Número

Você deve saber as palavras para os diferentes tipos de número. Os examinadores dão pontos por usá-los corretamente.

*Cada conjunto está dentro do próximo: todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real. Números irracionais são reais, mas não racionais.

Números de contagem e inteiros

• natural numbers 自然数 — os números de contagem $1, 2, 3, 4, \dots$
• integers 整数 — números inteiros, positivos, negativos ou zero: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Fatores e múltiplos

• Um fator 因数 de um número divide-o exatamente, sem deixar resto 余数. Os fatores de $18$ são $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
• Um multiple 倍数 de um número é esse número multiplicado por um inteiro. Múltiplos de $6$ são $6, 12, 18, 24, \dots$
• Um common factor 公因数 de dois números é um fator de ambos.
• Um common multiple 公倍数 de dois números é um múltiplo de ambos.

Números primos, quadrados e cúbicos

• Um prime number 质数 tem exatamente dois fatores: $1$ e ele mesmo. Os primeiros primos são $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ Note que $1$ não é primo.
• Um square number 平方数是 um número inteiro vezes ele mesmo: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• Um cube number 立方数 usa um número inteiro três vezes: $1, 8, 27, 64, \dots$

Racional, irracional e recíproco

• Um rational number 有理数 pode ser escrito como uma fraction 分数 $\frac{a}{b}$ de dois inteiros. Exemplos: $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
• Um irrational number 无理数 não pode ser escrito dessa forma. Exemplos: $\pi$ e $\sqrt{2}$.
• O recíproco 倒数 de um número é $1$ dividido por esse número. O recíproco de $4$ é $\frac{1}{4}$; o recíproco de $0.25$ é $4$; o recíproco de $\frac{2}{3}$ é $\frac{3}{2}$.

Fatores primos, MDC e MMC

Todo inteiro acima de $1$ é primo ou pode ser escrito como um produto 乘积 de números primos. Para escrever um número como um produto de seus prime factors 质因数, continue dividindo pelo menor primo que couber.

Exemplo resolvido. Escreva $72$ como um produto de seus fatores primos.

O highest common factor (HCF) 最大公因数 de dois números é o maior fator que eles compartilham. O lowest common multiple (LCM) 最小公倍数 é o menor múltiplo que eles compartilham. Fatores primos fornecem um método rápido.

Exemplo resolvido. Encontre o HCF e LCM de $72$ e $120$.

Primeiro, escreva cada um como um produto de primos:

• HCF: pegue a potência mais baixa de cada primo que aparece em ambos: $2^{3} \times 3 = 24$.
• LCM: pegue a potência mais alta de todos os primos que aparecem: $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.

Um estabelecido 集合 é uma coleção de objetos. Cada objeto no conjunto é um elemento 元素 do conjunto. Você deve conhecer esta notação:

Um Venn diagram 维恩图 desenha cada conjunto como um círculo dentro de um retângulo (o universal set). Core usa dois conjuntos; Extended pode usar três.

Exemplo resolvido. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ e $B = \{3,6,9\}$.
• $A \cap B = \{6\}$ — o único número em ambos.
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — os números em qualquer um dos conjuntos.
• $n(A \cup B) = 7$.

Você também pode ver um conjunto escrito como uma regra, ex. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ significa "todos os valores $x$ tais que $1 \leqslant x \leqslant 5$".

• Uma potência 幂 (também chamada de índice 指数, plural índices) indica quantas vezes multiplicar um número por ele mesmo: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
• A raiz quadrada 平方根 de um número resulta nesse número quando elevado ao quadrado: $\sqrt{169} = 13$ porque $13^{2} = 169$.
• A raiz cúbica 立方根 funciona da mesma forma para cubos: $\sqrt[3]{8} = 2$ porque $2^{3} = 8$.

Você deve ser capaz de recordar os quadrados de $1^2$ a $15^2$ (e suas raízes), e os cubos de $1, 2, 3, 4, 5$ e $10$.

Exemplo resolvido. Calcule $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.

Ao multiplicar ou dividir potências da mesma base 底数, use estas regras:

Algumas potências especiais:

(Potências fracionárias como $a^{\frac{m}{n}}$ são Estendidas.)

Exemplos resolvidos.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

Notação científica 科学记数法 escreve um número como $A \times 10^{n}$, onde $1 \leqslant A < 10$ e $n$ é um inteiro. É usada para números muito grandes ou muito pequenos.

Para converter, conte quantas casas a vírgula se move:

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — a vírgula move-se $6$ casas para a esquerda, então o expoente é positivo.
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — a vírgula move-se $4$ casas para a direita, então o expoente é negativo.

Exemplo resolvido. Calcule $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.

Multiplique os números frontais e some os expoentes:

Um irracional 根式 é uma raiz que é irracional, como $\sqrt{5}$. Deixe na forma exata em vez de arredondar. Duas regras úteis:

Simplifique um irracional retirando o maior fator quadrado.

Exemplo resolvido. Simplifique $\sqrt{20}$ e $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.

