Este guia cobre o Tópico 8, Probabilidade. As partes marcadas como (Ampliado) são testadas apenas nas provas Ampliadas; tudo o mais é para ambos os níveis.
Probabilidade
Matemática do IGCSE · Tópico 8
7:31
Probabilidade
Vai chover amanhã? O ônibus vai atrasar? Este jogo mostrará um seis? Quase nada na vida é certo, e quase nada é impossível. A maioria das coisas situa-se…
Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
8.1
A escala de probabilidade
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender e utilizar a escala de probabilidade de 0 a 1. | Notação de probabilidade não é exigida. As probabilidades devem ser apresentadas como fração, decimal ou percentagem. Os problemas podem exigir o uso de informações de tabelas, gráficos ou diagramas de Venn (limitado a dois conjuntos). |
| 2 Calcular a probabilidade de um evento único. | |
| 3 Compreenda que a probabilidade de um evento não ocorrer = 1 – a probabilidade do evento ocorrer. | Ex.: A probabilidade de uma ficha ser azul é 0.8. Qual é a probabilidade de ela não ser azul? |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender e usar a escala de probabilidade de 0 a 1. | $\text{P}(A)$ é a probabilidade de $A$ |
| 2 Compreender e usar notação de probabilidade. | $\text{P}(A')$ é a probabilidade de não $A$ |
| 3 Calcular a probabilidade de um evento único. | As probabilidades devem ser dadas como fração, decimal ou porcentagem. Problemas podem exigir o uso de informações de tabelas, gráficos ou diagramas de Venn. |
| 4 Entender que a probabilidade de um evento não ocorrer = 1 – a probabilidade do evento ocorrer. | Ex.: $\text{P}(B) = 0.8$, encontrar $\text{P}(B')$ |
Fonte: Programa Cambridge International
Probabilidade 概率 mede quão provável é um evento 事件. Ela varia numa escala de $0$ (impossível) a $1$ (certo), e pode ser escrita como fração, decimal ou porcentagem. Escrevemos $\text{P}(A)$ para a probabilidade do evento $A$.
Para resultados igualmente prováveis outcomes 结果,
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
A probabilidade de um evento não acontecer é
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
Exemplo resolvido. Uma bolsa tem $3$ contadores vermelhos e $5$ azuis. Encontre a probabilidade de não tirar vermelho.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
Explorar
A escala de probabilidade
Deslize o marcador de 0 (impossível) para 1 (certo) para colocar um evento na escala de probabilidade.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 概率 | gài lǜ |
| event/ɪˈvent/ | 事件 | shì jiàn |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | 结果 | jié guǒ |
8.2
Frequência relativa e frequência esperada
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender a frequência relativa como estimativa de probabilidade. | p.ex. usar resultados de experimentos com um girador para estimar a probabilidade de um resultado dado. |
| 2 Calcular frequências esperadas. | p.ex. usar probabilidade para estimar um valor esperado numa população. Inclui compreender o significado de justo, viciado e aleatório. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender a frequência relativa como estimativa de probabilidade. | p.ex. usar resultados de experimentos com um girador para estimar a probabilidade de um resultado dado. |
| 2 Calcular frequências esperadas. | Ex.: usar probabilidade para estimar um valor esperado de uma população. |
| Inclui compreender o que se entende por justo, viés e aleatório. |
Fonte: Programa Cambridge International
Quando os resultados não são igualmente prováveis, faça um experimento. A frequência relativa 相对频率 estima a probabilidade:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
Quanto mais ensaios você fizer, melhor será a estimativa. Um objeto justo 公平 dá chances iguais; um com viés 偏倚 não; aleatório 随机 significa que cada resultado ocorre por acaso.
