Esta folha cobre o Tema 9, Estatística. As partes marcadas como (Estendido) são testadas apenas nos papers estendidos; tudo o mais é para ambos os níveis.
Estatística
Matemática IGCSE · Tópico 9
8:09
Estatística
Todos os dias o mundo coleta números sobre você: quanto você viaja, quanto tempo dorme, qual sua pontuação em um teste. Uma longa lista de números conta quase…
Narração em inglês · legendas em inglês e 中文 que você pode alternar
9.1 9.2
Coletando e apresentando dados
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Classificar e tabular dados estatísticos. | p.ex. tabelas de contagem, tabelas duplas. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Ler, interpretar e tirar inferências de tabelas e diagramas estatísticos. | |
| 2 Comparar conjuntos de dados usando tabelas, gráficos e medidas estatísticas. | p.ex. comparar médias e amplitudes entre dois conjuntos de dados. |
| 3 Compreender restrições na extração de conclusões a partir de dados fornecidos. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Ler, interpretar e tirar inferências de tabelas e diagramas estatísticos. | |
| 2 Comparar conjuntos de dados usando tabelas, gráficos e medidas estatísticas. | Ex.: comparar médias e medidas de dispersão entre dois conjuntos de dados. |
| 3 Compreender restrições na extração de conclusões a partir de dados fornecidos. |
Fonte: Programa Cambridge International
Para organizar dados estatísticos, use:
- uma tabela de contagem — faça uma marca para cada valor, depois conte.
- uma tabela cruzada — organiza dados por duas características ao mesmo tempo (por exemplo, meninos/meninas contra caminhada/ônibus).
Ao ler um gráfico, tire conclusões apenas se os dados realmente as apoiarem.
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Ciclo de tratamento de dados
Siga uma questão estatística desde a coleta até a exibição.
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| statistical/stəˈtɪstɪkl/ | estatístico |
| data/ˈdeɪtə/ | dados |
| tally table/ˈtælɪ ˈteɪbl/ | tabela de contagem |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | tabela de dupla entrada |
9.3
Médias e amplitude
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular a média, mediana, moda e amplitude para dados individuais e distinguir entre os propósitos para os quais são utilizados. | Os dados podem estar numa lista ou tabela de frequências, mas não estarão agrupados. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcular a média, mediana, moda, quartis, amplitude e amplitude interquartil para dados individuais e distinguir entre os fins para os quais estes são usados. | |
| 2 Calcular uma estimativa da média para dados discretos agrupados ou contínuos agrupados. | |
| 3 Identificar a classe modal de uma distribuição de frequência agrupada. |
Fonte: Programa Cambridge International
Três medidas de tendência central descrevem um valor típico dos dados, e o intervalo mostra quão dispersos eles estão. Cada uma é usada para um propósito diferente:
- média $= \dfrac{\text{sum of all values}}{\text{how many values}}$.
- mediana $=$ o valor central quando os dados estão ordenados; para um número par de valores, calcule a média dos dois valores centrais.
- moda $=$ o valor que aparece com mais frequência.
- amplitude $=$ maior valor $-$ menor valor (mostra como os dados estão dispersos).
Exemplo resolvido. Encontre a média, mediana, moda e amplitude de $4, 7, 7, 2, 5$.
Organize os dados: $2, 4, 5, 7, 7$.
$$\text{mean} = \frac{4 + 7 + 7 + 2 + 5}{5} = \frac{25}{5} = 5, \quad \text{median} = 5, \quad \text{mode} = 7, \quad \text{range} = 7 - 2 = 5.$$
Exemplo resolvido: um número par de valores. Encontre a mediana de $12, 15, 9, 20, 14, 11$.
Em ordem: $9, 11, 12, 14, 15, 20$. Há dois valores centrais, então a mediana fica no meio deles: $\dfrac{12 + 14}{2} = 13$.
Exemplo resolvido: um valor faltante. A média de cinco números é $8$. Quatro deles são $4$, $7$, $9$ e $10$. Encontre o quinto.
Os cinco números somam $5 \times 8 = 40$, e os quatro conhecidos somam $30$, então o quinto é $40 - 30 = 10$.
Qual média usar? A moda adequa-se a categorias (a cor mais popular); a mediana não é influenciada por um valor extremo (poucos salários muito altos); a média usa todos os valores.
Erros comuns. Calcular a mediana sem ordenar os dados primeiro e dar a posição $\tfrac{n+1}{2}$ em vez do valor naquela posição.
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Laboratório de escolha da média
Escolha a média que se adapta à situação dos dados.
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| mean/miːn/ | média |
| median/ˈmiːdiːən/ | mediana |
| mode/məʊd/ | moda |
| range/reɪndʒ/ | amplitude |
9.3
Médias a partir de uma tabela de frequências
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular a média, mediana, moda e amplitude para dados individuais e distinguir entre os propósitos para os quais são utilizados. | Os dados podem estar numa lista ou tabela de frequências, mas não estarão agrupados. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcular a média, mediana, moda, quartis, amplitude e amplitude interquartil para dados individuais e distinguir entre os fins para os quais estes são usados. | |
| 2 Calcular uma estimativa da média para dados discretos agrupados ou contínuos agrupados. | |
| 3 Identificar a classe modal de uma distribuição de frequência agrupada. |
Fonte: Programa Cambridge International
Quando os dados são listados com sua frequência (quantas vezes cada valor ocorre), a média é
$$\text{mean} = \frac{\sum (\text{value} \times \text{frequency})}{\sum \text{frequency}}.$$
Exemplo resolvido. Valores $1, 2, 3$ ocorrem com frequências $4, 5, 1$. Encontre a média.
$$\text{mean} = \frac{1(4) + 2(5) + 3(1)}{4 + 5 + 1} = \frac{17}{10} = 1.7.$$
Dados agrupados (Estendido)
Para dados agrupados, não é possível encontrar a média exata; estime-a usando a metade de cada grupo como valor. A classe modal é simplesmente o grupo com a maior frequência.
Exemplo resolvido: estimar a média. Os tempos, $t$ minutos, que $30$ alunos levaram para ir à escola estão agrupados abaixo.
| Tempo $t$ (min) | $0 < t \leqslant 10$ | $10 < t \leqslant 20$ | $20 < t \leqslant 30$ | $30 < t \leqslant 50$ |
|---|---|---|---|---|
| Frequência | $5$ | $12$ | $8$ | $5$ |
| Ponto médio | $5$ | $15$ | $25$ | $40$ |
$$\text{estimated mean} = \frac{5(5) + 15(12) + 25(8) + 40(5)}{30} = \frac{605}{30} = 20.2\text{ minutes}\ \text{(3 s.f.)}.$$
A classe modal é $10 < t \leqslant 20$. A resposta é apenas uma estimativa, pois não sabemos os tempos exatos dentro de cada grupo.
Erros comuns. Multiplicar pelo final de cada classe (ou pela largura da classe) em vez do ponto médio, e dividir pelo número de classes ($4$) em vez da frequência total ($30$).
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | frequência |
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | dados agrupados |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | classe modal |
9.3
Medidas de dispersão (Estendido)
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcular a média, mediana, moda, quartis, amplitude e amplitude interquartil para dados individuais e distinguir entre os fins para os quais estes são usados. | |
| 2 Calcular uma estimativa da média para dados discretos agrupados ou contínuos agrupados. | |
| 3 Identificar a classe modal de uma distribuição de frequência agrupada. |
Fonte: Programa Cambridge International
Quando os dados estão em ordem, os quartis os dividem em quatro partes iguais. O quartil inferior (QI) está um quarto do caminho; o quartil superior (QS) está três quartos do caminho. A amplitude interquartil mede a dispersão da metade central:
$$\text{interquartile range} = \text{UQ} - \text{LQ}.$$
A amplitude interquartil é útil porque, diferentemente da amplitude, ela ignora valores extremos.
Exemplo resolvido: quartis de uma lista. Encontre a mediana, os quartis e a amplitude interquartil de
$$3,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 13,\ 15,\ 18,\ 20.$$
Há $n = 11$ valores, já em ordem. A mediana é o valor de posição $\tfrac{n+1}{2} = 6$, $10$. O quartil inferior é o valor de posição $\tfrac{n+1}{4} = 3$, $6$, e o quartil superior é o valor de posição $\tfrac{3(n+1)}{4} = 9$, $15$. Portanto, a amplitude interquartil é $15 - 6 = 9$.
Exemplo resolvido: comparar duas distribuições. Dois cinemas registram seus números de audiência cada noite durante um mês.
| Média | Amplitude | |
|---|---|---|
| Cinema A | $78$ | $40$ |
| Cinema B | $96$ | $18$ |
Faça uma comparação da média e uma da dispersão, explicando o significado de cada uma no contexto: "Em média, o Cinema B tem plateias maiores, pois sua média é superior. A audiência do Cinema A varia mais, pois sua amplitude é maior."
Erro comum. Dizer apenas "a média de B é maior" sem explicar o que isso significa para as plateias, ou comparar duas médias sem analisar a dispersão.
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Diagrama de caixa e bigodes
Construir um diagrama de caixa a partir do resumo de cinco números: a caixa representa o meio de 50% (a amplitude interquartil) e a posição da mediana mostra a assimetria.
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | quartil |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | amplitude interquartil |
9.4
Gráficos e diagramas
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Desenhar e interpretar: (a) histogramas (b) gráficos de setores (c) pictogramas (d) diagramas de talho e folha (e) distribuições de frequência simples. | Inclui histogramas compostos (empilhados) e duplos (lado a lado). Os diagramas de talho e folha devem ter dados ordenados com uma legenda. |
Fonte: Programa Cambridge International
*Uma placa de Galton mostra como os dados se acumulam em uma distribuição.
| Gráfico | O que mostra |
|---|---|
| gráfico de barras | uma barra para cada categoria; altura corresponde à frequência |
| gráfico circular | um círculo dividido em fatias, cada uma representando uma fração de $360^{\circ}$ |
| pictograma | usa um símbolo para representar um número de itens |
| diagrama de caule e folhas | mantém os dígitos dos dados ordenados, com uma legenda |
| distribuição de frequência | tabela de valores e suas frequências |
Exemplo resolvido (gráfico de pizza). De $120$ pessoas, $30$ escolheram chá. Encontre o ângulo da fatia de chá.
$$\frac{30}{120} \times 360^{\circ} = 90^{\circ}.$$
Exemplo resolvido (gráfico circular, inverso). Um gráfico circular mostra como $450$ pessoas vão ao trabalho. A fatia do ônibus tem ângulo $72^{\circ}$. Quantas pessoas viajam de ônibus?
$$\frac{72}{360} \times 450 = 90\text{ people}.$$
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Ângulos de gráfico circular
Cada fatia tem seu ângulo igual à sua parte do todo convertida em graus — frequência ÷ total × 360 — e as fatias sempre somam 360°.
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Laboratório de escolha de gráfico
Escolha o gráfico que se adapta ao tipo de dado.
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| bar chart/bɑː tʃɑːt/ | gráfico de barras |
| pie chart/paɪ tʃɑːt/ | gráfico circular |
| pictogram/ˈpɪktəɡræm/ | pictograma |
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de caule e folhas |
| frequency distribution/ˈfriːkwənsi ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição de frequência |
| scatter diagram/ˈskætə ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de dispersão |
9.5
Diagramas de dispersão e correlação
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Desenhar e interpretar diagramas de dispersão. | Os pontos traçados devem estar claramente marcados, por exemplo como pequenas cruzes (×). |
| 2 Compreender o significado de correlação positiva, negativa e nula. | |
| 3 Traçar à vista, interpretar e utilizar uma reta de melhor ajuste. | Uma reta de melhor ajuste: • deve ser uma única linha retilínea traçada por inspeção • deve estender-se por todo o conjunto de dados • não precisa coincidir exatamente com nenhum dos pontos, mas deve haver uma distribuição aproximadamente equitativa de pontos de ambos os lados da linha ao longo de toda a sua extensão. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Desenhar e interpretar diagramas de dispersão. | Os pontos plotados devem estar claramente marcados, por exemplo como pequenos crosses (x). |
| 2 Compreender o significado de correlação positiva, negativa e nula. | |
| 3 Traçar à vista, interpretar e utilizar uma reta de melhor ajuste. | Uma reta de melhor ajuste: • deve ser uma única linha retilínea traçada por inspeção • deve estender-se por todo o conjunto de dados • não precisa coincidir exatamente com nenhum dos pontos, mas deve haver uma distribuição aproximadamente equitativa de pontos de ambos os lados da linha ao longo de toda a sua extensão. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um diagrama de dispersão plota pares de valores como pontos para mostrar se duas coisas estão ligadas. Essa ligação é a correlação:
- correlação positiva — quando uma aumenta, a outra também aumenta.
- correlação negativa — quando uma aumenta, a outra diminui.
- correlação zero — não há tendência linear clara; um padrão curvo ainda pode existir.
*Correlação positiva sobe junto; negativa desce conforme a outra sobe; zero mostra nenhuma ligação clara.
Se houver correlação, trace uma reta de tendência: uma linha reta traçada pelo meio dos pontos, com aproximadamente o mesmo número de pontos de cada lado. Use-a para prever valores.
Previna apenas dentro da faixa dos dados (interpolação). Ler a linha além dos pontos plotados (extrapolação) é confiável, e correlação não prova que uma coisa causa a outra.
*Uma reta de melhor ajuste é uma única linha reta pelo meio dos pontos; use-a para prever.
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Dispersão e correlação
Altere a força da relação e adicione uma linha de melhor ajuste para detetar a tendência.
