Álgebra e gráficos

Na álgebra, usamos letras para representar números. Uma letra cujo valor pode variar é uma variável. Substituir significa colocar um número no lugar de uma letra.

Exemplo resolvido. Encontre o valor de $3x^{2} - 2y$ quando $x = 4$ e $y = 5$.

Um termo é uma parte individual de uma expressão, como $5a$ ou $-9b$. Termos semelhantes têm as mesmas letras elevadas às mesmas potências; você pode somá-los ou subtraí-los. O número à frente da letra é o coeficiente.

Exemplo resolvido. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Junte termos semelhantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Portanto a resposta é

Expandir significa multiplicar os parênteses. Multiplique cada termo dentro pelo termo de fora; para dois parênteses, multiplique cada termo do primeiro por cada termo do segundo.

Exemplos resolvidos.

Erros comuns. Multiplicar apenas o primeiro termo dentro dos parênteses ($3(x + 4) = 3x + 12$, não $3x + 4$), perder um sinal de menos ($-2(x - 5) = -2x + 10$) e escrever $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$. Elevar um parênteses ao quadrado resulta em três termos: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$.

Para três parênteses (Estendido), expanda dois primeiro, depois multiplique pelo terceiro:

Fatorar é o oposto de expandir: escreva a expressão como um produto de parênteses. Sempre retire o fator comum primeiro.

Exemplo resolvido. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos os termos.

Os seguintes padrões são Estendidos.

Agrupamento (quatro termos): tire um fator comum de cada par.

Diferença de dois quadrados: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Quadrado perfeito: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expressões quadráticas $ax^{2} + bx + c$: encontre dois números que multipliquem para dar $a \times c$ e somem para dar $b$, depois separe o termo do meio.

Exemplo resolvido. Fatore $2x^{2} + 7x + 3$.

Aqui $a \times c = 6$ e $b = 7$. Os números $1$ e $6$ funcionam. Separe e agrupe:

Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, extraia primeiro o $x$ comum: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Completando o quadrado reescreve $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Pegue metade do coeficiente de $x$, eleve ao quadrado e equilibre.

Exemplo resolvido. Escreva $x^{2} + 6x + 1$ na forma de quadrado completo.

Metade de $6$ é $3$, e $3^{2} = 9$:

Quando o $x^{2}$ tem um coeficiente, tire-o dos primeiros dois termos primeiro:

Uma fração algébrica tem álgebra no numerador ou denominador. Some e subtraia usando um denominador comum; multiplique e divida como com frações comuns.

Exemplos resolvidos.

Para simplificar uma expressão racional, fatore o numerador e o denominador, depois cancele os parênteses comuns.

As leis dos índices funcionam também com letras: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ e $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Exemplos resolvidos.

Você também pode resolver equações simples de índices escrevendo ambos os lados com a mesma base.

Exemplo resolvido. Resolva $2^{x} = 32$. Como $32 = 2^{5}$, você obtém $x = 5$.

Uma equação afirma que duas expressões são iguais. Para resolver uma equação linear, faça a mesma operação em ambos os lados até que a incógnita fique sozinha.

Exemplo resolvido. Resolva $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Erro comum. Passar um termo para o outro lado do sinal de igualdade sem trocar seu sinal. Em vez disso, faça a mesma operação nos dois lados: “subtrair $21$ dos dois lados” torna a mudança de sinal automática.

Equações fracionárias (Estendido)

Uma equação fracionária tem a incógnita no denominador. Multiplique ambos os lados pelo denominador para eliminá-lo.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Equações simultâneas

Sistemas de equações simultâneas são duas equações resolvidas juntas. Para duas equações lineares, some ou subtraia para eliminar uma letra.

Exemplo resolvido. Resolva $2x + y = 7$ e $3x - y = 8$.

Somar remove $y$: $5x = 15$, logo $x = 3$. Então $y = 7 - 2(3) = 1$.

Para uma equação linear e uma quadrática (Estendido), substitua a linear na curva.

Exemplo resolvido. Resolva $y = x + 2$ e $y = x^{2}$.

então $x = 2$ (dando $y = 4$) ou $x = -1$ (dando $y = 1$).

