Trigonometria

Teorema de Pitágoras 勾股定理 liga os três lados de um triângulo retângulo 直角三角形 (um triângulo 三角形 com um ângulo reto $90^{\circ}$). Se o lado mais longo (a hipotenusa 斜边, oposto ao ângulo reto) for $c$, então

Use-o para encontrar um lado desconhecido.

Exemplo resolvido. Um triângulo retângulo tem hipotenusa de $13\text{ cm}$ e um lado curto de $5\text{ cm}$. Encontre o outro lado curto.

Rotule os lados a partir do ângulo que está usando: o oposto 对边 (através do ângulo), o adjacente 邻边 (ao lado do ângulo) e a hipotenusa. As três razões são o seno 正弦, cosseno 余弦 e razão tangente 正切 (sin, cos, tan):

Lembre-se delas como SOH-CAH-TOA. Para encontrar um ângulo, use o inverso ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).

Exemplo resolvido (encontrar um lado). Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é $10\text{ cm}$ e o ângulo é $30^{\circ}$. Encontre o lado oposto.

Exemplo resolvido (encontrar um ângulo). O lado oposto é $4\text{ cm}$ e o lado adjacente é $3\text{ cm}$.

O ângulo de elevação 仰角 é o ângulo para cima a partir da horizontal até um objeto acima de você. O ângulo de depressão 俯角 é o ângulo para baixo a partir da horizontal até um objeto abaixo de você. A menor distância de um ponto a uma linha é a distância perpendicular 垂直.

Exemplo resolvido. De um ponto $50\text{ m}$ da base de uma torre, o ângulo de elevação até o topo é $40^{\circ}$. Encontre a altura da torre.

Você precisa saber esses valores exatos sem calculadora.

*Estes dois triângulos especiais são a origem dos valores exatos — valem a pena memorizar.

Para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:

• $y = \sin x$ é uma onda começando em $0$, atingindo pico em $90^{\circ}$, voltando a $0$ em $180^{\circ}$, descendo a $-1$ em $270^{\circ}$.
• $y = \cos x$ é a mesma onda, mas começando em $1$.
• $y = \tan x$ sobe íngreme e se repete a cada $180^{\circ}$.

Uma equação trigonométrica 三角方程 frequentemente tem mais de uma resposta neste intervalo. Use o gráfico (ou a simetria da onda) para encontrá-las todas.

Exemplo resolvido. Resolva $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.

Uma resposta é $x = 60^{\circ}$. A onda senoidal também vale $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ em $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Então $x = 60^{\circ}$ ou $120^{\circ}$.

Exemplo resolvido. Resolva $2\cos x + 1 = 0$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.

Para qualquer triângulo (não apenas retângulo), com lados $a, b, c$ opostos aos ângulos $A, B, C$:

Use a regra do seno 正弦定理 quando tiver um lado e seu ângulo oposto. Use a regra do cosseno 余弦定理 quando tiver dois lados e o ângulo entre eles, ou todos os três lados. Com a regra do seno, cuidado com o caso ambíguo 两解情况, onde um ângulo pode ser agudo ou obtuso.

A área de qualquer triângulo é

Exemplo resolvido. Um triângulo tem $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ e o ângulo entre eles $A = 40^{\circ}$. Encontre o lado $a$.

Em três dimensões, encontre um triângulo retângulo dentro do sólido, então use Pitágoras ou trigonometria sobre ele. Uma tarefa comum é o ângulo entre uma linha e uma superfície plana (um plano 平面).

Exemplo resolvido. Uma caixa tem base $6\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$ e altura $5\text{ cm}$. Encontre o ângulo entre uma diagonal espacial e a base.

Primeiro a diagonal da base: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Esta diagonal e a altura formam um triângulo retângulo, então o ângulo $\theta$ com a base é

• Use Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$) quando não houver ângulo; use SOH-CAH-TOA quando houver um ângulo envolvido.
• A hipotenusa está sempre oposta ao ângulo reto. Rotule os lados (oposto, adjacente, hipotenusa) em relação ao ângulo que está usando.
• Para encontrar um ângulo, use o inverso ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$), e verifique se sua calculadora está configurada para graus.
• Para um triângulo sem ângulo reto, use a lei dos senos ou a lei dos cossenos — use a lei dos cossenos quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles.