Matemática do IGCSE

Você deve saber as palavras para os diferentes tipos de número. Os examinadores dão pontos por usá-los corretamente.

*Cada conjunto está dentro do próximo: todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real. Números irracionais são reais, mas não racionais.

Números de contagem e inteiros

• natural numbers 自然数 — os números de contagem $1, 2, 3, 4, \dots$
• integers 整数 — números inteiros, positivos, negativos ou zero: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Fatores e múltiplos

• Um fator 因数 de um número divide-o exatamente, sem deixar resto 余数. Os fatores de $18$ são $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
• Um multiple 倍数 de um número é esse número multiplicado por um inteiro. Múltiplos de $6$ são $6, 12, 18, 24, \dots$
• Um common factor 公因数 de dois números é um fator de ambos.
• Um common multiple 公倍数 de dois números é um múltiplo de ambos.

Números primos, quadrados e cúbicos

• Um prime number 质数 tem exatamente dois fatores: $1$ e ele mesmo. Os primeiros primos são $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ Note que $1$ não é primo.
• Um square number 平方数是 um número inteiro vezes ele mesmo: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• Um cube number 立方数 usa um número inteiro três vezes: $1, 8, 27, 64, \dots$

Racional, irracional e recíproco

• Um rational number 有理数 pode ser escrito como uma fraction 分数 $\frac{a}{b}$ de dois inteiros. Exemplos: $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
• Um irrational number 无理数 não pode ser escrito dessa forma. Exemplos: $\pi$ e $\sqrt{2}$.
• O recíproco 倒数 de um número é $1$ dividido por esse número. O recíproco de $4$ é $\frac{1}{4}$; o recíproco de $0.25$ é $4$; o recíproco de $\frac{2}{3}$ é $\frac{3}{2}$.

Fatores primos, MDC e MMC

Todo inteiro acima de $1$ é primo ou pode ser escrito como um produto 乘积 de números primos. Para escrever um número como um produto de seus prime factors 质因数, continue dividindo pelo menor primo que couber.

Exemplo resolvido. Escreva $72$ como um produto de seus fatores primos.

O highest common factor (HCF) 最大公因数 de dois números é o maior fator que eles compartilham. O lowest common multiple (LCM) 最小公倍数 é o menor múltiplo que eles compartilham. Fatores primos fornecem um método rápido.

Exemplo resolvido. Encontre o HCF e LCM de $72$ e $120$.

Primeiro, escreva cada um como um produto de primos:

• HCF: pegue a potência mais baixa de cada primo que aparece em ambos: $2^{3} \times 3 = 24$.
• LCM: pegue a potência mais alta de todos os primos que aparecem: $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.

Um estabelecido 集合 é uma coleção de objetos. Cada objeto no conjunto é um elemento 元素 do conjunto. Você deve conhecer esta notação:

Um Venn diagram 维恩图 desenha cada conjunto como um círculo dentro de um retângulo (o universal set). Core usa dois conjuntos; Extended pode usar três.

Exemplo resolvido. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ e $B = \{3,6,9\}$.
• $A \cap B = \{6\}$ — o único número em ambos.
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — os números em qualquer um dos conjuntos.
• $n(A \cup B) = 7$.

Você também pode ver um conjunto escrito como uma regra, ex. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ significa "todos os valores $x$ tais que $1 \leqslant x \leqslant 5$".

• Uma potência 幂 (também chamada de índice 指数, plural índices) indica quantas vezes multiplicar um número por ele mesmo: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
• A raiz quadrada 平方根 de um número resulta nesse número quando elevado ao quadrado: $\sqrt{169} = 13$ porque $13^{2} = 169$.
• A raiz cúbica 立方根 funciona da mesma forma para cubos: $\sqrt[3]{8} = 2$ porque $2^{3} = 8$.

Você deve ser capaz de recordar os quadrados de $1^2$ a $15^2$ (e suas raízes), e os cubos de $1, 2, 3, 4, 5$ e $10$.

Exemplo resolvido. Calcule $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.

Ao multiplicar ou dividir potências da mesma base 底数, use estas regras:

Algumas potências especiais:

(Potências fracionárias como $a^{\frac{m}{n}}$ são Estendidas.)

Exemplos resolvidos.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

Notação científica 科学记数法 escreve um número como $A \times 10^{n}$, onde $1 \leqslant A < 10$ e $n$ é um inteiro. É usada para números muito grandes ou muito pequenos.

Para converter, conte quantas casas a vírgula se move:

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — a vírgula move-se $6$ casas para a esquerda, então o expoente é positivo.
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — a vírgula move-se $4$ casas para a direita, então o expoente é negativo.

Exemplo resolvido. Calcule $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.

