Dinamika

Massa

Massa menunjukkan seberapa sulit mengubah gerak suatu benda. Semakin besar massa, semakin besar gaya yang dibutuhkan untuk memberikannya percepatan tertentu. Massa diukur dalam kilogram ($\text{kg}$) dan merupakan skalar.

Momentum

Momentum linear adalah hasil kali massa dan kecepatan:

Momentum adalah vektor — arahnya sama dengan kecepatan. Satuannya adalah $\text{kg m s}^{-1}$, yang sama dengan $\text{N s}$.

Gaya sebagai laju perubahan momentum

Hukum kedua Newton, dalam bentuk umumnya: gaya resultan pada suatu benda sama dengan laju perubahan momennya.

Ketika massa konstan, ini menjadi $F = ma$, karena $\Delta p = m\,\Delta v$ dan $\Delta v / \Delta t = a$. Soal Cambridge sering meminta Anda menggunakan $F = \Delta p / \Delta t$ langsung untuk tabrakan atau impuls: gaya rata-rata sama dengan perubahan momentum dibagi waktu kontak.

Sebuah bola mengenai dinding dengan momentum $p_{1}$ dan memantul kembali dengan momentum $p_{2}$ dalam arah berlawanan. Perubahan momentum adalah $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (beri setiap arah tanda yang benar). Gaya rata-rata adalah $\Delta p / \Delta t$, di mana $\Delta t$ adalah waktu kontak.

Contoh terpecahkan. Sebuah bola $0.20\ \text{kg}$ mengenai dinding pada $8.0\ \text{m s}^{-1}$ dan memantul lurus kembali pada $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Kontak berlangsung selama $0.050\ \text{s}$. Temukan gaya rata-rata pada bola.

Ambil arah pantulan sebagai positif, sehingga $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ dan $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

Ketika Anda mengetahui momentum tetapi tidak kecepatannya, perubahan energi kinetik adalah

Ini berasal dari $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Grafik momentum–waktu

Karena $F = \Delta p / \Delta t$, gradien grafik momentum–waktu adalah gaya resultan, sama seperti gradien grafik kecepatan–waktu adalah percepatan. Garis lurus berarti gaya resultan konstan; garis horizontal berarti gaya resultan nol; garis menurun berarti gaya yang bekerja melawan gerak.

Contoh terarah. Grafik menunjukkan momentum sebuah motor. Tentukan resultan gaya pada motor selama $10\ \text{s}$ pertama.

Gradien $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Antara $10\ \text{s}$ dan $16\ \text{s}$ momentum konstan, sehingga resultan gaya nol: gaya penggerak hanya menyeimbangkan gaya hambat. Dari $16\ \text{s}$ ke $20\ \text{s}$ momentum turun sebesar $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, sehingga resultan gaya adalah $-500\ \text{N}$, bekerja ke belakang.

Jika soal memberi tahu bahwa kecepatan berubah sementara resultan gaya tetap konstan, maka gaya itu bukan gaya hambat udara: drag bergantung pada kecepatan, sehingga akan berubah seiring perubahan kecepatan, dan drag selalu berlawanan dengan arah gerak.

Hukum pertama

Sebuah benda tetap diam, atau terus bergerak dengan kecepatan konstan dalam garis lurus, kecuali ada gaya eksternal resultan yang bekerja padanya. Singkatnya: resultan gaya nol berarti percepatan nol.

Hukum kedua

Resultan gaya pada suatu benda sama dengan laju perubahan momentumnnya, dan berarah sama dengan perubahan tersebut. Dalam satuan SI,

Percepatan dan resultan gaya selalu menunjuk ke arah yang sama.

Hukum ketiga

Ketika benda A mendorong benda B, benda B mendorong kembali benda A dengan gaya yang besar dan berlawanan. Dua gaya ini:

• bekerja pada benda yang berbeda,
• memiliki jenis yang sama (keduanya gravitasi, keduanya kontak, keduanya elektrostatik, dan sebagainya),
• memiliki besaran yang sama dan arah berlawanan.