Resolvendo equações quadráticas (Estendido)

Existem três métodos.

• Por fatoração: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = -3$.
• Por completação de quadrado: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Pela fórmula quadrática, que é fornecida na prova:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Exemplo resolvido (fórmula). Resolva $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aqui $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Isolando uma variável

Isolar uma variável (ou mudar o assunto) de uma fórmula significa reorganizá-la para que uma letra escolhida fique sozinha de um lado.

Exemplo resolvido. Isolare $r$ em $A = \pi r^{2}$ (Estendido, devido ao expoente).

Quando a letra aparece duas vezes (Estendido), agrupe esses termos e fatore. Para isolar $x$ em $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Uma inequação usa $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. Resolva-a como uma equação, mas inverte o sinal se multiplicar ou dividir por um número negativo.

Exemplo resolvido. Resolva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Some $2$ a todas as partes, depois divida por $3$:

Exemplo resolvido. Resolva $5 - 2x > 11$.

Dividir por $-2$ inverte o sinal. Verifique com $x = -4$: $5 + 8 = 13 > 11$, que está correto.

Erro comum. Esquecer de inverter o sinal ao dividir por um número negativo, o que resultaria na resposta errada $x > -3$ aqui.

Exemplo resolvido (soluções inteiras). Liste os números inteiros $n$ que satisfazem $-3 \leqslant 2n + 1 < 9$.

Subtraia $1$: $-4 \leqslant 2n < 8$. Divida por $2$: $-2 \leqslant n < 4$. Portanto, $n = -2, -1, 0, 1, 2, 3$. O extremo $-2$ está incluído ($\leqslant$), mas $4$ não está ($<$).

Em uma reta numérica, use um círculo aberto para $<$ ou $>$ (valor não incluído) e um círculo fechado para $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valor incluído).

Regiões (Estendido)

Uma desigualdade em duas variáveis descreve uma região do gráfico. Desenhe a linha de fronteira (tracejada para $<$ ou $>$, contínua para $\leqslant$ ou $\geqslant$) e sombreie o lado indesejado. Você também pode ser solicitado a listar as desigualdades que definem uma dada região.

Exemplo resolvido. Em uma malha quadriculada, mostre a região R que satisfaz $y \geqslant 1$, $x + y \leqslant 6$ e $y \leqslant 2x$. Quantos pontos em R têm coordenadas inteiras não negativas?

Desenhe cada fronteira como uma linha contínua, pois todos os sinais incluem “igual a”. Encontre o lado desejado com um ponto de teste que não esteja na linha, como $(3, 2)$: $2 \geqslant 1$, $3 + 2 = 5 \leqslant 6$ e $2 \leqslant 6$ são todas verdadeiras, então $(3, 2)$ está em R. Sombreie o outro lado de cada linha.

Conte linha por linha, incluindo os pontos sobre as retas, pois os três sinais incluem a igualdade: $5$ pontos em $y = 1$, $4$ em $y = 2$, $2$ em $y = 3$ e $1$ em $y = 4$, totalizando $12$ pontos. Se um sinal fosse $<$ ou $>$, a linha seria tracejada e os pontos sobre ela não seriam contados.

Uma sequência é uma lista de números que seguem uma regra. A regra termo-a-termo indica como obter o próximo termo a partir do anterior.

Para encontrar a regra para o termo na posição $n$ (o $n$th termo), observe como os termos mudam.

Sequência linear (os termos aumentam na mesma quantidade cada vez). A diferença é o múltiplo de $n$.

Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 8, 11, \dots$

Os termos aumentam em $3$, então comece com $3n$. Como $3 \times 1 = 3$ mas o primeiro termo é $2$, subtraia $1$: o $n$th termo é $3n - 1$.

Sequência quadrática (as diferenças em si mudam na mesma quantidade). A segunda diferença é igual a $2 \times$ o coeficiente de $n^{2}$.

Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 10, 17, \dots$

As primeiras diferenças são $3, 5, 7$; a segunda diferença é $2$, então a parte $n^{2}$ é $1n^{2}$. Subtraindo $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) da sequência sobra $1, 1, 1, 1$. Então o $n$th termo é $n^{2} + 1$.