Multiplique os números frontais e some os expoentes:

Um irracional 根式 é uma raiz que é irracional, como $\sqrt{5}$. Deixe na forma exata em vez de arredondar. Duas regras úteis:

Simplifique um irracional retirando o maior fator quadrado.

Exemplo resolvido. Simplifique $\sqrt{20}$ e $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.

Para racionalizar o denominador 分母有理化 significa remover um irracional da parte inferior de uma fração (o denominador 分母). Multiplique o numerador e o denominador por um valor que elimine o irracional.

Exemplo resolvido. Racionalize $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ e $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.

Uma fração tem um numerador 分子 (o topo) e um denominador (a base).

• fração própria 真分数: numerador menor que o denominador, ex. $\frac{3}{4}$.
• fração imprópria 假分数: numerador igual ou maior, ex. $\frac{7}{4}$.
• número misto 带分数: um número inteiro mais uma fração, ex. $1\frac{3}{4}$.

Alterne entre fração imprópria e número misto: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ porque $7 \div 4 = 1$ resto $3$.

Um decimal 小数 usa valor posicional após o ponto. Uma percentagem 百分比 significa "por cada $100$", logo $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.

Conversão entre formas

Escreva uma fração na sua forma mais simples 最简形式 dividindo o topo e o fundo pelo seu MDC: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (ambos divididos por $6$).

Decimais periódicos (Estendido)

Um decimal periódico 循环小数 repete os mesmos dígitos para sempre. Pontos marcam a parte repetida: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ e $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

Para transformar um decimal periódico numa fração, multiplique para alinhar as partes repetidas, depois subtraia.

Exemplo resolvido. Escreva $0.1\dot{7}$ como uma fração.

Seja $x = 0.1777\ldots$ Apenas a $7$ se repete, logo use $10x$ e $100x$:

Ordem das operações

Trabalhe nesta ordem — a ordem das operações 运算顺序: parênteses primeiro, depois índices (potências e raízes), depois multiplicar e dividir (da esquerda para a direita), depois somar e subtrair (da esquerda para a direita).

Exemplo resolvido. Calcule $-6 \times -3 + 7 \times 2$.

Faça as multiplicações primeiro: $-6 \times -3 = 18$ e $7 \times 2 = 14$. Depois some: $18 + 14 = 32$.

Números negativos

• Somar um negativo: $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
• Subtrair um negativo: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Multiplicar ou dividir: sinais iguais dão positivo; sinais diferentes dão negativo. Logo $-6 \times -3 = 18$ mas $-12 \div 4 = -3$.

Uma mudança de temperatura de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ para $3\,{}^{\circ}\text{C}$ é um aumento de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.

Cálculo com frações

• Multiplicar: multiplique os topos, multiplique os fundos: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Dividir: multiplique pelo inverso da segunda fração: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
• Somar ou subtrair: use um denominador comum (o MMC dos fundos).

Exemplo resolvido. Calcule $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, dando a resposta na sua forma mais simples.

Transforme o número misto numa fração imprópria, depois use denominador $15$:

Use estes símbolos para comparar números por magnitude 大小 (tamanho):

Para ordenar uma lista mista, transforme todos os valores num decimal primeiro.

Exemplo resolvido. Ordene $34\%$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{3}{10}$, do menor para o maior.

Como decimais: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Logo a ordem é

Encontre uma porcentagem de um valor. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.

Escreva uma quantia como percentagem de outra. Uma nota de $18$ de $25$ é $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.

Aumento ou diminuição percentual utiliza

Exemplo resolvido. Um preço sobe de $\$40$ até $\$50$. Encontre o aumento percentual.

A variação é $\$10$, so $\frac{10}{40} × 100% = 25%$ aumento.

Uma maneira rápida é usar um multiplicador 乘数. Para aumentar em $15\%$, multiplique por $1.15$; para diminuir em $15\%$, multiplique por $0.85$.

Juros simples e compostos

Juros 利息 é dinheiro pago por emprestar ou poupar. O capital 本金 é o valor inicial.

• Juros simples 单利 paga a mesma quantia todos os anos, calculado apenas no capital:
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  onde $P$ é o capital, $r$ é a taxa anual (como percentagem) e $t$ é o número de anos.
• Juros compostos 复li adiciona os juros de cada ano, logo o próximo ano ganha juros sobre um total maior:
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Exemplo resolvido. Encontre o valor de $\$500$ saved at $4%$ compound interest for $3 anos.

Percentagens inversas (Estendido)

Um problema de percentagem inversa 逆百分比 dá a quantia depois de uma alteração e pede a original. Para resolver, divida pelo multiplicador — não apenas tire a percentagem.

Exemplo resolvido. Um casaco custa $\$60$ after a $20%$ aumento. Encontre o preço original.

$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.

