動力学

質量

質量は物体の運動を変えにくさを示す。質量が大きいほど、特定の加速度を与えるために必要な力が大きくなる。質量はキログラム（$\text{kg}$）で測定され、スカラー量である。

運動量

直線運動量は質量と速度の積である：

運動量はベクトル量であり、速度と同じ方向を向く。単位数は$\text{kg m s}^{-1}$であり、これは$\text{N s}$と同じである。

運動量の時間変化率としての力

ニュートンの第2法則の一般形：物体に働く合力は、その運動量の時間変化率に等しい。

質量が一定の場合、これは$F = ma$となる。なぜなら$\Delta p = m\,\Delta v$かつ$\Delta v / \Delta t = a$だからである。Cambridgeの問題では、衝突やインパルスに対して$F = \Delta p / \Delta t$を直接使うことを求めることが多い。平均力は、運動量の変化量を接触時間で割った値である。

ボールが壁に運動量$p_{1}$で当たり、反対方向に運動量$p_{2}$で跳ね返る。運動量の変化は$\Delta p = p_{2} - p_{1}$である（各方向に正しい符号を付与）。平均力は$\Delta p / \Delta t$であり、ここで$\Delta t$は接触時間を表す。

** worked example.** $0.20\ \text{kg}$のボールが$8.0\ \text{m s}^{-1}$で壁に当たり、真逆の$6.0\ \text{m s}^{-1}$で跳ね返る。接触時間は$0.050\ \text{s}$である。ボールに働く平均力を求めよ。

跳ね返りの方向を正とする。したがって$u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$および$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$となる：

運動量は分かっているが速さが分からない場合、運動エネルギーの変化は以下の通りである

これは$E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$から導かれる。

運動量-時間グラフ

$F = \Delta p / \Delta t$であるため、運動量-時間グラフの勾配は合力であり、速度-時間グラフの勾配が加速度であるのと全く同じである。直線は一定の合力を意味し、水平線はゼロ合力を意味し、右下がりの線は運動に逆らう力が働いていることを意味する。

** worked example.** グラフは自動二輪車の運動量を示している。最初の $10\ \text{s}$ における合力を求めよ。

傾き $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$。$10\ \text{s}$ と $16\ \text{s}$ の間では運動量が一定なので合力はゼロであり、駆動力が抵抗と釣り合っている。$16\ \text{s}$ から $20\ \text{s}$ へは運動量が $2000\ \text{kg m s}^{-1}$ だけ減少するため、合力は $-500\ \text{N}$ で、後向きに働く。

合力が一定のまま速度が変化するという問題が出された場合、その力は空気抵抗ではない。抗力(ドラグ)は速度に依存するため、速度が変われば抗力も変わり、かつ抗力は常に運動方向に逆らうからである。

第1法則

物体に合力外力が作用しない限り、静止状態を保ち続けるか、直線運動して一定の速度で動き続ける。つまり:合力がゼロであれば加速度もゼロである。

第2法則

物体に作用する合力は、その運動量の時間変化率に等しく、その変化と同じ方向を持つ。SI単位系では、

加速度と合力はいつも 同じ方向 を向く。

第3法則

物体Aが物体Bを押すとき、物体Bは物体Aに対して 等しく反対の方向 の力で押す。この2つの力は:

• 異なる物体 に作用し、
• 同じ種類 (どちらも重力、ともに接触、ともに 静電気的 など) であり、
• 大きさは同じで方向は反対である。

よくある罠:机の上にあるブロックの重力と机からの支持力は第三法則のペアではない(同じ物体に作用し、力が異なるため)。ブロックの重力の第三法則の対応する力は、地球に対するブロックの引力である。机の支持力の第三法則の対応する力は、テーブルに対するブロックの圧力である。

第三法則の対応する力を名指すには、文内の2つの物体を入れ替える。「自転車の後輪が路面を後方に押す」に対応するのは「路面が後輪を前方へ押す」であり、この前方への押す力が自転車を前進させる。「地球が月を引く」に対応するのは「月が地球を引く」であり、力の大きさは同じである。

ロケットの場合:ロケットにかかる推力とガスにかかる力は第三法則のペアである(エンジンがガスを下方へ押し出し、ガスがエンジンを上方へ押し返す)。重力や空気抵抗はこのペアに含まれない。