A frequência esperada 期望频数 é quantas vezes você espera que um evento ocorra em $n$ ensaios:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
Exemplo resolvido. A probabilidade de tirar seis é $\tfrac{1}{6}$. Quantos seis são esperados em $300$ jogadas?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
Explorar
Probabilidade com dois dados
Lance os dois dados muitas vezes: as barras começam irregulares, mas se estabilizam no triângulo teórico com pico em 7 — probabilidade experimental aproximando-se da teórica.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | 相对频率 | xiāng duì pín lǜ |
| fair/feə/ | 公平 | gōng píng |
| bias/ˈbaɪəs/ | 偏倚 | piān yǐ |
| random/ˈrændəm/ | 随机 | suí jī |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | 期望频数 | qī wàng pín shuò |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | 组合事件 | zǔ hé shì jiàn |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | 独立事件 | dú lì shì jiàn |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 互斥 | hù chì |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | 样本空间图 | yàng běn kōng jiān tú |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 维恩图 | wéi ēn tú |
8.3
Eventos combinados
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular a probabilidade de eventos combinados utilizando, quando apropriado: • diagramas de espaço amostral • diagramas de Venn • diagramas de árvore. | Eventos combinados serão apenas com reposição. |
| Diagramas de Venn serão limitados a dois conjuntos. | |
| Em diagramas de árvore, os resultados serão escritos no final dos ramos e as probabilidades ao lado dos ramos. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular a probabilidade de eventos combinados usando, quando apropriado: • diagramas de espaço amostral • diagramas de Venn | Eventos combinados podem ser com ou sem reposição. |
| A notação $\text{P}(A \cap B)$ e $\text{P}(A \cup B)$ pode ser usada no contexto de diagramas de Venn. | |
| • diagramas de árvore. | Em diagramas de árvore, os resultados serão escritos ao final dos ramos e as probabilidades ao lado dos ramos. |
Fonte: Programa Cambridge International
Para dois ou mais eventos juntos (eventos combinados 组合事件), duas regras ajudam:
- AND (ambos acontecem): multiplique as probabilidades — quando os eventos são independentes 独立事件 (um não afeta o outro).
- OU (um ou outro acontece): some as probabilidades — quando os eventos são mutuamente exclusivos 互斥 (eles não podem acontecer juntos).
Três imagens ajudam a organizar o trabalho.
Diagramas de espaço amostral
Um diagrama de espaço amostral 样本空间图 é uma tabela ou grade listando todos os resultados possíveis — útil para dois dados ou dois spinners. Conte os resultados que você quer do total.
Diagramas de Venn
Um diagrama de Venn 维恩图 organiza resultados em conjuntos sobrepostos. A partir dele você pode ler $\text{P}(A \cap B)$ (em ambos) e $\text{P}(A \cup B)$ (em algum deles).
Diagramas de árvore
Um diagrama de árvore 树状图 mostra cada estágio como um conjunto de ramos. Escreva a probabilidade em cada ramo e o resultado no final. Multiplique ao longo dos ramos, depois some os caminhos que você quer.
Exemplo resolvido (com reposição). Da bolsa ($3$ vermelhos, $5$ azuis), um contador é retirado, reposto, e um segundo é retirado. Isso é com reposição 有放回, então as chances não mudam. Encontre a probabilidade de dois vermelhos.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
Exemplo resolvido (sem reposição, Estendido). Agora o primeiro contador não é devolvido — retirar sem reposição 无放回. Após retirar um vermelho, $2$ vermelhos restam de $7$:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
Explorar
Árvore de probabilidade
Multiplique as probabilidades ao longo de cada ramo; os quatro resultados sempre somam 1.
Explorar
Eventos combinados
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine dois eventos: o modelo de área mostra AND (sobreposição) versus OR (união).
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | 树状图 | shù zhuàng tú |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | 有放回 | yǒu fàng huí |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | 无放回 | wú fàng huí |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 条件概率 | tiáo jiàn gài lǜ |
8.4
Probabilidade condicional (Estendido)
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular probabilidade condicional usando diagramas de Venn, diagramas de árvore e tabelas. | Conhecimento de notação, $\text{P}(A|B)$, e fórmulas relacionadas à probabilidade condicional não é exigido. |
Fonte: Programa Cambridge International
Probabilidade condicional 条件概率 é a probabilidade de um evento dado que outro já ocorreu. Leia-a em um diagrama de Venn, tabela de contingência ou diagrama em árvore olhando apenas para a parte que corresponde à condição.
Exemplo resolvido. Em uma turma de $30$, $18$ estudam francês e, desses, $7$ também estudam alemão. Um aluno de francês é selecionado. Encontre a probabilidade de ele também estudar alemão.
Olhe apenas para os $18$ alunos de francês:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
Explorar
Árvores de probabilidade
Altere as probabilidades das ramificações e leia as probabilidades combinadas e condicionais fora da árvore.
8.4
Dicas de prova
- Toda probabilidade está entre $0$ e $1$, e a soma das probabilidades de todos os resultados é $1$.
- Para "e" (ambos os eventos) multiplique as probabilidades; para "ou" (eventual evento) some-as. Em um diagrama em árvore, multiplique ao longo dos ramos.
- Cuidado com sem reposição: a segunda probabilidade muda porque um item já foi removido.
- Frequência esperada = probabilidade × número de ensaios.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.