Quando uma quantidade muda na mesma percentagem em cada período de tempo, mostra crescimento exponencial 指数增长 (fica maior) ou decaimento exponencial 指数衰减 (fica menor). Use a fórmula composta. Depreciação 折旧, onde algo como um carro perde valor todos os anos, é decaimento.

Exemplo resolvido. Um carro valendo $\$20 000$ loses $15%$ of its value each year. Find its value after $4 anos.

O multiplicador é $0.85$, logo

Uma proporção 比 compara quantidades, escrita como $a:b$. Simplifique-a como uma fração dividindo pelo MDC: $20:30:40 = 2:3:4$.

Dividir numa proporção. Partilhe $\$48$ in the ratio $3:5$.

O número total de partes é $3 + 5 = 8$. Uma parte é $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 × 6 = \$18$ e $5 \times 6 = \$30$.

Proporção 比例 significa que duas razões são iguais. Use em receitas, escalas 比例尺 de mapas e para encontrar o melhor valor.

Exemplo resolvido. $3$ canetas custam $\$1.80$. Find the cost of $7$ por caneta.

Uma caneta custa $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.

Uma taxa 比率 compara duas quantidades medidas em unidades diferentes, como preço por quilograma ou distância por hora.

Velocidade média 平均速度 usa

Exemplo resolvido. Um ciclista percorre $45\text{ km}$ em $3$ horas $45$ minutos. Encontre a velocidade média.

Primeiro converta o tempo para horas: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Então

Outras taxas funcionam da mesma forma. Densidade 密度 é encontrada a partir de massa 质量 e volume 体积:

Outros exemplos são vazão, consumo de combustível e densidade populacional 人口密度. Se uma taxa precisar de uma fórmula especial (como pressão 压强), a questão a fornecerá.

Arredondamento

• casas decimais (c.d.) 小数位: dígitos contados após a vírgula. $3.14159$ para $2$ c.d. é $3.14$.
• algarismos significativos (a.s.) 有效数字: dígitos contados a partir do primeiro dígito não nulo. $5764$ para $1$ a.s. é $6000$; $0.004067$ para $2$ a.s. é $0.0041$.

Regra: olhe para o próximo dígito. Se for $5$ ou mais, arredonde para cima; se for menor, arredonde para baixo.

Estimativa

Para estimar 估算 uma resposta, arredonde todos os números para $1$ a.s., depois calcule.

Exemplo resolvido. Estime $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.

Um valor arredondado pode realmente ser qualquer coisa que arredonde para ele. O menor valor possível é o limite inferior 下界; o maior é o limite superior 上界. Para um valor arredondado para a unidade mais próxima, os limites ficam meio unidade de cada lado.

Exemplo resolvido. Uma altura $h$ é $635\text{ m}$, correta ao metro mais próximo. Dê os limites.

Então o limite inferior é $634.5\text{ m}$ e o limite superior é $635.5\text{ m}$.

Limites em cálculos (Estendido)

Combine os limites para obter o limite desejado.

Exemplo resolvido. Um retângulo é $8\text{ cm}$ por $5\text{ cm}$, cada lado até o centímetro mais próximo. Encontre a área 面积 máxima possível.

Use os limites superiores de ambos os lados: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (A área mínima usa os limites inferiores: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)

Para uma quantidade dividida como $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, a maior velocidade vem da maior distância dividida pelo menor tempo.

• $60$ segundos $= 1$ minuto, $60$ minutos $= 1$ hora, $24$ horas $= 1$ dia, e $1$ ano $= 365$ dias.
• O relógio de 24 horas escreve um horário como quatro algarismos: $3.15$ p.m. é $15\,15$.

Exemplo resolvido. Um filme começa às $19\,35$ e dura $70$ minutos. Encontre a hora em que termina.

$70$ min $= 1$ h $10$ min. Somar $1$ hora dá $20\,35$; somar $10$ minutos dá $20\,45$.

Para horários e problemas de fusos horários 时区, some ou subtraia a diferença de tempo entre os lugares.

Trabalhe com dinheiro como decimais comuns, mas dê respostas com $2$ casas decimais (portanto $\$4.8$ is written $\$4.80$).

Conversão de moeda. Use a taxa de câmbio 汇率 como multiplicador.

Exemplo resolvido. A taxa de câmbio é $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ em euros, e converta $€138$ de volta para dólares.

• Não arredonde durante o cálculo. Mantenha o valor completo e arredonde apenas a resposta final.
• Insira o tempo como decimal de uma hora: $2$ horas $30$ minutos é $2.5$ horas, não $2.30$.
• Leia o visor no contexto: em dinheiro, $4.8$ significa $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ minutos.