重量とは、物体に重力場から作用する力である。地表付近では、

ここで $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ は自由落下の加速度である。重量はベクトルであり、地球の中心に向かう。質量と混同しないこと:質量は場所によらず一定だが、重量は場所によって変わる。

月面上では $g$ がおおよそ $1.6\ \text{m s}^{-2}$ であるため、宇宙飛行士の質量は変わらないが、重量は地球上での値の約6分の1となる。選択式の問題で重量を説明する記述を選ぶ場合、「重力場による物体への力」という答えが正解であり、「質量×加速度」や「合力」という答えは誤りである。

摩擦と抗力の力

2つの固体表面の間の摩擦力は、面に沿って滑りを阻止するように働く。粘性または**抗力(ドラグ)**の力は、流体(液体や気体)がその中を移動する物体に対して及ぼす抵抗力であり、空気抵抗は空気のケースである。摩擦係数や粘性係数を用いる必要はない。

単純なモデル:速度が大きくなると抗力も大きくなる。速度がゼロのとき抗力はゼロである。抗力はまた、物体の断面積および流体の密度にも依存する。パラシュートは面積を大きくすることで抗力を大幅に増大させて機能する。これらの摩擦力や抗力はすべて抵抗力であり、運動方向に逆らい、運動エネルギーを熱エネルギーに変換する。

空気中を落下する物体

静止状態から落下し空気中を落ちる物体について:

1. 最初は重力のみが作用するため、物体は $g$ で下方へ加速する。
2. 速度が大きくなると、上向きの抗力も大きくなる。合力は小さくなり、加速度も小さくなる。
3. やがて抗力が重力と等しくなる。合力はゼロとなり、加速度はゼロとなり、速度は一定になる — これが終端速度である。

速度-時間グラフでは、直線で傾き $g$ の部分から始まり、曲がって終末速度で平坦になる。この形状（急なスタート、加速の鈍化、一定速度）は、「空気抵抗のある落下」と「均一重力場における自由落下」の違いを表す。加速度-時間グラフでは、加速度は $g$ から始まり減少し、曲線を描いてゼロに向かう。

同じ大きさだが密度が異なる2つの球体は異なる終端速度を持ちます。密度の高い球体は重量が大きいため、それを釣り合わせるには大きな抗力が必要であり、抗力がその値に達するのはより高い速度のときです。これがパラシュートが開くことで全てが変わる理由でもあります。パラシュートが開くと、抗力が突然重量を超え、合力が上向きになり、スカイダイバーは減速します（速度はまだ下向きですが、加速度は上向きです）。これは抗力が再び重量と等しくなる新しい、はるかに低い終端速度になるまで続きます。

液体中での落下：3つの力

液体中を落下するボールには3つの力が働いています。下向きの重量、上向きの浮力、および上向きの粘性抗力です。浮力は静水圧によって生じます。液体内では深さとともに圧力が増加するため、液体はボールの底面を上表面よりも強く押し付けます。これらの押す力の合力は上向きになります。その大きさはボールが排除した液体の重量に等しく、$U = \rho_{\text{liquid}} V g$（トピック4）です。抗力は速度とともに増加します。重量 $=$ 浮力 $+$ 抗力 のとき、合力はゼロとなり、ボールは終端速度で落下します。「矢印付き図を描け」という問題では、これら3つ（浮力と抗力は上向き、重量は下向き）を正確に描く必要があります。

** worked example（ worked example）。半径$2.0\ \text{mm}$、重量$2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$の鉄製ボールが密度$850\ \text{kg m}^{-3}$の油中を落下します。これに働く粘性抗力は$F = 6\pi \eta r v$であり、ここで$\eta$は油の粘性、$v$は速度です。（a）$\eta$のSI基本単位の単位を求めよ。（b）ボールに働く浮力が$2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$であることを示せ。（c）$\eta = 0.20$をSI単位として用い、終端速度を求めよ。

（a）$\eta = F / (6\pi r v)$なので、その単位は$\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$である。

（b）$V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$なので、$U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$となる。

（c）終端速度では、抗力$= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$である。したがって$v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$となる。

終端速度での落下におけるエネルギー

終端速度にあるパラシュートライダーは一定の運動エネルギーを持っています。しかし、落下するにつれて重力位置エネルギーは常に減少し続けます。どこへ消えるのでしょうか？ そのほとんどは周囲の空気の熱エネルギーに変換されます。パラシュートライダーの運動エネルギーにはなりません。それは一定のままです。

