Álgebra e gráficos

Na álgebra 代数 usamos letras para representar números. Uma letra cujo valor pode mudar é uma variável 变量. Substituir 代入 significa colocar um número no lugar de uma letra.

Exemplo resolvido. Encontre o valor de $3x^{2} - 2y$ quando $x = 4$ e $y = 5$.

Um termo 项 é uma parte única de uma expressão 表达式, como $5a$ ou $-9b$. Termos semelhantes 同类项 têm exatamente as mesmas letras; você pode somá-los ou subtraí-los. O número à frente da letra é o coeficiente 系数.

Exemplo resolvido. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Junte termos semelhantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Portanto a resposta é

Para expandir 展开 significa multiplicar fora dos parênteses 括号. Multiplique cada termo dentro pelo termo de fora; para dois parênteses, multiplique cada termo do primeiro por cada termo do segundo.

Exemplos resolvidos.

Para três parênteses (Estendido), expanda dois primeiro, depois multiplique pelo terceiro:

Fatorar 因式分解 é o oposto de expandir: escreva a expressão como um produto de parênteses. Sempre tire primeiro o fator comum 公因式.

Exemplo resolvido. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos os termos.

Os seguintes padrões são Estendidos.

Agrupamento (quatro termos): tire um fator comum de cada par.

Diferença de quadrados 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Quadrado perfeito 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expressões quadráticas 二次 $ax^{2} + bx + c$: encontre dois números que multipliquem para dar $a \times c$ e somem para dar $b$, então separe o termo do meio.

Exemplo resolvido. Fatore $2x^{2} + 7x + 3$.

Aqui $a \times c = 6$ e $b = 7$. Os números $1$ e $6$ funcionam. Separe e agrupe:

Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, extraia primeiro o $x$ comum: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Completando o quadrado 配方法 reescreve $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Tire metade do coeficiente de $x$, eleve ao quadrado, depois equilibre.

Exemplo resolvido. Escreva $x^{2} + 6x + 1$ na forma de quadrado completo.

Metade de $6$ é $3$, e $3^{2} = 9$:

Quando o $x^{2}$ tem um coeficiente, tire-o dos primeiros dois termos primeiro:

Uma fração algébrica 分式 tem álgebra no numerador ou denominador. Some e subtraia usando um denominador comum; multiplique e divida como com frações comuns.

Exemplos resolvidos.

Para simplificar uma expressão racional 有理式, fatore o numerador e o denominador, depois cancele os parênteses comuns.

As leis dos expoentes 指数 funcionam com letras também: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, e $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Exemplos resolvidos.

Você também pode resolver equações de índice simples escrevendo ambos os lados com a mesma base 底数.

Exemplo resolvido. Resolva $2^{x} = 32$. Como $32 = 2^{5}$, você obtém $x = 5$.

Uma equação 方程 diz que duas expressões são iguais. Para resolver uma equação linear 一次, faça a mesma operação nos dois lados até que o incógnita 未知数 fique sozinha.

Exemplo resolvido. Resolva $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Equações fracionárias (Estendido)

Uma equação fracionária 分式方程 tem a incógnita em um denominador. Multiplique ambos os lados pelo denominador para eliminá-lo.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Equações simultâneas

Equações simultâneas 联立方程 são duas equações resolvidas juntas. Para duas equações lineares, some ou subtraia para eliminar uma letra.

Exemplo resolvido. Resolva $2x + y = 7$ e $3x - y = 8$.

Somar remove $y$: $5x = 15$, logo $x = 3$. Então $y = 7 - 2(3) = 1$.

Para uma equação linear e uma quadrática (Estendido), substitua a linear na curva.

Exemplo resolvido. Resolva $y = x + 2$ e $y = x^{2}$.

então $x = 2$ (dando $y = 4$) ou $x = -1$ (dando $y = 1$).

Resolvendo equações quadráticas (Estendido)

Existem três métodos.