• Siga a BIDMAS (parênteses, índices, divisão/multiplicação, adição/subtração) na ordem, e lembre-se que negativo vezes negativo é positivo.
• Na notação científica, o número à frente está entre 1 e 10; um número pequeno (como $0.0004$) tem uma potência negativa de 10.
• Uma variação percentual é calculada sobre o valor original. Para porcentagem reversa, divida pelo multiplicador (ex. $\div 1.2$ desfaz um aumento de $20\%$).
• Não arredonde durante o cálculo — mantenha o valor completo e arredonde apenas no final, com a precisão que a questão pede (casas decimais ou algarismos significativos).
• Para limites de precisão, um valor arredondado para o inteiro mais próximo pode variar até $0.5$ de cada lado (portanto $8$ significa $7.5 \le x < 8.5$).

Na álgebra 代数 usamos letras para representar números. Uma letra cujo valor pode mudar é uma variável 变量. Substituir 代入 significa colocar um número no lugar de uma letra.

Exemplo resolvido. Encontre o valor de $3x^{2} - 2y$ quando $x = 4$ e $y = 5$.

Um termo 项 é uma parte única de uma expressão 表达式, como $5a$ ou $-9b$. Termos semelhantes 同类项 têm exatamente as mesmas letras; você pode somá-los ou subtraí-los. O número à frente da letra é o coeficiente 系数.

Exemplo resolvido. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Junte termos semelhantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Portanto a resposta é

Para expandir 展开 significa multiplicar fora dos parênteses 括号. Multiplique cada termo dentro pelo termo de fora; para dois parênteses, multiplique cada termo do primeiro por cada termo do segundo.

Exemplos resolvidos.

Para três parênteses (Estendido), expanda dois primeiro, depois multiplique pelo terceiro:

Fatorar 因式分解 é o oposto de expandir: escreva a expressão como um produto de parênteses. Sempre tire primeiro o fator comum 公因式.

Exemplo resolvido. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos os termos.

Os seguintes padrões são Estendidos.

Agrupamento (quatro termos): tire um fator comum de cada par.

Diferença de quadrados 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Quadrado perfeito 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expressões quadráticas 二次 $ax^{2} + bx + c$: encontre dois números que multipliquem para dar $a \times c$ e somem para dar $b$, então separe o termo do meio.

Exemplo resolvido. Fatore $2x^{2} + 7x + 3$.

Aqui $a \times c = 6$ e $b = 7$. Os números $1$ e $6$ funcionam. Separe e agrupe:

Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, extraia primeiro o $x$ comum: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Completando o quadrado 配方法 reescreve $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Tire metade do coeficiente de $x$, eleve ao quadrado, depois equilibre.

Exemplo resolvido. Escreva $x^{2} + 6x + 1$ na forma de quadrado completo.

Metade de $6$ é $3$, e $3^{2} = 9$:

Quando o $x^{2}$ tem um coeficiente, tire-o dos primeiros dois termos primeiro:

Uma fração algébrica 分式 tem álgebra no numerador ou denominador. Some e subtraia usando um denominador comum; multiplique e divida como com frações comuns.

Exemplos resolvidos.

Para simplificar uma expressão racional 有理式, fatore o numerador e o denominador, depois cancele os parênteses comuns.

As leis dos expoentes 指数 funcionam com letras também: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, e $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Exemplos resolvidos.

Você também pode resolver equações de índice simples escrevendo ambos os lados com a mesma base 底数.

Exemplo resolvido. Resolva $2^{x} = 32$. Como $32 = 2^{5}$, você obtém $x = 5$.

Uma equação 方程 diz que duas expressões são iguais. Para resolver uma equação linear 一次, faça a mesma operação nos dois lados até que o incógnita 未知数 fique sozinha.

Exemplo resolvido. Resolva $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Equações fracionárias (Estendido)

Uma equação fracionária 分式方程 tem a incógnita em um denominador. Multiplique ambos os lados pelo denominador para eliminá-lo.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Equações simultâneas

Equações simultâneas 联立方程 são duas equações resolvidas juntas. Para duas equações lineares, some ou subtraia para eliminar uma letra.

Exemplo resolvido. Resolva $2x + y = 7$ e $3x - y = 8$.

Somar remove $y$: $5x = 15$, logo $x = 3$. Então $y = 7 - 2(3) = 1$.

Para uma equação linear e uma quadrática (Estendido), substitua a linear na curva.

Exemplo resolvido. Resolva $y = x + 2$ e $y = x^{2}$.

então $x = 2$ (dando $y = 4$) ou $x = -1$ (dando $y = 1$).

Resolvendo equações quadráticas (Estendido)

Existem três métodos.

• Por fatoração: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = -3$.
• Por completação de quadrado: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Pela fórmula resolvente 求根公式, que é fornecida na prova:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Exemplo resolvido (fórmula). Resolva $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aqui $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Isolando uma variável

Para isolar uma variável 公式变形 de uma fórmula significa reorganizá-la para que uma letra escolhida fique sozinha de um lado.