一定速度の自転車または車

平坦な道路上で一定速度で走行する車両は、合力がゼロです。前方の駆動力は、総抵抗力（摩擦、空気抵抗、転がり抵抗）と等大・逆向きです。速度が高いほど抗力は大きくなるため、駆動力も大きくなければならず、そのため**出力（パワー）**も大きくなければなりません。

斜面の場合、重量には道路に沿った成分があります。一定速度で登る場合、駆動力は抵抗力および斜面を下に引きずり込む重量の成分 $W\sin\theta$ と釣り合わなければなりません。下る場合は、同じ成分が運動を助けます。

** worked example（ worked example）。質量$1500\ \text{kg}$の車が水平に対して$12°$の傾斜の道を一定の$30\ \text{m s}^{-1}$で登ります。総抵抗力は$1600\ \text{N}$です。駆動力とエンジンの有効出力を求めよ。

一定速度とは、斜面に沿った合力がゼロであることを意味します：$D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$。パワーは力×速度（トピック5）：$P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$。

原理

外力の合力が働かない系では、全運動量は一定に保たれる。これを運動量の保存則という。採点基準（2点）では以下のように述べる：「ある系に働く合力がなければ、その系の全運動量は一定である」。「全運動量が一定である」だけでは1点のみとなるため、両方の条件を含む必要がある。

外部からの合力が存在しない限り常に成立する。衝突、爆発、および反動の場面で適用される。2次元の場合でも、運動量は各方向についてそれぞれ独立して保存される。

** worked example.** $2.0\ \text{kg}$ の Cart と $3.0\ \text{kg}$ の Cart が圧縮されたスプリングに押し付けられて静止しており、解放される。$2.0\ \text{kg}$ の Cart は $6.0\ \text{m s}^{-1}$ で飛び出す。もう一方の Cart の速さを求めよ。

全運動量は初期状態（静止）からゼロのまま変化しないので、

反対方向に運動する。

弾性衝突と非弾性衝突

すべての衝突において、外部からの合力がなければ運動量は保存される。

弾性衝突とは、全運動エネルギーも保存される衝突のことである。簡単な判定法として、弾性衝突では接近する相対速度と離脱する相対速度が等しい。

非弾性衝突では運動量は保存されるが、運動エネルギーは減少し、一部は熱エネルギー、音、または変形エネルギーに変換される。2つの物体が合体する場合、その衝突は完全非弾性衝突と呼ばれる。

衝突問題の解法（一次元）

質量$m_{1}, m_{2}$、初速$u_{1}, u_{2}$の2物体が正面衝突する場合、以下の式を立てよ。

符号付きの速度を用いる（選んだ正の方向を正とする）。衝突が弾性である場合は、相対速度の式を追加する。

あるいは、同等の式として $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$ を用いる。これにより未知数が2つで連立方程式が得られる。

** worked example.** $1500\ \text{kg}$ の車が $12\ \text{m s}^{-1}$ で走行中、静止している $1000\ \text{kg}$ の車に衝突して合体した。衝突直後の共通速度を求めよ。

運動量は保存される（車が合体するため $v_{1} = v_{2} = v$ ）:

続く質問として、運動エネルギーの何分の一が他の形態に変換されたかを問われることがある。衝突前： $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$ 。衝突後： $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$ 。したがって $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$ が失われ、これは元の運動エネルギーの $40\%$ に相当する。この部分は熱エネルギー、音、および車の変形に使われた。運動量は保存されたが、運動エネルギーは保存されなかった。

** worked example.** 質量 $222\,u$ の静止核が、質量 $4\,u$ のアルファ粒子 α を $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ の速度で放出して崩壊した。残った核の速度を求めよ。

崩壊前の全運動量はゼロであったため、崩壊後における2つの運動量は等しく向きが逆になる： $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$ となり、アルファ粒子とは逆向きに $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ で運動する。単位 $u$ は約分されるため、その数値は必要ない。崩壊過程では、運動量、電荷（陽子数）、核子数、全質量-エネルギーがすべて保存される（トピック11参照）。

