דף זה מכסה נושא 5, מנסורציה (מדידת אורך, שטח ונפח). התוכן הבסיסי והמתקדם כאן זהה כמעט לחלוטין. במבחן, חלק מהפורמולות נתונות בטבלת הפורמולות, אך עדיין יש ללמוד אותן כולן.
מידות גיאומטריות
מתמטיקה IGCSE · נושא 5
7:47
מידות גיאומטריות
The Great Pyramid of Giza has stood for four and a half thousand years. How much stone is inside it? About two and a half million cubic metres — and one…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
5.1
יחידות מידה
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| השתמש ביחידות מטריות של מסה, אורך, שטח, נפח וקיבולת במצבים פרקטיים והפך כמות ליחידות גדולות או קטנות יותר. | היחידות כוללות: • מ"מ, ס"מ, מ', ק"מ • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • מ"ל, ל' • ג', ק"ג. ההמרה בין יחידות כוללת: • בין יחידות שונות של שטח, לדוגמה $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • בין יחידות של נפח וקיבולת, לדוגמה $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
אנו משתמשים ביחידות מטריות עבור מסה (g, kg), אורך (mm, cm, m, km), שטח, נפח ו-קיבולת (ml, ליטר — המקום בתוך מיכל).
כדי לשנות יחידות, יש להיזהר עם ריבועים ומעריכים:
- אורך: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
- שטח: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
- נפח: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
- קיבולת: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, ולכן $1\text{ m}^{3} = 1000$ ליטר.
דוגמה מופתרת. המירו $3\text{ m}^{2}$ ל$\text{cm}^{2}$.
$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$
חקור
מעבדת בחירת יחידות
בחר את היחידה המתאימה לקנה מידת המדידה.
5.2
היקף ושטח של צורות בסיסיות
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| בצע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מלבן, משולש, מקבילית ומלבנה. | למעט שטח של משולש, הנוסחות אינן נתונות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מלבן, משולש, מקבילית וטרפז. | למעט שטח של משולש, הנוסחות אינן נתונות. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
ההיקף הוא המרחק לכל אורך הגבול של הצורה. השטח הוא כמות החלל השטוח בתוכה. כאן $b$ הוא הבסיס ו$h$ הוא הגובה האנכי.
| צורה | שטח |
|---|---|
| מלבן | $\text{length} \times \text{width}$ |
| משולש | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| מקבילית | $b \times h$ |
| טרפז | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, כאשר $a$ ו$b$ הן שתי הצלעות המקבילות |
דוגמה מופתרת. לטרפז יש צלעות מקבילות $6\text{ cm}$ ו$10\text{ cm}$, וגובה $4\text{ cm}$. מצאו את שטחו.
$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$
חקור
מעבדה: קנה מידה של שטח
שטח = צלע^2
שנו את אורך הצלע וראו מדוע השטח גדל באופן ריבועי.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | מטרי |
| mass/mæs/ | מסה |
| length/leŋθ/ | אורך |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
5.3
עיגולים
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים הקשורים לאורך קשת ושטח משולש כשבר מההיקף והשטח של מעגל, כאשר זווית המשולש היא גורם של $360^\circ$. | הנוסחאות נתונות ברשימת הנוסחאות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לענות במונחי $\pi$. הנוסחאות ניתנות ברשימת הנוסחאות. |
| 2 ביצוע חישובים העוסקים באורך קשת ובשטח מקטע כשבר מההיקף ובשטח של מעגל. | כולל מקטעים מינוריים ומג'ורים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
לעיגול עם רדיוס $r$ (וקוטר $d = 2r$):
$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$
ההיקף הוא המרחק סביב המעגל.
דוגמה מפורטת. למעגל יש רדיוס $7\text{ cm}$. חשב את ההיקף והשטח שלו (השאיר $\pi$ בתשובה).
$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | מעגל |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | רדיוס |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | קוטר |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | היקף |
5.3
קשתות ומשולשים מעגליים
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים הקשורים לאורך קשת ושטח משולש כשבר מההיקף והשטח של מעגל, כאשר זווית המשולש היא גורם של $360^\circ$. | הנוסחאות נתונות ברשימת הנוסחאות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לענות במונחי $\pi$. הנוסחאות ניתנות ברשימת הנוסחאות. |
| 2 ביצוע חישובים העוסקים באורך קשת ובשטח מקטע כשבר מההיקף ובשטח של מעגל. | כולל מקטעים מינוריים ומג'ורים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
קשת היא חלק מההיקף. משולש מעגלי הוא "פרוסת פיצה" בין שני רדיוסים. אם זווית המשולש היא $\theta$, הקשת והמשולש הם השבר $\dfrac{\theta}{360}$ של המעגל כולו:
$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$
פרוסה קטנה היא משולש מעגלי מינורי; החלק הגדול שנותר הוא משולש מעגלי מאיורי.
דוגמה מפורטת. חשב את אורך הקשת ושטח משולש מעגלי עם זווית $90^{\circ}$ ורדיוס $8\text{ cm}$.