Exemplo resolvido. Isolare $r$ em $A = \pi r^{2}$ (Estendido, devido ao expoente).

Quando a letra aparece duas vezes (Estendido), agrupe esses termos e fatore. Para isolar $x$ em $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Uma desigualdade 不等式 usa $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. Resolva-a como uma equação, mas inverta o sinal se multiplicar ou dividir por um número negativo.

Exemplo resolvido. Resolva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Some $2$ a todas as partes, depois divida por $3$:

Em uma reta numérica 数轴, use um círculo aberto para $<$ ou $>$ (valor não incluído) e um círculo fechado para $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valor incluído).

Regiões (Estendido)

Uma desigualdade em duas letras descreve uma região 区域 do gráfico. Desenhe a linha limite (tracejada para $<$ ou $>$, sólida para $\leqslant$ ou $\geqslant$) e sombree o lado indesejado. Você também pode ser solicitado a listar as desigualdades que definem uma região dada.

Uma sequência 数列 é uma lista de números que seguem uma regra. A regra termo a termo 递推规则 diz como obter o próximo termo a partir do anterior.

Para encontrar a regra para o termo na posição $n$ (o $n$th termo), observe como os termos mudam.

Sequência linear (os termos aumentam na mesma quantidade cada vez). A diferença é o múltiplo de $n$.

Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 8, 11, \dots$

Os termos aumentam em $3$, então comece com $3n$. Como $3 \times 1 = 3$ mas o primeiro termo é $2$, subtraia $1$: o $n$th termo é $3n - 1$.

Sequência quadrática (as diferenças em si mudam na mesma quantidade). A segunda diferença é igual a $2 \times$ o coeficiente de $n^{2}$.

Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 10, 17, \dots$

As primeiras diferenças são $3, 5, 7$; a segunda diferença é $2$, então a parte $n^{2}$ é $1n^{2}$. Subtraindo $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) da sequência sobra $1, 1, 1, 1$. Então o $n$th termo é $n^{2} + 1$.

Uma sequência cúbica 三次 como $1, 8, 27, 64, \dots$ tem o $n$-ésimo termo $n^{3}$. Uma sequência exponencial 指数数列 como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por um número fixo a cada vez; aqui o $n$-ésimo termo é $2 \times 3^{\,n-1}$.

Duas quantidades estão em proporção direta 正比例 se uma for sempre um múltiplo fixo da outra: $y \propto x$ significa $y = kx$, onde $k$ é uma constante 常数. Elas estão em proporção inversa 反比例 se uma aumenta à medida que a outra diminui: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. O símbolo $\propto$ é lido "é proporcional a". Você também pode ter proporção a um quadrado, raiz quadrada, cubo ou raiz cúbica.

Exemplo resolvido. $y$ está em proporção direta com $x$, e vale $y = 12$ quando $x = 3$. Encontre $y$ quando $x = 7$.

Primeiro encontre $k$: $12 = k \times 3$, então $k = 4$ e $y = 4x$. Depois $y = 4 \times 7 = 28$.

A inclinação 斜率 (declividade) de um gráfico mostra uma taxa de variação 变化率.

• Um gráfico de viagem 行程图 (gráfico distância-tempo) tem inclinação igual à velocidade; uma parte plana significa que o objeto não está se movendo.
• Um gráfico de conversão 换算图 é uma linha reta usada para converter entre duas unidades (por exemplo, milhas e quilômetros).

Gráficos velocidade-tempo (Estendido)

Em um gráfico velocidade-tempo, a inclinação é a aceleração 加速度 (ou desaceleração 减速度 se a velocidade cair), e a área 面积 sob o gráfico é a distância 距离 percorrida.

Exemplo resolvido. Um carro acelera do repouso até $20\text{ m/s}$ em $8\text{ s}$, depois mantém-se a $20\text{ m/s}$ por $12\text{ s}$. Encontre a aceleração e a distância total.

Aceleração $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. A distância é a área: um triângulo mais um retângulo,

Para desenhar um gráfico, faça uma tabela de valores 数值表: escolha valores de $x$, calcule $y$, depois plote as coordenadas 坐标 e una-os com uma curva suave.

Os pontos onde um gráfico cruza o eixo $x$ (o eixo horizontal eixo 坐标轴) são as raízes 根 — as soluções de $y = 0$.

Você pode resolver uma equação lendo um gráfico. O ponto de interseção 交点 de uma linha e uma curva fornece a solução das duas equações juntas.

Para crescimento exponencial 指数增长 e decaimento exponencial 指数衰减, o gráfico de $y = a\,b^{x} + c$ sobe (ou desce) cada vez mais rápido e achata-se em direção a uma linha horizontal.

