Geometria

Um canto onde duas linhas se encontram é um vértice 顶点. Duas linhas são paralelas 平行 se nunca se encontrarem e perpendiculares 垂直 se se encontrarem em um ângulo reto. Ângulos são nomeados por seu tamanho:

Nomeamos um ângulo com três letras, p. ex., o ângulo $ABC$ é o ângulo em $B$.

Aprenda estes fatos básicos. Cada um é uma razão válida no exame.

• Ângulos em um ponto somam $360^{\circ}$.
• Ângulos em uma linha reta somam $180^{\circ}$.
• Ângulos opostos pelo vértice 对顶角 (formados por duas linhas cruzadas) são iguais.

Exemplo resolvido. Três ângulos em uma linha reta são $x$, $50^{\circ}$ e $70^{\circ}$. Encontre $x$.

Quando uma linha cruza duas linhas paralelas:

• Ângulos correspondentes 同位角 (em posições correspondentes, formato de "F") são iguais.
• Ângulos alternos internos 内错角 (lados opostos da linha transversal, formato de "Z") são iguais.
• Ângulos colaterais internos 同旁内角 (formato de "C") somam $180^{\circ}$; dizemos que eles são suplementares 互补.

Exemplo resolvido. Uma linha reta cruza duas linhas paralelas. Um ângulo é $110^{\circ}$. O ângulo colateral interno $y$ satisfaz $110 + y = 180$, logo $y = 70^{\circ}$.

Um triângulo 三角形 tem três lados e ângulos que somam $180^{\circ}$.

Exemplo resolvido. Um triângulo tem ângulos $x$, $2x$ e $90^{\circ}$. Encontre $x$.

Um quadrilátero 四边形 tem quatro lados e ângulos que somam $360^{\circ}$.

Um polígono 多边形 é uma figura com lados retos. Um polígono regular 正多边形 tem todos os lados e todos os ângulos iguais.

Para um polígono com $n$ lados:

O ângulo interno 内角 e o ângulo externo 外角 em cada canto somam $180^{\circ}$.

Exemplo resolvido. Encontre cada ângulo interno de um hexágono regular.

O ângulo externo é $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, então cada ângulo interno é $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

• Uma figura tem simetria axial 轴对称 se uma linha espelho a divide em duas metades idênticas.
• Uma figura tem simetria rotacional 旋转对称 se ela se sobrepõe a si mesma enquanto você a gira. A ordem é quantas vezes ela se encaixa em uma volta completa.

Para sólidos (Avançado), uma fatia plana que divide o sólido em metades espelhadas é um plano de simetria 对称面, e uma linha ao redor da qual você pode girá-lo é um eixo de simetria 对称轴.

Use-os para encontrar ângulos desconhecidos, sempre fornecendo o motivo.

Para ambos os níveis:

• O ângulo no semicírculo é $90^{\circ}$.
• O ângulo entre uma tangente e um raio é $90^{\circ}$.

Avançado (teoremas I):

• O ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência (sobre o mesmo arco).
• Ângulos no mesmo segmento são iguais.
• Ângulos opostos de um quadrilátero cíclico 圆内接四边形 somam $180^{\circ}$.
• O teorema do segmento alternado 弦切角定理: o ângulo entre uma tangente e uma corda é igual ao ângulo no outro segmento.

Avançado (teoremas II): cordas iguais estão à mesma distância do centro; a mediatriz de uma corda passa pelo centro; duas tangentes de um mesmo ponto externo têm comprimentos iguais.

Exemplo resolvido. A, B, C estão em um círculo. O ângulo na circunferência $ABC$ é $40^{\circ}$. Encontre o ângulo $AOC$ no centro $O$.

O ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Duas figuras são semelhantes 相似 se uma é uma ampliação da outra: mesmos ângulos, e todos os lados multiplicados pelo mesmo fator de escala 比例因子 $k$. (Figuras que são exatamente do mesmo tamanho e forma são congruentes 全等.)

Para figuras e sólidos semelhantes:

Exemplo resolvido. Dois sólidos semelhantes têm comprimentos na razão $2 : 3$. O menor tem volume $40\text{ cm}^{3}$. Encontre o volume do maior.

A razão de volumes é $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. Então o volume maior é $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Um rumbo 方位角 dá uma direção como um ângulo de três algarismos, medido horariamente 顺时针 a partir do norte, de $000^{\circ}$ a $360^{\circ}$. Então leste verdadeiro é $090^{\circ}$ e sul verdadeiro é $180^{\circ}$.

Exemplo resolvido. O rumbo de $B$ de $A$ é $025^{\circ}$. Encontre o rumbo de $A$ de $B$.

O rumbo inverso (de retorno) difere em $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

• Para construir 作图 um triângulo a partir de três lados dados, desenhe a base com uma régua, depois use um par de compassos 圆规 para marcar cada outro lado como um arco. Deixe os arcos de construção visíveis.
• Uma planificação 展开图 é uma figura plana que se dobra para formar um sólido. Você pode usar uma planificação para calcular áreas de superfície.
• Um desenho em escala 比例图 mostra um objeto real menor (ou maior) por uma escala fixa, como $1\text{ cm}$ para $5\text{ m}$.

Sólidos comuns 几何体 e suas partes:

Uma face plana de um sólido é uma face 面, duas faces se encontram em uma aresta 棱, e toda a parte externa é sua superfície 表面.

• Ângulos em uma linha reta somam $180°$, ao redor de um ponto $360°$, e em um triângulo $180°$. Dê um motivo para cada etapa de uma questão de ângulos.
• Aprenda os teoremas do círculo: o ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência; o ângulo no semicírculo é $90°$; ângulos no mesmo segmento são iguais; ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam $180°$.
• Os ângulos externos de qualquer polígono somam $360°$, e cada ângulo interno + seu ângulo externo = $180°$.
• Rumbos são medidos horariamente a partir do norte e sempre escritos com três algarismos (ex. $072°$).