Jebakan umum: berat balok di atas meja dan gaya kontak normal dari meja bukan pasangan hukum ketiga (karena bekerja pada benda yang sama dan jenisnya berbeda). Pasangan hukum ketiga dari berat balok adalah tarikan balok terhadap Bumi. Pasangan hukum ketiga dari gaya kontak meja adalah dorongan balok terhadap meja.

Untuk menyebutkan pasangan hukum ketiga, tukar posisi dua benda dalam kalimat. "Roda belakang sepeda mendorong ke belakang pada jalan" berpasangan dengan "jalan mendorong ke depan pada roda belakang", dan dorongan ke depan inilah yang menggerakkan sepeda. "Bumi menarik Bulan" berpasangan dengan "Bulan menarik Bumi", dengan besar gaya yang sama.

Untuk roket: dorong pada roket dan gaya pada gas adalah pasangan hukum ketiga (mesin mendorong gas ke bawah, gas mendorong mesin ke atas). Berat dan hambatan udara tidak termasuk dalam pasangan ini.

Berat adalah gaya pada suatu benda akibat medan gravitasi. Di dekat permukaan Bumi,

di mana $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ adalah percepatan jatuh bebas. Berat adalah vektor yang mengarah ke pusat Bumi. Jangan mencampurnya dengan massa: massa sama di mana saja, tetapi berat berubah tergantung tempat.

Di Bulan $g$ sekitar $1.6\ \text{m s}^{-2}$, sehingga massa seorang astronot tidak berubah tetapi beratnya menjadi sekitar satu per enam dari nilainya di Bumi. Ketika soal pilihan ganda menanyakan pernyataan mana yang mendeskripsikan berat, jawabannya adalah yang menyatakan "gaya pada benda akibat medan gravitasi", bukan "massa dikali percepatan" dan bukan "resultan gaya".

Gaya gesek dan hambatan

Gaya gesekan antara dua permukaan padat bekerja sepanjang permukaan dan berlawanan dengan geseran. Gaya viskos atau hambatan adalah gaya hambat dari fluida (cairan atau gas) terhadap benda yang bergerak melewatinya; hambatan udara adalah kasus untuk udara. Anda tidak perlu menggunakan koefisien gesekan atau viskositas.

Model sederhana: hambatan bertambah seiring bertambahnya kecepatan. Pada kecepatan nol, hambatan juga nol. Hambatan juga meningkat seiring luas penampang benda dan kepadatan fluida; parasut bekerja dengan membuat area, dan karenanya hambatan, jauh lebih besar. Semua gaya gesek dan hambatan ini adalah gaya hambat: mereka berlawanan dengan arah gerak dan mentransfer energi kinetik menjadi energi termal.

Benda jatuh melalui udara

Untuk benda yang dijatuhkan dari keadaan diam dan jatuh melalui udara:

1. Pada awalnya, hanya berat yang bekerja, sehingga benda bergerak semakin cepat ke bawah dengan $g$.
2. Seiring bertambahnya kecepatan, hambatan ke atas bertambah. Resultan gaya menjadi lebih kecil, sehingga percepatan menjadi lebih kecil.
3. Akhirnya, hambatan sama dengan berat badan. Resultan gayanya nol, percepatannya nol, dan kecepatannya tetap konstan — kecepatan terminal.

Pada grafik kelajuan–masa, garis dimulai lurus dengan gradien $g$, kemudian melengkung dan mendatar pada kelajuan terminal. Bentuk ini (mulai cepat, lalu percepatan melambat, kemudian kecepatan konstan) adalah cara "jatuh dengan hambatan udara" berbeda dari "jatuh bebas dalam vakum" di dalam medan gravitasi seragam. Pada grafik percepatan–masa, percepatan dimulai dari $g$ dan menurun, melengkung turun menuju nol.