Um esboço rápido deve mostrar a forma correta e os recursos-chave: onde cruza os eixos, qualquer simetria 对称, e qualquer linha a qual a curva se aproxima.

Para uma parábola, a completação de quadrado dá o ponto de virada 转折点 (o ponto mais baixo ou mais alto). Por exemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tem seu ponto de virada em $(-3, -8)$.

Uma assíntota 渐近线 é uma linha que a curva se aproxima cada vez mais, mas nunca toca — por exemplo, o eixo $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, ou a linha $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.

Diferenciação 微分 encontra a inclinação de uma curva em qualquer ponto. Você pode estimá-la desenhando uma tangente 切线 (uma linha que apenas toca a curva) e medindo sua inclinação.

A regra exata: se $y = ax^{n}$, então a derivada 导数是

Diferencie uma soma termo a termo.

Exemplo resolvido. Se $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, então $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Um ponto estacionário 驻点 (ponto de virada) é onde a inclinação é zero, então defina $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Exemplo resolvido. Encontre o ponto de virada de $y = x^{2} - 6x + 5$.

O ponto de virada é $(3, -4)$. Para decidir se um ponto de virada é um máximo 最大值 ou um mínimo 最小值, verifique o sinal da inclinação em cada lado, ou use a segunda derivada (positivo significa mínimo).

Uma função 函数 transforma cada entrada em uma saída. Escrevemos $f(x)$, por exemplo $f(x) = 3x - 5$, então $f(2) = 1$. O conjunto de entradas permitidas é o domínio 定义域; o conjunto de saídas possíveis é o contradomínio 值域.

A função inversa 反函数 $f^{-1}(x)$ desfaz a função. Para encontrá-la, escreva $y = f(x)$, troque os papéis e isole $x$.

Exemplo resolvido. Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 5$.

Uma função composta 复合函数 aplica uma função após outra: $gf(x)$ significa "faça $f$ primeiro, depois $g$".

Exemplo resolvido. Se $f(x) = 2x$ e $g(x) = x + 3$, então

• Ao expandir colchetes, multiplique todos os termos e preste atenção aos sinais, especialmente com um sinal de menos na frente: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Para resolver uma equação, faça a mesma coisa em ambos os lados. Quando você multiplica ou divide uma desigualdade por um número negativo, virte o sinal.
• Fatorar completamente: tire primeiro o maior fator comum, depois procure uma diferença de dois quadrados ou um padrão quadrático.
• Uma equação quadrática geralmente tem duas soluções — forneça ambas. Verifique se a questão pede fatoração, a fórmula ou completação de quadrado.
• Ao substituir em uma fórmula, coloque cada valor entre parênteses primeiro, para que os sinais e potências saiam corretos.

Um ponto em um gráfico é descrito por suas coordenadas 坐标, às vezes chamadas de coordenadas cartesianas, escritas $(x, y)$. O primeiro número é o valor horizontal e o segundo é o valor vertical.

• As duas retas numéricas são os eixos 坐标轴: o eixo horizontal 水平 $x$ e o eixo vertical 竖直 $y$.
• Eles se cruzam na origem 原点, o ponto $(0, 0)$.
• Os eixos dividem a grade em quatro quadrantes 象限.

Assim, o ponto $(3, -2)$ é encontrado indo $3$ para a direita e $2$ para baixo.

A maioria das linhas retas pode ser escrita como

onde $m$ é o declive 斜率 (inclinação) e $c$ é o intercepto 截距 — o valor $y$ onde a linha cruza o eixo $y$.

• Uma linha como $x = k$ (por exemplo, $x = 3$) é vertical.
• Uma linha como $y = k$ (por exemplo, $y = 3$) é horizontal.

Uma linha também pode ser dada como $ax + by = c$. Reorganize-a para $y = mx + c$ para ler a inclinação e o intercepto.

Exemplo resolvido. Encontre a inclinação e o intercepto no $y$ de $5x + 4y = 8$.

Portanto, a inclinação é $-\tfrac{5}{4}$ e o intercepto no $y$ é $2$.

A inclinação mede quão íngreme é uma linha:

Uma inclinação positiva sobe para a direita; uma inclinação negativa desce para a direita.

Exemplo resolvido. Encontre a inclinação da linha que passa por $(1, 2)$ e $(4, 11)$.

Para desenhar $y = mx + c$, a maneira mais rápida é:

1. Marque o intercepto $c$ no eixo $y$.
2. Use a inclinação para dar passos até novos pontos (para $m = 3$, vá $1$ para a direita e $3$ para cima).
3. Junte os pontos com uma linha reta.

Você também pode fazer uma pequena tabela de valores 数值表: escolha dois ou três valores de $x$, calcule $y$ e plote os pontos.