Para racionalizar o denominador 分母有理化 significa remover um irracional da parte inferior de uma fração (o denominador 分母). Multiplique o numerador e o denominador por um valor que elimine o irracional.

Exemplo resolvido. Racionalize $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ e $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.

Uma fração tem um numerador 分子 (o topo) e um denominador (a base).

• fração própria 真分数: numerador menor que o denominador, ex. $\frac{3}{4}$.
• fração imprópria 假分数: numerador igual ou maior, ex. $\frac{7}{4}$.
• número misto 带分数: um número inteiro mais uma fração, ex. $1\frac{3}{4}$.

Alterne entre fração imprópria e número misto: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ porque $7 \div 4 = 1$ resto $3$.

Um decimal 小数 usa valor posicional após o ponto. Uma percentagem 百分比 significa "por cada $100$", logo $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.

Conversão entre formas

Escreva uma fração na sua forma mais simples 最简形式 dividindo o topo e o fundo pelo seu MDC: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (ambos divididos por $6$).

Decimais periódicos (Estendido)

Um decimal periódico 循环小数 repete os mesmos dígitos para sempre. Pontos marcam a parte repetida: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ e $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

Para transformar um decimal periódico numa fração, multiplique para alinhar as partes repetidas, depois subtraia.

Exemplo resolvido. Escreva $0.1\dot{7}$ como uma fração.

Seja $x = 0.1777\ldots$ Apenas a $7$ se repete, logo use $10x$ e $100x$:

Ordem das operações

Trabalhe nesta ordem — a ordem das operações 运算顺序: parênteses primeiro, depois índices (potências e raízes), depois multiplicar e dividir (da esquerda para a direita), depois somar e subtrair (da esquerda para a direita).

Exemplo resolvido. Calcule $-6 \times -3 + 7 \times 2$.

Faça as multiplicações primeiro: $-6 \times -3 = 18$ e $7 \times 2 = 14$. Depois some: $18 + 14 = 32$.

Números negativos

• Somar um negativo: $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
• Subtrair um negativo: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Multiplicar ou dividir: sinais iguais dão positivo; sinais diferentes dão negativo. Logo $-6 \times -3 = 18$ mas $-12 \div 4 = -3$.

Uma mudança de temperatura de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ para $3\,{}^{\circ}\text{C}$ é um aumento de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.

Cálculo com frações

• Multiplicar: multiplique os topos, multiplique os fundos: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Dividir: multiplique pelo inverso da segunda fração: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
• Somar ou subtrair: use um denominador comum (o MMC dos fundos).

Exemplo resolvido. Calcule $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, dando a resposta na sua forma mais simples.

Transforme o número misto numa fração imprópria, depois use denominador $15$:

Use estes símbolos para comparar números por magnitude 大小 (tamanho):

Para ordenar uma lista mista, transforme todos os valores num decimal primeiro.

Exemplo resolvido. Ordene $34\%$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{3}{10}$, do menor para o maior.

Como decimais: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Logo a ordem é

Encontre uma porcentagem de um valor. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.

Escreva uma quantia como percentagem de outra. Uma nota de $18$ de $25$ é $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.

Aumento ou diminuição percentual utiliza

Exemplo resolvido. Um preço sobe de $\$40$ até $\$50$. Encontre o aumento percentual.

A variação é $\$10$, so $\frac{10}{40} × 100% = 25%$ aumento.

Uma maneira rápida é usar um multiplicador 乘数. Para aumentar em $15\%$, multiplique por $1.15$; para diminuir em $15\%$, multiplique por $0.85$.

Juros simples e compostos

Juros 利息 é dinheiro pago por emprestar ou poupar. O capital 本金 é o valor inicial.

• Juros simples 单利 paga a mesma quantia todos os anos, calculado apenas no capital:
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  onde $P$ é o capital, $r$ é a taxa anual (como percentagem) e $t$ é o número de anos.
• Juros compostos 复li adiciona os juros de cada ano, logo o próximo ano ganha juros sobre um total maior:
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Exemplo resolvido. Encontre o valor de $\$500$ saved at $4%$ compound interest for $3 anos.

Percentagens inversas (Estendido)

Um problema de percentagem inversa 逆百分比 dá a quantia depois de uma alteração e pede a original. Para resolver, divida pelo multiplicador — não apenas tire a percentagem.

Exemplo resolvido. Um casaco custa $\$60$ after a $20%$ aumento. Encontre o preço original.

$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.

Quando uma quantidade muda na mesma percentagem em cada período de tempo, mostra crescimento exponencial 指数增长 (fica maior) ou decaimento exponencial 指数衰减 (fica menor). Use a fórmula composta. Depreciação 折旧, onde algo como um carro perde valor todos os anos, é decaimento.

Exemplo resolvido. Um carro valendo $\$20 000$ loses $15%$ of its value each year. Find its value after $4 anos.