質量 $m$ の物体が静止している質量 $M$ の物体と正面衝突する場合有用的な結果：

2次元での衝突

物体が2次元で運動する場合、速度を垂直な成分に分解し、運動量の保存則を各方向について個別に適用する。角度を持って衝突する場合、1つの軸を最初の物体の運動方向に沿い、もう1つの軸をそれに直角に取る。各軸に沿って全運動量は保存される。

** worked example.** 摩擦のない面上で、球Aは東向きの運動量 $4.0\ \text{N s}$ 、球Bは北向きの運動量 $3.0\ \text{N s}$ を持つ。これらが衝突して合体した。合体した物体の運動量を求めよ。

各軸に沿って運動量は保存されるため、衝突後も東向きに $4.0\ \text{N s}$ 、北向きに $3.0\ \text{N s}$ である。全運動量はベクトル和であり、東から $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ 北寄りに $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ となる。合体した物体はこの方向に $5.0\ \text{N s}$ / 全質量 の速さで動く。2つの運動量の矢印に対する選択肢図の問題はまさにこのことを問うている：矢印を頭から尾までつなげて足すことである。

*2つの垂直な軸に沿って分解された斜め衝突

ロケット / 質量の放出

ロケットは、自身に対する速度 $u$ でガスを出し、質量流量 $\dot m$ （kg/s）で排出する。これにより推力を受ける。

これは $F = \Delta p / \Delta t$ から導かれる。ガスに与えられた運動量はロケットの推力に等しい（ニュートンの第三法則：ロケットがガスをある方向に押し出し、ガスがロケットを反対方向に押し返す）。秒間 $90\ \text{kg}$ のガスを $190\ \text{m s}^{-1}$ で噴出させるエンジン就会产生 $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$ の推力。

** worked example.** 重力 $W$ のロケットが初期加速度 $a$ で地上を離れる。エンジンはどのような推力を生み出しているか？

上向きを正とする。合力は推力から重力を引いたものなので、 $T - W = ma$ となる。 $m = W / g$ を代入すると、 $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$ となる。重力 $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ のロケットが加速度 $4.0\ \text{m s}^{-2}$ で加速するためには、推力 $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$ が必要である。ロケットが動き始める前には、推力は重力を上回っている必要がある。

異なる直線上を動く結合体

各物体に対して別々の自由体図を描く。滑らかな滑車を通る軽い紐は両側で同じ張力を持つ。引き締まった伸びない紐は、物体たちに同じ大きさの加速度を与える。各物体の運動方向に沿って正の方向を選択せよ。

** worked example **。滑らかな卓面上にある4.0 kgのブロックに、吊り下げられた1.0 kgの質量が接続されている。ブロックについては$T=m_1a$、吊り下げた質量については$m_2g-T=m_2a$。これらを足すと内部の張力が相殺され、$a=m_2g/(m_1+m_2)=1.0\times9.81/(4.0+1.0)=1.96\ \text{m s}^{-2}$となる。したがって$T=m_1a=4.0\times1.96=7.85\ \text{N}$となる。ブロックでは支持力と重力がつり合っているが、加速する吊り下げた質量では重力と張力のつり合いはない。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• ニュートンの第2法則は $F = \Delta p / \Delta t$（運動量の時間変化率）であり、 $F = ma$ は質量が一定の場合の特殊ケースである。
• 第3法則の対を正しく特定する：同じ種類の力が 2つの異なる物体 に働くことである。単一の物体に働く釣り合った力のことではない。
• 運動量はあらゆる衝突において保存される。運動エネルギーが保存されるのは 弾性衝突 のみである。
• 終端速度 については、抵抗が速度とともに増加し、抵抗が $=$ 重力に達するまで続き、その後加速度がゼロになることを説明すること。

一般的なミス

• 「力が釣り合っている」や「力が打ち消し合う」と書くのではなく、「物体に働く合力はゼロである」と述べる。
• 正面衝突において両方の速さを加算してしまうのは、運動量が「全体」の性質を持つためである。正の方向を選定し、反対方向の速度にマイナス符号を与えた上で加算する。
• 速度の成分から運動エネルギーを計算してしまう。運動エネルギーの計算には、各物体の完全な速さを用いる必要がある。
• 一つの物体に働く重力と垂直反力を第3法則の対として呼んでしまう。対は2つの異なる物体に働き、かつ同一種類の力である。
• 条件を付けないまま運動量保存を述べてしまう。これは、系に外側の合力が働かない場合にのみ成立する。