Se você souber a inclinação $m$ e um ponto na linha, substitua o ponto em $y = mx + c$ para encontrar $c$.

Exemplo resolvido. Uma linha tem inclinação $3$ e passa por $(1, 2)$. Encontre sua equação.

Portanto, a equação é $y = 3x - 1$. (Se forem dados dois pontos, encontre primeiro a inclinação e depois faça isso.)

Um segmento de reta 线段 é o trecho reto entre dois pontos.

Para encontrar o comprimento 长度 do segmento entre $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, use o teorema de Pitágoras 勾股定理 nas diferenças horizontal e vertical:

Para encontrar o ponto médio 中点 (o ponto exatamente no meio), tire a média das coordenadas:

Exemplo resolvido. Encontre o comprimento e o ponto médio do segmento de $(1, 2)$ a $(4, 6)$.

Linhas paralelas 平行 nunca se encontram, portanto têm a mesma inclinação.

Exemplo resolvido. Encontre a equação da linha paralela a $y = 4x - 1$ que passa por $(1, -3)$.

A inclinação também é $4$. Substitua o ponto:

portanto a linha é $y = 4x - 7$.

Duas linhas são perpendiculares 垂直 se se encontrarem em um ângulo reto 直角. Seus produtos das inclinações resultam em $-1$:

Em palavras: inverta a fração e mude o sinal.

Exemplo resolvido. Encontre a inclinação de uma linha perpendicular a $2y = 3x + 1$.

Reorganize: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, então a inclinação é $\tfrac{3}{2}$. A inclinação perpendicular é $-\tfrac{2}{3}$.

Bissetriz perpendicular

A bissetriz perpendicular 垂直平分线 de um segmento divide-o ao meio em um ângulo reto. Para encontrar sua equação: obtenha o ponto médio e, em seguida, use a inclinação perpendicular que passa por esse ponto médio.

Exemplo resolvido. Encontre a bissetriz perpendicular do segmento que une $(-3, 8)$ e $(9, -2)$.

• Ponto médio: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
• Inclinação do segmento: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
• Inclinação perpendicular: $\frac{6}{5}$.

Passando por $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Portanto, a bissetriz é

• A linha reta é $y = mx + c$: $m$ é a inclinação e $c$ é onde a linha cruza o eixo $y$.
• Inclinação = (alteração em $y$) ÷ (alteração em $x$). Mantenha as duas coordenadas na mesma ordem no topo e na base.
• Linhas paralelas têm a mesma inclinação; linhas perpendiculares têm inclinações que multiplicam-se resultando em $-1$ (o recíproco negativo).
• O ponto médio é a média das coordenadas; a distância entre dois pontos vem de Pitágoras aplicado às diferenças.

Um canto onde duas linhas se encontram é um vértice 顶点. Duas linhas são paralelas 平行 se nunca se encontrarem e perpendiculares 垂直 se se encontrarem em um ângulo reto. Ângulos são nomeados por seu tamanho:

Nomeamos um ângulo com três letras, p. ex., o ângulo $ABC$ é o ângulo em $B$.

Aprenda estes fatos básicos. Cada um é uma razão válida no exame.

• Ângulos em um ponto somam $360^{\circ}$.
• Ângulos em uma linha reta somam $180^{\circ}$.
• Ângulos opostos pelo vértice 对顶角 (formados por duas linhas cruzadas) são iguais.

Exemplo resolvido. Três ângulos em uma linha reta são $x$, $50^{\circ}$ e $70^{\circ}$. Encontre $x$.

Quando uma linha cruza duas linhas paralelas:

• Ângulos correspondentes 同位角 (em posições correspondentes, formato de "F") são iguais.
• Ângulos alternos internos 内错角 (lados opostos da linha transversal, formato de "Z") são iguais.
• Ângulos colaterais internos 同旁内角 (formato de "C") somam $180^{\circ}$; dizemos que eles são suplementares 互补.

Exemplo resolvido. Uma linha reta cruza duas linhas paralelas. Um ângulo é $110^{\circ}$. O ângulo colateral interno $y$ satisfaz $110 + y = 180$, logo $y = 70^{\circ}$.

Um triângulo 三角形 tem três lados e ângulos que somam $180^{\circ}$.

Exemplo resolvido. Um triângulo tem ângulos $x$, $2x$ e $90^{\circ}$. Encontre $x$.

Um quadrilátero 四边形 tem quatro lados e ângulos que somam $360^{\circ}$.

Um polígono 多边形 é uma figura com lados retos. Um polígono regular 正多边形 tem todos os lados e todos os ângulos iguais.

Para um polígono com $n$ lados:

O ângulo interno 内角 e o ângulo externo 外角 em cada canto somam $180^{\circ}$.

