IGCSE Mathematics · IGCSE 수학 · Topic 5 · 주제 5
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Mensuration · 측량
The Great Pyramid of Giza has stood for four and a half thousand years. How much stone is inside it? About two and a half million cubic metres — and one…
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This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
이 학습지는 Topic 5, Mensuration(길이, 면적, 부피 측정)을 다루고 있습니다. 여기의 Core와 Extended 내용은 거의 동일합니다. 시험에서는 공식 목록(List of formulas)에 몇 가지 공식이 주어지지만, 모든 공식을 암기해야 합니다.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 실생활에서 질량, 길이, 면적, 부피 및 용량의 메트릭 단위를 사용하고 양을 더 큰 또는 더 작은 단위로 변환할 수 있다. | 단위 예시: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. 단위 간 변환 include: • 서로 다른 면적 단위 간, 예: $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • 부피와 용량 단위 간, 예: $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source: Cambridge International syllabus · 출처: Cambridge International syllabus
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
우리는 질량(mass) (g, kg), 길이(length) (mm, cm, m, km), 면적, 부피(volume), 용량(capacity) (ml, 리터 — 용기 내부의 공간)에 미터법(metric) 단위를 사용합니다.
단위를 변환할 때 제곱과 세제곱에 주의하십시오:
풀이 예제. $3\text{ m}^{2}$를 $\text{cm}^{2}$로 변환하십시오.
Choose the unit that matches the measurement scale. · 측정 스케일에 맞는 단위를 선택하세요.
| English | 한국어 |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | 메트릭 |
| mass/mæs/ | 질량 |
| length/leŋθ/ | 길이 |
| volume/ˈvɒljuːm/ | 부피 |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | capacity |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | 둘레 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 직사각形, 삼각形, 평행사변형, 사다리꼴의 둘레와 면적에 대한 계산을 수행하십시오. | 삼각형의 면적을 제외하고는 공식이 주어지지 않습니다. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 사각형, 삼각형, 평행사변형 및 사다리꼴의 둘레와 면적에 대한 계산을 수행한다. | 삼각형의 면적을 제외한 모든 공식은 제공되지 않는다. |
Source: Cambridge International syllabus · 출처: Cambridge International syllabus
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
둘레는 도형 전체를 한 바퀴 돌았을 때의 거리입니다. 면적은 내부의 평면 공간의 넓이입니다. 여기서 $b$는 밑변이고 $h$는 수직 높이입니다.
| 도형 | 면적 |
|---|---|
| 사각형 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| 삼각형 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| 평행사변형 | $b \times h$ |
| 사다리꼴 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, 여기서 $a$과 $b$는 두 평행 변입니다 |
풀이 예제. 사다리꼴의 평행 변이 $6\text{ cm}$와 $10\text{ cm}$, 높이가 $4\text{ cm}$일 때 면적을 구하십시오.
area = side^2 · 면적 = 변^2
Change side length and see why area grows quadratically. · 변의 길이를 변경하여 면적이 이차적으로 증가하는 이유를 확인하십시오.
| English | 한국어 |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | 면적 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 1 원의 둘레와 면적에 대한 계산을 수행하십시오. | 답안을 $\pi$의 형태로 요구할 수 있습니다. |
| 2 부채꼴의 각도가 $360^\circ$의 인수인 경우, 원의 둘레와 면적에 대한 분수로서 호의 길이와 부채꼴의 면적에 대한 계산을 수행하십시오. | 공식은 공식 목록에 주어집니다. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 1 원의 둘레와 면적을 계산한다. | 답을 $\pi$의 형태로 요구할 수 있다. 공식은 공식 목록에 명시되어 있다. |
| 2 원의 둘레와 면적에 대한 분수인 호의 길이와 섹터의 면적을 계산한다. | 소호와 대호 섹터를 포함한다. |
Source: Cambridge International syllabus · 출처: Cambridge International syllabus
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
반지름이 $r$인 원(및 지름이 $d = 2r$)에 대해:
둘레는 원 주변을 한 바퀴 도는 거리입니다.
풀이 예제. 반지름이 $7\text{ cm}$인 원의 둘레와 면적을 구하십시오 (답안에서 $\pi$을 그대로 두십시오).
| English | 한국어 |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | 원 |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 반경 |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 직경 |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | 둘레 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 1 원의 둘레와 면적에 대한 계산을 수행하십시오. | 답안을 $\pi$의 형태로 요구할 수 있습니다. |
| 2 부채꼴의 각도가 $360^\circ$의 인수인 경우, 원의 둘레와 면적에 대한 분수로서 호의 길이와 부채꼴의 면적에 대한 계산을 수행하십시오. | 공식은 공식 목록에 주어집니다. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 1 원의 둘레와 면적을 계산한다. | 답을 $\pi$의 형태로 요구할 수 있다. 공식은 공식 목록에 명시되어 있다. |
| 2 원의 둘레와 면적에 대한 분수인 호의 길이와 섹터의 면적을 계산한다. | 소호와 대호 섹터를 포함한다. |
Source: Cambridge International syllabus · 출처: Cambridge International syllabus
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
호는 둘레의 일부입니다. 섹터는 두 반지름 사이의 "피자 조각" 모양입니다. 섹터의 중심각이 $\theta$라면, 호와 섹터는 전체 원의 해당 분수 $\dfrac{\theta}{360}$에 해당합니다:
작은 조각은 **소섹터(major sector)**이며, 큰 나머지 부분은 **대섹터(major sector)**입니다.