O multiplicador é $0.85$, logo

Uma proporção 比 compara quantidades, escrita como $a:b$. Simplifique-a como uma fração dividindo pelo MDC: $20:30:40 = 2:3:4$.

Dividir numa proporção. Partilhe $\$48$ in the ratio $3:5$.

O número total de partes é $3 + 5 = 8$. Uma parte é $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 × 6 = \$18$ e $5 \times 6 = \$30$.

Proporção 比例 significa que duas razões são iguais. Use em receitas, escalas 比例尺 de mapas e para encontrar o melhor valor.

Exemplo resolvido. $3$ canetas custam $\$1.80$. Find the cost of $7$ por caneta.

Uma caneta custa $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.

Uma taxa 比率 compara duas quantidades medidas em unidades diferentes, como preço por quilograma ou distância por hora.

Velocidade média 平均速度 usa

Exemplo resolvido. Um ciclista percorre $45\text{ km}$ em $3$ horas $45$ minutos. Encontre a velocidade média.

Primeiro converta o tempo para horas: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Então

Outras taxas funcionam da mesma forma. Densidade 密度 é encontrada a partir de massa 质量 e volume 体积:

Outros exemplos são vazão, consumo de combustível e densidade populacional 人口密度. Se uma taxa precisar de uma fórmula especial (como pressão 压强), a questão a fornecerá.

Arredondamento

• casas decimais (c.d.) 小数位: dígitos contados após a vírgula. $3.14159$ para $2$ c.d. é $3.14$.
• algarismos significativos (a.s.) 有效数字: dígitos contados a partir do primeiro dígito não nulo. $5764$ para $1$ a.s. é $6000$; $0.004067$ para $2$ a.s. é $0.0041$.

Regra: olhe para o próximo dígito. Se for $5$ ou mais, arredonde para cima; se for menor, arredonde para baixo.

Estimativa

Para estimar 估算 uma resposta, arredonde todos os números para $1$ a.s., depois calcule.

Exemplo resolvido. Estime $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.

Um valor arredondado pode realmente ser qualquer coisa que arredonde para ele. O menor valor possível é o limite inferior 下界; o maior é o limite superior 上界. Para um valor arredondado para a unidade mais próxima, os limites ficam meio unidade de cada lado.

Exemplo resolvido. Uma altura $h$ é $635\text{ m}$, correta ao metro mais próximo. Dê os limites.

Então o limite inferior é $634.5\text{ m}$ e o limite superior é $635.5\text{ m}$.

Limites em cálculos (Estendido)

Combine os limites para obter o limite desejado.

Exemplo resolvido. Um retângulo é $8\text{ cm}$ por $5\text{ cm}$, cada lado até o centímetro mais próximo. Encontre a área 面积 máxima possível.

Use os limites superiores de ambos os lados: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (A área mínima usa os limites inferiores: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)

Para uma quantidade dividida como $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, a maior velocidade vem da maior distância dividida pelo menor tempo.

• $60$ segundos $= 1$ minuto, $60$ minutos $= 1$ hora, $24$ horas $= 1$ dia, e $1$ ano $= 365$ dias.
• O relógio de 24 horas escreve um horário como quatro algarismos: $3.15$ p.m. é $15\,15$.

Exemplo resolvido. Um filme começa às $19\,35$ e dura $70$ minutos. Encontre a hora em que termina.

$70$ min $= 1$ h $10$ min. Somar $1$ hora dá $20\,35$; somar $10$ minutos dá $20\,45$.

Para horários e problemas de fusos horários 时区, some ou subtraia a diferença de tempo entre os lugares.

Trabalhe com dinheiro como decimais comuns, mas dê respostas com $2$ casas decimais (portanto $\$4.8$ is written $\$4.80$).

Conversão de moeda. Use a taxa de câmbio 汇率 como multiplicador.

Exemplo resolvido. A taxa de câmbio é $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ em euros, e converta $€138$ de volta para dólares.

• Não arredonde durante o cálculo. Mantenha o valor completo e arredonde apenas a resposta final.
• Insira o tempo como decimal de uma hora: $2$ horas $30$ minutos é $2.5$ horas, não $2.30$.
• Leia o visor no contexto: em dinheiro, $4.8$ significa $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ minutos.

• Siga a BIDMAS (parênteses, índices, divisão/multiplicação, adição/subtração) na ordem, e lembre-se que negativo vezes negativo é positivo.
• Na notação científica, o número à frente está entre 1 e 10; um número pequeno (como $0.0004$) tem uma potência negativa de 10.
• Uma variação percentual é calculada sobre o valor original. Para porcentagem reversa, divida pelo multiplicador (ex. $\div 1.2$ desfaz um aumento de $20\%$).
• Não arredonde durante o cálculo — mantenha o valor completo e arredonde apenas no final, com a precisão que a questão pede (casas decimais ou algarismos significativos).
• Para limites de precisão, um valor arredondado para o inteiro mais próximo pode variar até $0.5$ de cada lado (portanto $8$ significa $7.5 \le x < 8.5$).