• Por fatoração: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = -3$.
• Por completação de quadrado: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Pela fórmula resolvente 求根公式, que é fornecida na prova:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Exemplo resolvido (fórmula). Resolva $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aqui $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Isolando uma variável

Para isolar uma variável 公式变形 de uma fórmula significa reorganizá-la para que uma letra escolhida fique sozinha de um lado.

Exemplo resolvido. Isolare $r$ em $A = \pi r^{2}$ (Estendido, devido ao expoente).

Quando a letra aparece duas vezes (Estendido), agrupe esses termos e fatore. Para isolar $x$ em $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Uma desigualdade 不等式 usa $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. Resolva-a como uma equação, mas inverta o sinal se multiplicar ou dividir por um número negativo.

Exemplo resolvido. Resolva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Some $2$ a todas as partes, depois divida por $3$:

Em uma reta numérica 数轴, use um círculo aberto para $<$ ou $>$ (valor não incluído) e um círculo fechado para $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valor incluído).

Regiões (Estendido)

Uma desigualdade em duas letras descreve uma região 区域 do gráfico. Desenhe a linha limite (tracejada para $<$ ou $>$, sólida para $\leqslant$ ou $\geqslant$) e sombree o lado indesejado. Você também pode ser solicitado a listar as desigualdades que definem uma região dada.

Uma sequência 数列 é uma lista de números que seguem uma regra. A regra termo a termo 递推规则 diz como obter o próximo termo a partir do anterior.

Para encontrar a regra para o termo na posição $n$ (o $n$th termo), observe como os termos mudam.

Sequência linear (os termos aumentam na mesma quantidade cada vez). A diferença é o múltiplo de $n$.

Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 8, 11, \dots$

Os termos aumentam em $3$, então comece com $3n$. Como $3 \times 1 = 3$ mas o primeiro termo é $2$, subtraia $1$: o $n$th termo é $3n - 1$.

Sequência quadrática (as diferenças em si mudam na mesma quantidade). A segunda diferença é igual a $2 \times$ o coeficiente de $n^{2}$.

Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 10, 17, \dots$

As primeiras diferenças são $3, 5, 7$; a segunda diferença é $2$, então a parte $n^{2}$ é $1n^{2}$. Subtraindo $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) da sequência sobra $1, 1, 1, 1$. Então o $n$th termo é $n^{2} + 1$.

Uma sequência cúbica 三次 como $1, 8, 27, 64, \dots$ tem o $n$-ésimo termo $n^{3}$. Uma sequência exponencial 指数数列 como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por um número fixo a cada vez; aqui o $n$-ésimo termo é $2 \times 3^{\,n-1}$.

Duas quantidades estão em proporção direta 正比例 se uma for sempre um múltiplo fixo da outra: $y \propto x$ significa $y = kx$, onde $k$ é uma constante 常数. Elas estão em proporção inversa 反比例 se uma aumenta à medida que a outra diminui: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. O símbolo $\propto$ é lido "é proporcional a". Você também pode ter proporção a um quadrado, raiz quadrada, cubo ou raiz cúbica.

Exemplo resolvido. $y$ está em proporção direta com $x$, e vale $y = 12$ quando $x = 3$. Encontre $y$ quando $x = 7$.

Primeiro encontre $k$: $12 = k \times 3$, então $k = 4$ e $y = 4x$. Depois $y = 4 \times 7 = 28$.

A inclinação 斜率 (declividade) de um gráfico mostra uma taxa de variação 变化率.

• Um gráfico de viagem 行程图 (gráfico distância-tempo) tem inclinação igual à velocidade; uma parte plana significa que o objeto não está se movendo.
• Um gráfico de conversão 换算图 é uma linha reta usada para converter entre duas unidades (por exemplo, milhas e quilômetros).