풀이 예제. 중심각이 $90^{\circ}$이고 반지름이 $8\text{ cm}$인 섹터의 호의 길이와 면적을 구하십시오.
분수는 $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$이므로,
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · 더 큰 각 또는 반지름은 더 긴 호와 더 큰 부채꼴 면적을 의미합니다.
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · 각도와 반지름을 변경하여 호 길이와 부채꼴 면적을 읽어보세요 — 전체 원의 일부입니다.
| English | 한국어 |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | 호 |
| sector/ˈsektə/ | 세クター |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | 소초 |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | 대초 |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | arc 길이를 가진다 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 직육면체, 원기둥, 구, 뾰족한 꼭짓점을 가진 입체, 원뿔의: • 표면적과 부피를 계산하고 관련 문제를 해결합니다. | 답은 $\pi$ 단위로 요구될 수 있습니다. 다음 공식들은 공식 목록에 주어집니다: • 원기둥의 곡면적 • 원뿔의 곡면적 • 구의 표면적 • 기하체의 부피 • 뾰족한 꼭짓점을 가진 입체의 부피 • 원기둥의 부피 • 원뿔의 부피 • 구의 부피. 기하체(prism)라는 용어는 원기둥 섹터와 같은 일정 단면을 가진 모든 입체를 의미합니다. |
Source: Cambridge International syllabus · 출처: Cambridge International syllabus
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
표면적은 모든 외부 면의 총 넓이입니다. 부피는 내부의 공간입니다. 이러한 입체($r$ = 반지름, $h$ = 높이)에 대해:
| 입체 | 부피 | 표면적 |
|---|---|---|
| 정육면체 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | 6개의 면 모두 더하기 |
| ** Prism** | (단면 면적) $\times$ × 길이 | — |
| 원기둥 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$(곡면) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| 뿔 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| 원뿔 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$(곡면) $+\, \pi r^{2}$, 여기서 $l$는 경사 높이입니다 |
| 구 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
풀이 예제. 반지름이 $5\text{ cm}$이고 높이가 $10\text{ cm}$인 원기둥의 부피와 총 표면적($\pi$를 사용하여)을 구하십시오.
surface area grows with scale^2 · 표면적은 스케일^2에 따라 증가합니다
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · 길이의 스케일을 변경하여 부피가 표면적보다 빠르게 증가함을 확인하십시오.
| English | 한국어 |
|---|---|
| base/beɪs/ | 근본(베이스) |
| height/haɪt/ | 신장 |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | 직사각형 |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 삼각형 |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | 평행사변형 |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | 사대변형(사다리꼴) |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 표면적 |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | 직육면체 |
| prism/ˈprɪzəm/ | Prism |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | 단면 |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | 원기둥 |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 곡면적 |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | 피라미드 |
| cone/kəʊn/ | 원뿔 |
| slant height/slænt haɪt/ | 슬랜트 높이 |
| sphere/sfɪə/ | 구(球) |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 1 복합 도형 및 도형 부분의: • 둘레와 면적을 계산하고 관련 문제를 해결합니다. | 답은 $\pi$ 단위로 요구될 수 있습니다. |
| 2 복합 입체 및 입체 부분의: • 표면적과 부피를 계산하고 관련 문제를 해결합니다. | 예: 구의 반의 부피를 구합니다. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| 과목 내용 | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 1 복합 도형 및 도형 부분의: • 둘레와 면적을 계산하고 관련 문제를 해결합니다. | 답은 $\pi$ 단위로 요구될 수 있습니다. |
| 2 복합 입체 및 입체의 부분의 표면적과 부피 관련 문제 해결 및 계산을 수행한다. | 예를 들어, 단면원추의 표면적과 부피를 구하시오. |
Source: Cambridge International syllabus · 출처: Cambridge International syllabus
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
복합 도형은 단순한 도형들을 연결하거나 자르는 것으로 구성됩니다. 잘 알려진 부분으로 나누어 더하거나 빼십시오.
원이나 입체의 "부분"에 대해서는 적절한 분수를 사용하십시오. 예를 들어, 반구(구의 절반)의 부피는
단면 원뿔은 윗부분이 잘린 원뿔 또는 뿔로, 전체 원뿔의 부피에서 작은 윗부분 원뿔의 부피를 빼서 구할 수 있습니다.
풀이 예제. 직사각형 $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$의 한 쪽 끝에 지름이 $5\text{ cm}$인 반원이 붙어 있는 도형의 면적을 구하십시오.
반원의 반지름은 $2.5\text{ cm}$입니다:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · 합성 도형을 간단한 부분으로 분리한 후 다시 결합하십시오.
| English | 한국어 |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | 복합 도형 |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | 반구 |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | 단면 원뿔 |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · 즉시 체크 기능 exercises를 통해 단계별로 진행하세요.
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