Uma sequência cúbica como $1, 8, 27, 64, \dots$ tem seu $n$-ésimo termo igual a $n^{3}$. Uma sequência exponencial como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por um número fixo a cada passo; aqui, o $n$-ésimo termo é $2 \times 3^{\,n-1}$.

Duas grandezas estão em proporção direta se uma é sempre um múltiplo fixo da outra: $y \propto x$ significa $y = kx$, em que $k$ é uma constante. Elas estão em proporção inversa se seu produto é constante: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. O símbolo $\propto$ é lido como “é proporcional a”. Também pode haver proporção com um quadrado, uma raiz quadrada, um cubo ou uma raiz cúbica.

Exemplo resolvido. $y$ está em proporção direta com $x$, e vale $y = 12$ quando $x = 3$. Encontre $y$ quando $x = 7$.

Primeiro encontre $k$: $12 = k \times 3$, então $k = 4$ e $y = 4x$. Depois $y = 4 \times 7 = 28$.

Exemplo resolvido (inverso do quadrado). $y$ é inversamente proporcional a $x^{2}$, e $y = 5$ quando $x = 2$. Encontre $y$ quando $x = 4$ e encontre $x$ quando $y = 0.2$ ($x > 0$).

Escreva $y = \dfrac{k}{x^{2}}$. Então $5 = \dfrac{k}{4}$, portanto $k = 20$ e $y = \dfrac{20}{x^{2}}$. Quando $x = 4$: $y = 20 \div 16 = 1.25$. Quando $y = 0.2$: $x^{2} = 20 \div 0.2 = 100$, portanto $x = 10$. Verifique o padrão: dobrar $x$ divide $y$ por $2^{2} = 4$, e $5 \div 4 = 1.25$.

A inclinação (íngremeza) de um gráfico mostra uma taxa de variação.

• Um gráfico de deslocamento (distância-tempo) tem inclinação igual à velocidade; uma parte plana indica que o objeto está parado.
• Um gráfico de conversão é uma linha reta usada para alternar entre duas unidades (por exemplo, milhas e quilômetros).

Exemplo resolvido (uma viagem). Lena pedala $12$ km de casa até um lago em $40$ minutos, descansa lá por $20$ minutos e depois volta para casa de bicicleta em $30$ minutos. Encontre sua velocidade em cada trecho em km/h e sua velocidade média para toda a viagem.

Primeiro, converta minutos em horas: $40$ min $= \tfrac{2}{3}$ h e $30$ min $= \tfrac{1}{2}$ h. Ida: $12 \div \tfrac{2}{3} = 18$ km/h. Descanso: $0$ km/h (uma linha horizontal). Volta: $12 \div \tfrac{1}{2} = 24$ km/h; a linha desce e é mais inclinada. Velocidade média $=$ distância total $\div$ tempo total $= 24 \div 1.5 = 16$ km/h. O descanso conta no tempo total.

Gráficos velocidade-tempo (Estendido)

Em um gráfico de velocidade-tempo, a inclinação é a aceleração (ou desaceleração se a velocidade cair), e a área sob o gráfico é a distância percorrida.

Exemplo resolvido. Um carro acelera do repouso até $20\text{ m/s}$ em $8\text{ s}$, depois mantém-se a $20\text{ m/s}$ por $12\text{ s}$. Encontre a aceleração e a distância total.

Aceleração $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. A distância é a área: um triângulo mais um retângulo,

Para desenhar um gráfico, faça uma tabela de valores: escolha valores de $x$, calcule $y$, depois marque as coordenadas e ligue-as com uma curva suave.

Os pontos onde um gráfico cruza o eixo $x$ (o eixo horizontal) são as raízes — as soluções de $y = 0$.

Você pode resolver uma equação lendo um gráfico. O ponto de interseção de uma reta e uma curva fornece a solução das duas equações juntas.

Para crescimento exponencial e decaimento exponencial, considere $y = a\,b^{x} + c$ com $a>0$ e $b>0$, $b\ne1$. Se $b>1$, o gráfico cresce conforme $x$ aumenta e se aproxima de $y=c$ quando $x$ diminui. Se $0<b<1$, ele decai em direção a $y=c$ conforme $x$ aumenta.