Dua bola dengan ukuran sama tetapi kepadatan berbeda memiliki kelajuan terminal yang berbeda: bola yang lebih padat memiliki berat yang lebih besar, sehingga memerlukan gaya hambat yang lebih besar untuk menyeimbangkannya, dan gaya hambat hanya mencapai nilai tersebut pada kecepatan yang lebih tinggi. Itulah juga alasan mengapa payung udara mengubah segalanya: ketika terbuka, gaya hambat tiba-tiba melebihi berat, resultan gayanya ke atas, dan penurun langit-langit melambat (percepatan ke atas sementara kelajuan masih ke bawah) hingga gaya hambat kembali turun menjadi sama dengan berat pada kelajuan terminal baru yang jauh lebih rendah.

Jatuh melalui cairan: tiga gaya

Bola yang jatuh melalui cairan mengalami tiga gaya: beratnya ke bawah, daya apung ke atas, dan hambatan viskos ke atas. Daya apung berasal dari tekanan hidrostatik: tekanan dalam cairan meningkat seiring kedalaman, sehingga cairan mendorong bagian bawah bola lebih keras daripada bagian atasnya, dan resultan dari dorongan-dorongan ini adalah ke atas. Besarnya adalah berat cairan yang dipindahkan bola, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (topik 4). Hambatan meningkat seiring kecepatan. Ketika berat $=$ daya apung $+$ hambatan, resultan gayanya nol dan bola jatuh pada kecepatan terminalnya. Soal "gambarlah anak panah berlabel" meminta tepat ketiga gaya ini, dengan daya apung dan hambatan keduanya ke atas serta berat ke bawah.

Contoh kerja. Sebuah bola baja berjari-jari $2.0\ \text{mm}$ dan berat $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ jatuh melalui minyak dengan kepadatan $850\ \text{kg m}^{-3}$. Hambatan viskos padanya adalah $F = 6\pi \eta r v$, di mana $\eta$ adalah viskositas minyak dan $v$ kecepatannya. (a) Temukan satuan dasar SI dari $\eta$. (b) Tunjukkan bahwa daya apung pada bola adalah $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Dengan mengambil $\eta = 0.20$ dalam satuan SI, temukan kecepatan terminal.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, jadi satuannya adalah $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, jadi $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) Pada kecepatan terminal, hambatan $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Jadi $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Energi selama jatuh dengan kelajuan terminal

Pada kelajuan terminal, penerjun payung memiliki energi kinetik konstan. Namun energi potensial gravitasi terus menurun saat mereka turun. Ke mana perginya? Hampir seluruhnya berubah menjadi energi termal udara di sekitarnya. Hal itu tidak menjadi energi kinetik penerjun payung — yang tetap konstan.

Sepeda atau mobil dengan kecepatan konstan

Kendaraan dengan kecepatan konstan di jalan datar memiliki resultan gaya nol. Gaya penggerak ke depan sama besar dan berlawanan arah dengan total gaya resistif (gesekan, hambatan udara, dan gesekan rolling). Pada kecepatan lebih tinggi, hambatannya lebih besar, sehingga gaya penggerak harus lebih besar pula — dan begitu pula daya harus lebih besar.

Di lereng, berat memiliki komponen sepanjang jalan. Naik dengan kecepatan konstan, gaya penggerak harus menyeimbangkan gaya resistif dan bagian dari berat yang menarik ke bawah lereng, $W\sin\theta$; turun, komponen yang sama membantu pergerakan.

Contoh kerja. Mobil bermassa $1500\ \text{kg}$ menaiki jalan yang miring $12°$ terhadap horizontal dengan kecepatan konstan $30\ \text{m s}^{-1}$. Total gaya resistif adalah $1600\ \text{N}$. Temukan gaya penggerak dan daya keluaran berguna mesin.