Gráficos velocidade-tempo (Estendido)

Em um gráfico velocidade-tempo, a inclinação é a aceleração 加速度 (ou desaceleração 减速度 se a velocidade cair), e a área 面积 sob o gráfico é a distância 距离 percorrida.

Exemplo resolvido. Um carro acelera do repouso até $20\text{ m/s}$ em $8\text{ s}$, depois mantém-se a $20\text{ m/s}$ por $12\text{ s}$. Encontre a aceleração e a distância total.

Aceleração $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. A distância é a área: um triângulo mais um retângulo,

Para desenhar um gráfico, faça uma tabela de valores 数值表: escolha valores de $x$, calcule $y$, depois plote as coordenadas 坐标 e una-os com uma curva suave.

Os pontos onde um gráfico cruza o eixo $x$ (o eixo horizontal eixo 坐标轴) são as raízes 根 — as soluções de $y = 0$.

Você pode resolver uma equação lendo um gráfico. O ponto de interseção 交点 de uma linha e uma curva fornece a solução das duas equações juntas.

Para crescimento exponencial 指数增长 e decaimento exponencial 指数衰减, o gráfico de $y = a\,b^{x} + c$ sobe (ou desce) cada vez mais rápido e achata-se em direção a uma linha horizontal.

Um esboço rápido deve mostrar a forma correta e os recursos-chave: onde cruza os eixos, qualquer simetria 对称, e qualquer linha a qual a curva se aproxima.

Para uma parábola, a completação de quadrado dá o ponto de virada 转折点 (o ponto mais baixo ou mais alto). Por exemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tem seu ponto de virada em $(-3, -8)$.

Uma assíntota 渐近线 é uma linha que a curva se aproxima cada vez mais, mas nunca toca — por exemplo, o eixo $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, ou a linha $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.

Diferenciação 微分 encontra a inclinação de uma curva em qualquer ponto. Você pode estimá-la desenhando uma tangente 切线 (uma linha que apenas toca a curva) e medindo sua inclinação.

A regra exata: se $y = ax^{n}$, então a derivada 导数是

Diferencie uma soma termo a termo.

Exemplo resolvido. Se $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, então $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Um ponto estacionário 驻点 (ponto de virada) é onde a inclinação é zero, então defina $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Exemplo resolvido. Encontre o ponto de virada de $y = x^{2} - 6x + 5$.

O ponto de virada é $(3, -4)$. Para decidir se um ponto de virada é um máximo 最大值 ou um mínimo 最小值, verifique o sinal da inclinação em cada lado, ou use a segunda derivada (positivo significa mínimo).

Uma função 函数 transforma cada entrada em uma saída. Escrevemos $f(x)$, por exemplo $f(x) = 3x - 5$, então $f(2) = 1$. O conjunto de entradas permitidas é o domínio 定义域; o conjunto de saídas possíveis é o contradomínio 值域.

A função inversa 反函数 $f^{-1}(x)$ desfaz a função. Para encontrá-la, escreva $y = f(x)$, troque os papéis e isole $x$.

Exemplo resolvido. Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 5$.

Uma função composta 复合函数 aplica uma função após outra: $gf(x)$ significa "faça $f$ primeiro, depois $g$".

Exemplo resolvido. Se $f(x) = 2x$ e $g(x) = x + 3$, então

• Ao expandir colchetes, multiplique todos os termos e preste atenção aos sinais, especialmente com um sinal de menos na frente: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Para resolver uma equação, faça a mesma coisa em ambos os lados. Quando você multiplica ou divide uma desigualdade por um número negativo, virte o sinal.
• Fatorar completamente: tire primeiro o maior fator comum, depois procure uma diferença de dois quadrados ou um padrão quadrático.
• Uma equação quadrática geralmente tem duas soluções — forneça ambas. Verifique se a questão pede fatoração, a fórmula ou completação de quadrado.
• Ao substituir em uma fórmula, coloque cada valor entre parênteses primeiro, para que os sinais e potências saiam corretos.