Um esboço rápido deve mostrar a forma correta e os recursos principais: onde cruza os eixos, qualquer simetria e qualquer linha à qual a curva se aproxima.

Para uma parábola, completar o quadrado dá o ponto de virada (ponto mais baixo ou mais alto). Por exemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tem seu ponto de virada em $(-3, -8)$.

Uma assíntota é uma linha que a curva se aproxima em um limite especificado. Uma curva pode cruzar uma assíntota horizontal em outro lugar. Nestes exemplos, a curva não encontra a linha especificada — por exemplo, o eixo $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, ou a linha $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.

Diferenciação encontra a inclinação de uma curva onde essa inclinação existe. Você pode estimá-la desenhando uma tangente (uma linha que toca a curva apenas em um ponto) e medindo sua inclinação.

A regra exata: se $y = ax^{n}$, então a derivada é

Diferencie uma soma termo a termo.

Exemplo resolvido. Se $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, então $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Um ponto estacionário é onde a inclinação é zero. Não precisa ser um ponto de mudança de direção: $y=x^3$ continua aumentando através de seu ponto estacionário na origem. Para encontrar pontos estacionários, iguale $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$ a zero.

Exemplo resolvido. Encontre o ponto de virada de $y = x^{2} - 6x + 5$.

O ponto de virada é $(3, -4)$. Para determinar se um ponto de virada é um máximo ou um mínimo, verifique o sinal da inclinação em cada lado ou use a segunda derivada (positivo indica um mínimo).

Exemplo resolvido (uma função cúbica). Para $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2$, encontre a inclinação em $x = 2$, depois encontre os pontos de mudança de direção e determine qual é um máximo.

Em $x = 2$: $3(4) - 12 - 9 = -9$, então a inclinação é $-9$. Para os pontos de mudança de direção, $3x^{2} - 6x - 9 = 0$, então $x^{2} - 2x - 3 = 0$ e $(x - 3)(x + 1) = 0$: $x = 3$ ou $x = -1$. Depois, $y = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$ e $y = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$. A segunda derivada é $\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = 6x - 6$: em $x = 3$ ela é $12 > 0$, então $(3, -25)$ é um mínimo; em $x = -1$ ela é $-12 < 0$, então $(-1, 7)$ é um máximo.

Uma função transforma cada entrada em uma única saída. Escrevemos $f(x)$, por exemplo $f(x) = 3x - 5$, logo $f(2) = 1$. O conjunto de entradas permitidas é o domínio; o conjunto das saídas possíveis é o contradomínio.

A função inversa $f^{-1}(x)$ desfaz a função original. Cada saída deve vir de apenas uma entrada permitida; restrinja o domínio original se necessário. Para encontrá-la, escreva $y = f(x)$, troque os papéis e deixe $x$ como tema.

Exemplo resolvido. Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 5$.

Uma função composta aplica uma função após outra: $gf(x)$ significa “faça $f$ primeiro, depois $g$”.

Exemplo resolvido. Se $f(x) = 2x$ e $g(x) = x + 3$, então

Erros comuns. Fazer a função externa primeiro ($gf(x)$ começa com $f$, a mais próxima de $x$) e confundir $f^{-1}(x)$ com $\dfrac{1}{f(x)}$. Para $f(x) = 3x - 5$, $f^{-1}(1) = 2$ mas $\dfrac{1}{f(1)} = -\dfrac{1}{2}$.

• Ao expandir colchetes, multiplique todos os termos e preste atenção aos sinais, especialmente com um sinal de menos na frente: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Para resolver uma equação, faça a mesma coisa em ambos os lados. Quando você multiplica ou divide uma desigualdade por um número negativo, virte o sinal.
• Fatorar completamente: tire primeiro o maior fator comum, depois procure uma diferença de dois quadrados ou um padrão quadrático.
• Uma equação quadrática geralmente tem duas soluções — forneça ambas. Verifique se a questão pede fatoração, a fórmula ou completação de quadrado.
• Ao substituir em uma fórmula, coloque cada valor entre parênteses primeiro, para que os sinais e potências saiam corretos.