Kecepatan konstan berarti resultan gaya nol sepanjang lereng: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. Daya adalah gaya dikali kecepatan (topik 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

Prinsip

Untuk sistem tanpa resultan gaya luar, momentum total tetap konstan. Ini adalah kekekalan momentum. Dinyatakan untuk dua poin yang diberikan penguji: momentum total suatu sistem benda tetap konstan selama tidak ada resultan gaya luar yang bekerja pada sistem tersebut. Kedua bagian diperlukan: "momentum total konstan" saja hanya mendapat satu poin.

Hukum ini selalu berlaku ketika tidak ada gaya luar resultan — dalam tumbukan, ledakan, dan rekoil. Dalam dua dimensi, momentum terpelihara sepanjang setiap arah secara terpisah.

Contoh pengerjaan. Kereta $2.0\ \text{kg}$ dan kereta $3.0\ \text{kg}$ diikat bersama terhadap pegas yang terkompresi, lalu dilepaskan dari keadaan diam. Kereta $2.0\ \text{kg}$ terbang menjauh dengan $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Tentukan kecepatan kereta lainnya.

Momentum total tetap nol (dimulai dari diam), sehingga

dalam arah berlawanan.

Tumbukan elastis dan inelastis

Dalam setiap tumbukan, momentum terpelihara (jika tidak ada gaya luar resultan).

Tumbukan elastis adalah tumbukan di mana energi kinetik total juga terpelihara. Cara cepat mengujinya: dalam tumbukan elastis, kecepatan relatif pendekatan sama dengan kecepatan relatif pemisahan.

Dalam tumbukan inelastis, momentum terpelihara tetapi energi kinetik berkurang — sebagian berubah menjadi energi termal, bunyi, atau deformasi. Jika kedua benda menempel satu sama lain, tumbukan tersebut disebut inelastis sempurna.

Menyelesaikan masalah tumbukan (satu dimensi)

Untuk dua benda dengan massa $m_{1}, m_{2}$ dan kecepatan awal $u_{1}, u_{2}$ yang bertabrakan kepala-kepalu, tulislah

Gunakan tanda kecepatan (positif pada satu arah yang dipilih). Jika tumbukan elastis, tambahkan persamaan kecepatan relatif

atau, hal yang sama, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Hal ini memberikan dua persamaan untuk dua variabel yang belum diketahui.

Contoh soal. Mobil $1500\ \text{kg}$ bergerak dengan kecepatan $12\ \text{m s}^{-1}$ menabrak mobil diam $1000\ \text{kg}$ dan mereka terkunci bersama. Tentukan kecepatan gabungan tepat setelah tumbukan.

Momentum terpelihara (mobil menempel, sehingga $v_{1} = v_{2} = v$):

Pertanyaan sering berlanjut untuk menanyakan berapa pecahan energi kinetik yang berpindah ke bentuk lain. Sebelum: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Sesudah: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Jadi $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, yang merupakan $40\%$ dari energi kinetik awal, berubah menjadi energi termal, suara, dan deformasi mobil. Momentum terpelihara; energi kinetik tidak.

Contoh pengerjaan. Inti atom yang diam bermassa $222\,u$ meluruh dengan memancarkan partikel alfa α bermassa $4\,u$ pada $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Tentukan kecepatan inti yang tersisa.

Sebelum peluruhan momentum total adalah nol, sehingga afterwards momentum keduanya sama besar dan berlawanan arah: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, menghasilkan $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ dalam arah berlawanan terhadap partikel alfa. Satuan $u$ saling menghilangkan, sehingga nilainya tidak pernah diperlukan. Dalam peluruhan, momentum, muatan (nomor proton), nomor nukleon, dan total massa-energi semuanya terpelihara (topik 11).

Hasil berguna untuk tumbukan elastis kepala-kepalu antara massa $m$ dengan massa diam $M$:

Tumbukan dalam dua dimensi

Jika benda bergerak dalam dua dimensi, pisahkan kecepatan menjadi komponen-komponen tegak lurus dan terapkan kekekalan momentum sepanjang setiap arah secara terpisah. Untuk tumbukan di mana benda-benda menabrak dengan sudut, pilih satu sumbu sepanjang gerakan benda pertama dan satu lagi melintanginya. Momentum total terpelihara sepanjang setiap sumbu.