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| correlation/ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | correlação |
| positive correlation/ˈpɒzɪtɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | correlação positiva |
| negative correlation/ˈneɡətɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | correlação negativa |
| zero correlation/ˈzɪərəʊ ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | correlação nula |
| line of best fit/laɪn ɒv best fɪt/ | reta de melhor ajuste |
9.6
Diagramas de frequência acumulada (Estendido)
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Desenhar e interpretar tabelas e diagramas de frequência acumulada. | Os pontos plotados em um diagrama de frequência acumulada devem estar claramente marcados, por exemplo como pequenos crosses (x), e serem unidos por uma curva suave. |
| 2 Estimar e interpretar a mediana, percentis, quartis e amplitude interquartil a partir de diagramas de frequência acumulada. |
Fonte: Programa Cambridge International
A frequência acumulada é a soma progressiva das frequências. Plotar no extremo superior de cada classe e ligar os pontos com uma curva suave.
Para os tempos de viagem acima, os totais acumulados são:
| Tempo $t$ (min) | $t \leqslant 10$ | $t \leqslant 20$ | $t \leqslant 30$ | $t \leqslant 50$ |
|---|---|---|---|---|
| Frequência acumulada | $5$ | $17$ | $25$ | $30$ |
Plote $(10, 5)$, $(20, 17)$, $(30, 25)$ e $(50, 30)$, começando em $(0, 0)$. A mediana é lida em $\tfrac{30}{2} = 15$ no eixo vertical, que cai na classe $10 < t \leqslant 20$.
Erro comum. Plotar no ponto médio de cada classe. A frequência acumulada deve ser plotada no final superior da classe.
Da curva, lê-se a mediana (na metade do total), os quartis (em um quarto e três quartos) e qualquer percentil (por exemplo, o $90$º percentil está em $90\%$ do total).
Explorar
Rota de frequência cumulativa
Siga os dados brutos até uma curva de frequência cumulativa e leitura percentil.
Vocabulário
Treinar
| English | Português |
|---|---|
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | frequência acumulada |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | percentil |
9.7
Histogramas (Estendido)
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Desenhar e interpretar histogramas. | Em histogramas, o eixo vertical é rotulado 'Densidade de frequência'. |
| 2 Calcular com densidade de frequência. | Densidade de frequência é definida como $\text{frequency density} = \text{frequency} \div \text{class width}$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um histograma assemelha-se a um gráfico de barras, mas as barras podem ter larguras diferentes e a área de cada barra (não sua altura) indica a frequência. O eixo vertical é a densidade de frequência:
$$\text{frequency density} = \frac{\text{frequency}}{\text{class width}}.$$
*Com larguras de classe desiguais, a ÁREA da barra (não sua altura) é a frequência, então o eixo é densidade de frequência.
Exemplo resolvido. Uma classe tem largura de classe $10$ e frequência $25$. Encontre a densidade de frequência.
$$\text{frequency density} = \frac{25}{10} = 2.5.$$
Exemplo resolvido: frequência a partir de uma barra. Uma barra de histograma cobre $20 < h \leqslant 35$ e tem densidade de frequência $1.6$. Quantos valores estão nesta classe?
$$\text{frequency} = \text{frequency density} \times \text{class width} = 1.6 \times 15 = 24.$$
Exemplo resolvido: alturas das barras. As classes $0 < x \leqslant 10$, $10 < x \leqslant 15$ e $15 < x \leqslant 30$ têm frequências $15$, $20$ e $18$. As alturas das barras são $15 \div 10 = 1.5$, $20 \div 5 = 4$ e $18 \div 15 = 1.2$. A classe intermediária estreita tem a barra mais alta, porque seus valores estão agrupados mais próximos.
Erro comum. Desenhar a frequência como altura da barra quando as classes têm larguras diferentes.
Explorar
Histograma de densidade de frequência
Com larguras de classe desiguais, a altura da barra é densidade de frequência, então a área (não a altura) representa a frequência.
Vocabulário
Treinar
| English | Português |
|---|---|
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | histograma |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | densidade de frequência |
| class width/klæs wɪtθ/ | largura da classe |
9.7
Dicas de prova
- Conheça as três medidas de tendência central: média (soma ÷ quantidade), mediana (valor central ordenado, ou média dos dois valores centrais) e moda (mais frequente). A amplitude é máximo − mínimo.
- De uma tabela de frequências, a média é $\frac{\sum fx}{\sum f}$ — divida pela frequência total, não pelo número de linhas.
- Em um diagrama de dispersão, descreva a correlação como positiva, negativa ou nula, e trace a reta de melhor ajuste pelo ponto médio.
- Para um histograma com larguras de classe desiguais, a altura é a densidade de frequência (frequência ÷ largura de classe), não a frequência.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.