions under which the normal distribution can be used as an approximation to the binomial distribution, and use this approximation, with a continuity correction, in solving problems. | $n$ sufficiently large to ensure that both $np > 5$ and $nq > 5$. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать применение нормального распределения для моделирования непрерывной случайной величины и пользоваться таблицами нормального распределения | Могут потребоваться схематические рисунки нормальных кривых для иллюстрации распределений или вероятностей. |
| решать задачи относительно переменной $X$, где $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, включая: – нахождение значения $P(X > x_1)$ или связанной с ним вероятности, зная значения $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – нахождение связи между $x_1$, $\mu$ и $\sigma$, зная значение $P(X > x_1)$ или связанную с ним вероятность | Для вычислений, связанных со стандартизацией, необходимо приводить полные детали хода решения. напр. $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| вспоминать условия, при которых нормальное распределение может использоваться как приближение к биномиальному распределению, и применять это приближение с поправкой на непрерывность при решении задач. | $n$ достаточно велико, чтобы обеспечить оба $np > 5$ и $nq > 5$. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The normal distribution 正态分布 models a continuous random variable 连续型随机变量 with a symmetric bell shape. Write $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, where $\mu$ is the mean and $\sigma$ is the standard deviation. To use the tables, by standardisation 标准化 convert to the variable $Z \sim N(0, 1)$:
Then $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, which you read from the normal table $\Phi$.
The normal distribution is also a good approximation 近似 to the binomial when $n$ is large. Because you replace a discrete variable by a continuous one, apply a continuity correction 连续性校正 (adjust by $0.5$).
Worked example. Bags of rice have mass $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Given that $P(X < 1.48) = 0.22$, find $\mu$.
From the table, $P(Z < z) = 0.22$ gives $z = -0.772$. So
Нормальное распределение моделирует непрерывную случайную величину с симметричной колоколообразной формой. Обозначьте $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, где $\mu$ — среднее значение, а $\sigma$ — стандартное отклонение. Для использования таблиц с помощью стандартизации преобразуйте переменную в $Z \sim N(0, 1)$:
Тогда $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, которое вы находите по таблице нормального распределения $\Phi$.
Нормальное распределение также является хорошей аппроксимацией биномиального, когда $n$ велико. Поскольку вы заменяете дискретную переменную непрерывной, примените поправку на непрерывность (скорректируйте на $0.5$).
Разобранный пример. Мешки с рисом имеют массу $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. При условии, что $P(X < 1.48) = 0.22$, найдите $\mu$.
Из таблицы $P(Z < z) = 0.22$ дает $z = -0.772$. Следовательно,
Shade the area to find a probability. A z-value measures how many standard deviations a point is from the mean. · Заштрихуйте область, чтобы найти вероятность. z-значение измеряет, на сколько стандартных отклонений точка удалена от среднего.
| English | Русский |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | нормального распределения |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | непрерывная случайная величина |
| standardisation/ˌstændədaɪˈzeɪʃn/ | стандартизация |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | приближение |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | поправка на непрерывность |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | Теория вероятностей и статистика |
| central tendency/ˈsentrəl ˈtendənsi/ | центральный тренд |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…