Exemplo resolvido. Encontre cada ângulo interno de um hexágono regular.

O ângulo externo é $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, então cada ângulo interno é $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

• Uma figura tem simetria axial 轴对称 se uma linha espelho a divide em duas metades idênticas.
• Uma figura tem simetria rotacional 旋转对称 se ela se sobrepõe a si mesma enquanto você a gira. A ordem é quantas vezes ela se encaixa em uma volta completa.

Para sólidos (Avançado), uma fatia plana que divide o sólido em metades espelhadas é um plano de simetria 对称面, e uma linha ao redor da qual você pode girá-lo é um eixo de simetria 对称轴.

Use-os para encontrar ângulos desconhecidos, sempre fornecendo o motivo.

Para ambos os níveis:

• O ângulo no semicírculo é $90^{\circ}$.
• O ângulo entre uma tangente e um raio é $90^{\circ}$.

Avançado (teoremas I):

• O ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência (sobre o mesmo arco).
• Ângulos no mesmo segmento são iguais.
• Ângulos opostos de um quadrilátero cíclico 圆内接四边形 somam $180^{\circ}$.
• O teorema do segmento alternado 弦切角定理: o ângulo entre uma tangente e uma corda é igual ao ângulo no outro segmento.

Avançado (teoremas II): cordas iguais estão à mesma distância do centro; a mediatriz de uma corda passa pelo centro; duas tangentes de um mesmo ponto externo têm comprimentos iguais.

Exemplo resolvido. A, B, C estão em um círculo. O ângulo na circunferência $ABC$ é $40^{\circ}$. Encontre o ângulo $AOC$ no centro $O$.

O ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Duas figuras são semelhantes 相似 se uma é uma ampliação da outra: mesmos ângulos, e todos os lados multiplicados pelo mesmo fator de escala 比例因子 $k$. (Figuras que são exatamente do mesmo tamanho e forma são congruentes 全等.)

Para figuras e sólidos semelhantes:

Exemplo resolvido. Dois sólidos semelhantes têm comprimentos na razão $2 : 3$. O menor tem volume $40\text{ cm}^{3}$. Encontre o volume do maior.

A razão de volumes é $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. Então o volume maior é $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Um rumbo 方位角 dá uma direção como um ângulo de três algarismos, medido horariamente 顺时针 a partir do norte, de $000^{\circ}$ a $360^{\circ}$. Então leste verdadeiro é $090^{\circ}$ e sul verdadeiro é $180^{\circ}$.

Exemplo resolvido. O rumbo de $B$ de $A$ é $025^{\circ}$. Encontre o rumbo de $A$ de $B$.

O rumbo inverso (de retorno) difere em $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

• Para construir 作图 um triângulo a partir de três lados dados, desenhe a base com uma régua, depois use um par de compassos 圆规 para marcar cada outro lado como um arco. Deixe os arcos de construção visíveis.
• Uma planificação 展开图 é uma figura plana que se dobra para formar um sólido. Você pode usar uma planificação para calcular áreas de superfície.
• Um desenho em escala 比例图 mostra um objeto real menor (ou maior) por uma escala fixa, como $1\text{ cm}$ para $5\text{ m}$.

Sólidos comuns 几何体 e suas partes:

Uma face plana de um sólido é uma face 面, duas faces se encontram em uma aresta 棱, e toda a parte externa é sua superfície 表面.

• Ângulos em uma linha reta somam $180°$, ao redor de um ponto $360°$, e em um triângulo $180°$. Dê um motivo para cada etapa de uma questão de ângulos.
• Aprenda os teoremas do círculo: o ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência; o ângulo no semicírculo é $90°$; ângulos no mesmo segmento são iguais; ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam $180°$.
• Os ângulos externos de qualquer polígono somam $360°$, e cada ângulo interno + seu ângulo externo = $180°$.
• Rumbos são medidos horariamente a partir do norte e sempre escritos com três algarismos (ex. $072°$).

Usamos unidades métricas 公制 para massa 质量 (g, kg), comprimento 长度 (mm, cm, m, km), área 面积, volume 体积 e capacidade 容量 (ml, litros — o espaço dentro de um recipiente).

Para mudar unidades, tenha cuidado com quadrados e cubos:

• Comprimento: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
• Área: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
• Volume: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
• Capacidade: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, então $1\text{ m}^{3} = 1000$ litros.

Exemplo resolvido. Converta $3\text{ m}^{2}$ para $\text{cm}^{2}$.

O perímetro 周长 é a distância total ao redor de uma figura. A área é a quantidade de espaço plano dentro dela. Aqui $b$ é a base 底 e $h$ é a altura 高 perpendicular.

Exemplo resolvido. Um trapézio tem lados paralelos $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e altura $4\text{ cm}$. Encontre sua área.