Contoh soal. Di permukaan licin, bola A memiliki momentum $4.0\ \text{N s}$ ke timur dan bola B memiliki momentum $3.0\ \text{N s}$ ke utara. Mereka bertabrakan dan menempel bersama. Tentukan momentum objek gabungan.

Momentum dikonservasikan sepanjang setiap sumbu: $4.0\ \text{N s}$ timur dan $3.0\ \text{N s}$ utara setelah tabrakan, persis seperti sebelumnya. Momentum total adalah jumlah vektor, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ pada sudut $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ north of east; objek gabungan bergerak ke arah itu dengan kecepatan $5.0\ \text{N s}$ dibagi massa total. Diagram pilihan ganda dua panah momentum meminta hal yang sama: tambahkan panah ujung ke ekor.

Roket / mendorong keluar massa

Roket mendorong keluar gas pada kecepatan $u$ (relatif terhadap dirinya sendiri) dengan laju aliran massa $\dot m$ (kg per detik). Roket mengalami dorongan

yang berasal dari $F = \Delta p / \Delta t$. Momentum yang diberikan pada gas setiap detik sama dengan dorongan pada roket (Hukum ketiga Newton: roket mendorong gas ke satu arah, gas mendorong roket ke arah sebaliknya). Mesin yang mengeluarkan $90\ \text{kg}$ gas per detik dengan $190\ \text{m s}^{-1}$ menghasilkan dorongan sebesar $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Contoh soal. Roket dengan berat $W$ meninggalkan tanah dengan percepatan awal $a$. Berapa dorongan yang dihasilkan mesinnya?

Ambil arah ke atas sebagai positif. Resultan gayanya adalah dorongan dikurangi berat, sehingga $T - W = ma$. Dengan $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Roket dengan berat $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ yang dipercepat pada $4.0\ \text{m s}^{-2}$ membutuhkan dorongan sebesar $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. Dorongan harus melebihi berat sebelum roket benar-benar bergerak.

Soal definisi dinilai berdasarkan frasa tetap. Hafalkan ini persis, dan berikan hanya satu jawaban.

• Hukum kedua Newton adalah $F = \Delta p / \Delta t$ (laju perubahan momentum); $F = ma$ adalah kasus khusus untuk massa konstan.
• Identifikasi pasangan hukum ketiga dengan benar: jenis gaya yang sama, bekerja pada dua benda berbeda — bukan gaya-gaya yang seimbang pada satu benda.
• Momentum kekal dalam setiap tumbukan; energi kinetik kekal hanya pada tumbukan elastis.
• Untuk kecepatan terminal, jelaskan bahwa gaya hambat meningkat seiring kecepatan hingga gaya hambat $=$ berat, sehingga percepatan menjadi nol.

Kesalahan umum

• Menulis "gaya-gaya seimbang" atau "gaya-gaya saling meniadakan". Sebaiknya gunakan "resultan gaya pada benda adalah nol".
• Menambahkan kedua kecepatan dalam tumbukan kepala-berhadapan karena momentum bersifat "total". Pilih satu arah positif, beri tanda minus pada kecepatan yang berlawanan, lalu jumlahkan.
• Menghitung energi kinetik dari komponen kecepatan. Energi kinetik menggunakan kelajuan penuh masing-masing benda.
• Menyebutkan berat dan gaya kontak normal pada satu benda sebagai pasangan hukum ketiga. Satu pasangan bekerja pada dua benda berbeda dan merupakan satu jenis gaya.
• Menyatakan kekekalan momentum tanpa syarat. Prinsip ini berlaku hanya jika tidak ada resultan gaya eksternal yang bekerja pada sistem.