השבר הוא $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, לכן
$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$
חקור
קשתות וסקטורים
s = rθ · A = ½r²θ
זווית או רדיוס גדולים יותר מובילים לקשת ארוכה ושטח סקטור גדול יותר.
חקור
אורך קשת ושטח מלבנת
שנה את הזווית ואת הרדיוס וקרא את אורך הקשת ושטח המלבנת — כשבר מכל המעגל.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | קשת |
| sector/ˈsektə/ | תחום |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | מיקרו-מיקום (קטע קטן) |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | מיקרו-מיקום (קטע גדול) |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
5.4
שטח פנים נפח של גוף תלת-ממדי
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| בצע חישובים ופתור בעיות הקשורות לשטח הפנים ולנפח של: • קובייה • גוף ישר • צילינדר • כדור • פירמידה • חרוט. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. הנוסחאות הבאות נתונות ברשימת הנוסחאות: • שטח הצד של צילינדר • שטח הצד של חרוט • שטח הפנים של כדור • נפח של גוף ישר • נפח של פירמידה • נפח של צילינדר • נפח של חרוט • נפח של כדור. המונח "גוף ישר" מתייחס לכל גוף בעל חתך אחיד, לדוגמה ערך צילינדרלי. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
השטח הפנים הוא השטח הכולל של כל הפנים החיצוניות. הנפח הוא המקום בפנים. עבור גופים אלו ($r$ = רדיוס, $h$ = גובה):
| גוף | נפח | שטח פנים |
|---|---|---|
| קוביה | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | חבר את שש הפנים |
| גוף ישר | (שטח חתך רוחב) $\times$ אורך | — |
| צילינדר | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (שטח פנים מעוגל) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| פירמידה | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| קונוס | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (מעוגל) $+\, \pi r^{2}$, כאשר $l$ הוא הגובה האלכסוני |
| כדור | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
דוגמה מפורטת. לצילינדר יש קוטר $5\text{ cm}$ וגובה $10\text{ cm}$. מצאו את נפחו ואת שטח הפנים הכולל (בעזרת $\pi$).
$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$
$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$
חקור
מעבדת יחס נפח
שטח הפנים גדל ביחס למעלה^2
שנו את קנה המידה האורכי והצפו לנפח לגדול מהר משטח הפנים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | נפח |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | קיבולת |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | היקף |
| base/beɪs/ | בסיס |
| height/haɪt/ | גובה |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | מלבן |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | משולש |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | מקבילית |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | טרפז |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פני |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | קובייה מוארכת (תאבוק) |
| prism/ˈprɪzəm/ | גוף זוויתי |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | חצייה רוחבית |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | צילינדר |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פנים מעוגל |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | פירמידה |
| cone/kəʊn/ | חרוט |
| slant height/slænt haɪt/ | גובה אלכסוני |
| sphere/sfɪə/ | כדור |
5.5
צורות מורכבות וחלקים מתוך צורות
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות להיקפים ולשטחים של: • צורות מורכבות • חלקים מצורות. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות לשטחי פנים ולנפחים של: • גופים מורכבים • חלקים מגופים. | לדוגמה: מצא את הנפח של חצי מכדור. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות להיקפים ולשטחים של: • צורות מורכבות • חלקים מצורות. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 ביצוע חישובים ופתרון בעיות העוסקות בשטחי פנים ובנפחים של: • גוף מורכב • חלקי גוף. | לדוגמה: מציאת שטח הפנים והנפח של פרוסת קונוס. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
צורה מורכבת נוצרת מהצמדת או חיתוך של צורות פשוטות. פרקו אותה לחלקים הידועים לכם, ואז תוסיפו או תחסרו.
עבור "חלקים" של עיגול או צורה מוצקה, קחו את השבר המתאים. לדוגמה, למחצית כדור (המיספירה) יש נפח
$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$
פרוסת חרוט היא חרוט או פירמידה שראשה נחתך; מצאו את נפחה על ידי חיסור החרוט הקטן העליון מהחרוט השלם.
דוגמה מפורטת. מצאו את שטח הצורה הנוצרת מריבוע $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ עם מחצית עיגול בקוטר $5\text{ cm}$ בקצה אחד.
למחצית העיגול יש קוטר $2.5\text{ cm}$:
$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$
חקור
דרך לפתרון צורה מורכבת
פרקו צורה מורכבת לחלקים פשוטים, ואז איחדו אותם מחדש.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | צורה מורכבת |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | חצי כדור |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | פיסטה (חרוט חתוך) |
5.5
טיפים לבחינות
- התאימו נוסחה לצורה: ה-שטח של עיגול הוא $\pi r^2$, ה-היקף הוא $\pi d$ (או $2\pi r$) — אל תערבבו ביניהם.
- שמרו על אחידות יחידות, וזכרו ששטח נמדד בריבע ונפח במעוקב (למשל $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
- עבור קשת או מאונת, קחו את השבר $\frac{\theta}{360}$ מההיקף או השטח השלם.
- שטח פנים הוא סכום כל הפנים — ציירו את הרשת אם אינכם בטוחים. השאירו תשובה בעזרת $\pi$ רק אם השאלה מאפשרת זאת.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.